Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfkeywords={mathématiques, Laplace, transformée de Laplace,
théorème de la valeur finale, fonction de transfert}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
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\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
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\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
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}
\newcounter{nprop}
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\noindent
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\newcounter{ndef}
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
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}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
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\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
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\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Transformée de Laplace - Annexe}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
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\cfoot{\TITLE}
\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{fancy} %forcer léentéte et pied
\ct{\LARGE{\bf{\TITLE
}}}
\bgth{{\bf\ul{Convergence dominée}}\\[0.2cm]
Soit $I$ un intervalle de $\R$, et $(f_n)$ une suite de fonctions
intégrables sur $I$ telles que:
\bgit
\item $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$,
i.e.
\[
\forall x\in I, \ \lim_{n\to+\infty} f_n(x) = f(x)
\]
\item il existe une fonction $g$ intégrable telle que
\[
\forall n\in\N,\ \forall x\in I,\
|f_n(x)|\leqslant |g(x)|
\]
\enit
alors, $f$ est intégrable sur $I$ et,
\[
\lim_{n\to+\infty} \lp\int_I f_n(x)\,dx\rp
=\int_I \lp \lim_{n\to+\infty} f_n(x) \rp\,dx
=\int_I f(x)\,dx
\]
}
\bgth{{\bf\ul{Théorème de la valeur finale}}\\[0.2cm]
Soit $F$ la transformée de Laplace d'une fonction $f$,
i.e. $F(p)=\mathcal{L}\big[f(t)\mathcal{U}(t)\big]$.
Si les fonctions considérées ont des limites dans les conditions
indiquées, on a:
\[
\lim_{p \to 0^+} pF(p)=\lim_{t \to +\infty}f(t)
\qquad \textrm{(théorème~de~la~valeur~finale)}
\]
}
\bgproof{D'après la transformée de Laplace d'une dérivée,
on a, $pF(p)=\mathcal{L}\lp f'(t)\rp +f(0^+)$,
soit,
\[
pF(p)=\int_0^{+\infty} f'(t)\,e^{-pt}\,dt + f(0^+)
\]
et donc,
\[
\lim_{p\to0}pF(p)=\lim_{p\to0}\lb\int_0^{+\infty} f'(t)\,e^{-pt}\,dt\rb + f(0)
\]
D'après le théorème de convergence dominée, si \dots,
on peut alors inverser la limite et l'intégrale:
\[\bgar{ll}
\dsp\lim_{p\to0}pF(p)
&\dsp=\int_0^{+\infty} \lim_{p\to0}\lb f'(t)\,e^{-pt}\rb\,dt
+ f(0^+) \\[0.4cm]
&\dsp=\int_0^{+\infty} f'(t)\,dt +f(0^+) \\[0.4cm]
&\dsp=\Bigl[\, f(t)\,\Bigr]_0^{+\infty} +f(0^+) \\[0.4cm]
&\dsp=\lim_{t\to+\infty} f(t) -f(0)+f(0)\\[0.4cm]
&\dsp=\lim_{t\to+\infty} f(t)
\enar\]
}
\clearpage
\bgth{{\bf\ul{Stabilité d'un système linéaire}}\\[0.2cm]
Soit un système linéaire modélisé par la fonction de transfert
dans le domaine de Laplace $H(p)$.
Alors, le système est stable si et seulement si tous les pôles de
$H(p)$ sont à partie réelle négative.
}
\bgproof{
La fonction de transfert d'un système linéaire peut s'écrire sous la
forme d'une fraction rationnelle:
\[
H(p)=\frac{N(p)}{D(p)}
\]
où le numérateur $N(p)$ et le dénominateur $D(p)$ sont des polynômes
en $p$.
\vspd
La stabilité d'un système est définie ainsi:
lorsque l'une entrée $e(t)$ est une impulsion de Dirac, alors le
système est stable si il retourne à son état au repos après un temps
suffisamment long.
Plus précisément, cela s'écrit,
\[
\text{si }, e(t)=\delta(t)\ ,\ \quad\text{alors,} \quad
\lim_{t\to+\infty} s(t)=0
\]
Si $e(t)=\delta(t)$, alors $E(p)=1$, et donc
$S(p)=H(p)$:
la fonction de transfert est la réponse impulsionnelle du système.
\vspt
Les pôles de $H(p)$ sont les racines de son dénominateur,
c'est-à-dire les racines de $D(p)$.
$D(p)$ est un polynôme de degré $n$, et admet donc $n$ racines,
distinctes ou non, complexes:
\ct{$p_1$, $p_2$, \dots, $p_n$. }
\vspt
\bgit
\item Si toutes les racines sont simples (ou 2 à 2 distinctes),
on peut décomposer en éléments simples $H(p)$ selon:
\[
H(p)=\dfrac{a_1}{p-p_1}+\dfrac{a_2}{p-p_2}+\dots\dfrac{a_n}{p-p_n}
\]
Ainsi, en repassant dans le domaine temporel
(transfomée de Laplace inverse),
\[
H(t)=a_1e^{-p_1t}\mathcal{U}(t)
+a_ne^{-p_nt}\mathcal{U}(t)
+\dots
a_ne^{-p_nt}\mathcal{U}(t)
\]
Pour $p=\alpha+j\beta$ un nombre complexe
(avec $j^2=-1$, $\alpha\in\R$ et $\beta\in\R$),
on a
\[
e^{-pt}=e^{-(\alpha+j\beta)t}
=e^{-\alpha t}\,e^{-j\beta t}
\]
et donc, comme $|e^{-j\beta t}|=1$ pour tout $t$,
\[\la\bgar{ll}
\text{si } \alpha>0, &\dsp\lim_{t\to+\infty} e^{-\alpha t}=0 \\[0.4cm]
\text{si } \alpha<0, &\dsp\lim_{t\to+\infty} e^{-\alpha t}=+\infty
\enar\right.\]
et donc, en appliquant cette décomposition à toutes les racines de
$D(p)$, si un pôle de $H(p)$ à sa partie réelle négative alors,
$\dsp\lim_{t\to+\infty} s(t)=+\infty$: le système est instable.
\vspd
\item Si un ou plusieurs pôles $p_1$, $p_2$,\dots $p_j$ sont
multiples, alors la décomposition
en éléments simples de $H(p)$ contient des termes de la forme
\[
\dfrac{a}{(p-p_1)^m}
\]
qui donne un terme en temporel de la forme
\[
e^{-p_1t}t^{m-1}\mathcal{U}(t)\ .
\]
En décomposant ce pôle $p_1$ en partie réelle et imaginaire,
comme précédement, on aboutit à la même conclusion.
\enit
}
\label{LastPage}
\end{document}
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