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Description
Transformée de Laplace - Annexe: démonstration du théorème de la valeur finale et stabilité d'un système linéaire
Niveau
BTS
Table des matières
  • Théorème de convergence dominée
  • Théorème de la valeur finale et sa démonstration
  • Stabilité d'un système linéaire
Mots clé
Laplace, théorème de la valeur initiale et de la valeur finale, démonstration, transformation de Laplace, transformée de Laplace, Cours de mathématiques
Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
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    pdfkeywords={mathématiques, Laplace, transformée de Laplace, 
    théorème de la valeur finale, fonction de transfert}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }


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\newcounter{ntheo}
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  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
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\newcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{ndef}
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  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
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\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
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  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
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\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Transformée de Laplace - Annexe}
\author{Y. Morel}
\date{}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{fancy}               %forcer léentéte et  pied


\ct{\LARGE{\bf{\TITLE
}}} 

\bgth{{\bf\ul{Convergence dominée}}\\[0.2cm]
  Soit $I$ un intervalle de $\R$, et $(f_n)$ une suite de fonctions
  intégrables sur $I$ telles que: 
  \bgit
  \item $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$, 
    i.e. 
    \[
    \forall x\in I, \ \lim_{n\to+\infty} f_n(x) = f(x)
    \]
  \item il existe une fonction $g$ intégrable telle que 
    \[
    \forall n\in\N,\ \forall x\in I,\ 
    |f_n(x)|\leqslant |g(x)|
    \]
  \enit
  alors, $f$ est intégrable sur $I$ et, 
  \[
  \lim_{n\to+\infty} \lp\int_I f_n(x)\,dx\rp
  =\int_I \lp \lim_{n\to+\infty} f_n(x) \rp\,dx
  =\int_I f(x)\,dx
  \]
}


\bgth{{\bf\ul{Théorème de la valeur finale}}\\[0.2cm]
  Soit $F$ la transformée de Laplace d'une fonction $f$, 
  i.e. $F(p)=\mathcal{L}\big[f(t)\mathcal{U}(t)\big]$. 
  
  Si les fonctions considérées ont des limites dans les conditions
  indiquées, on a: 
  \[
  \lim_{p \to 0^+} pF(p)=\lim_{t \to +\infty}f(t) 
  \qquad \textrm{(théorème~de~la~valeur~finale)}
  \]
}

\bgproof{D'après la transformée de Laplace d'une dérivée, 
on a, $pF(p)=\mathcal{L}\lp f'(t)\rp +f(0^+)$,  
soit, 
\[
pF(p)=\int_0^{+\infty} f'(t)\,e^{-pt}\,dt + f(0^+)
\]
et donc, 
\[
\lim_{p\to0}pF(p)=\lim_{p\to0}\lb\int_0^{+\infty} f'(t)\,e^{-pt}\,dt\rb + f(0)
\]
D'après le théorème de convergence dominée, si \dots, 
on peut alors inverser la limite et l'intégrale: 
\[\bgar{ll}
\dsp\lim_{p\to0}pF(p)
&\dsp=\int_0^{+\infty} \lim_{p\to0}\lb f'(t)\,e^{-pt}\rb\,dt 
+ f(0^+) \\[0.4cm]
&\dsp=\int_0^{+\infty} f'(t)\,dt +f(0^+) \\[0.4cm]
&\dsp=\Bigl[\, f(t)\,\Bigr]_0^{+\infty}  +f(0^+) \\[0.4cm]
&\dsp=\lim_{t\to+\infty} f(t) -f(0)+f(0)\\[0.4cm]
&\dsp=\lim_{t\to+\infty} f(t)
\enar\]
}


\clearpage

\bgth{{\bf\ul{Stabilité d'un système linéaire}}\\[0.2cm]
  Soit un système linéaire modélisé par la fonction de transfert 
  dans le domaine de Laplace $H(p)$. 

  Alors, le système est stable si et seulement si tous les pôles de
  $H(p)$ sont à partie réelle négative. 
}

\bgproof{
La fonction de transfert d'un système linéaire peut s'écrire sous la
forme d'une fraction rationnelle: 
\[
H(p)=\frac{N(p)}{D(p)}
\]
où le numérateur $N(p)$ et le dénominateur $D(p)$ sont des polynômes
en $p$. 

\vspd
La stabilité d'un système est définie ainsi: 
lorsque l'une entrée $e(t)$ est une impulsion de Dirac, alors le
système est stable si il retourne à son état au repos après un temps
suffisamment long. 

Plus précisément, cela s'écrit, 
\[
\text{si }, e(t)=\delta(t)\ ,\ \quad\text{alors,} \quad 
\lim_{t\to+\infty} s(t)=0
\]

Si $e(t)=\delta(t)$, alors $E(p)=1$, et donc 
$S(p)=H(p)$: 
la fonction de transfert est la réponse impulsionnelle du système.  


\vspt
Les pôles de $H(p)$ sont les racines de son dénominateur, 
c'est-à-dire les racines de $D(p)$. 

$D(p)$ est un polynôme de degré $n$, et admet donc $n$ racines,
distinctes ou non, complexes: 

\ct{$p_1$, $p_2$, \dots, $p_n$. }

\vspt
\bgit
\item Si toutes les racines sont simples (ou 2 à 2 distinctes), 
  on peut décomposer en éléments simples $H(p)$ selon: 
  \[
  H(p)=\dfrac{a_1}{p-p_1}+\dfrac{a_2}{p-p_2}+\dots\dfrac{a_n}{p-p_n}
  \]

  Ainsi, en repassant dans le domaine temporel 
  (transfomée de Laplace inverse), 
  \[
  H(t)=a_1e^{-p_1t}\mathcal{U}(t)
  +a_ne^{-p_nt}\mathcal{U}(t)
  +\dots
  a_ne^{-p_nt}\mathcal{U}(t)
  \]
  Pour $p=\alpha+j\beta$ un nombre complexe 
  (avec $j^2=-1$, $\alpha\in\R$ et $\beta\in\R$), 
  on a 
  \[
  e^{-pt}=e^{-(\alpha+j\beta)t}
  =e^{-\alpha t}\,e^{-j\beta t}
  \]
  et donc, comme $|e^{-j\beta t}|=1$ pour tout $t$, 
  \[\la\bgar{ll}
  \text{si } \alpha>0, &\dsp\lim_{t\to+\infty} e^{-\alpha t}=0 \\[0.4cm]
  \text{si } \alpha<0, &\dsp\lim_{t\to+\infty} e^{-\alpha t}=+\infty 
  \enar\right.\]
  et donc, en appliquant cette décomposition à toutes les racines de
  $D(p)$, si un pôle de $H(p)$ à sa partie réelle négative alors, 
  $\dsp\lim_{t\to+\infty} s(t)=+\infty$: le système est instable.


\vspd
\item Si un ou plusieurs pôles $p_1$, $p_2$,\dots $p_j$ sont
  multiples, alors la décomposition
  en éléments simples de $H(p)$ contient des termes de la forme 
  \[
  \dfrac{a}{(p-p_1)^m}
  \]
  qui donne un terme en temporel de la forme 
  \[
  e^{-p_1t}t^{m-1}\mathcal{U}(t)\ .
  \]
  En décomposant ce pôle $p_1$ en partie réelle et imaginaire, 
  comme précédement, on aboutit à la même conclusion. 
\enit
}

\label{LastPage}
\end{document}

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