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Description
Cours de mathématiques en BTS: Transformée de Laplace
Niveau
BTS
Table des matières
  • Fonctions causales
    • Échelon unité ou fonction de Heaviside
    • Rampe unité
    • Fonction retardée / avancée
    • Fonction créneau
  • Intégrales impropres ou intégrales généralisées
  • Transformation de Laplace
    • Définition
    • Transformée de Laplace des fonctions usuelles
      • Transformée de Laplace de l'échelon unité
      • Transformée de Laplace de la rampe
      • Transformée de Laplace des fonctions puissances
      • Transformée de Laplace de l'exponentielle
  • Propriétés de la transformation de Laplace
    • Linéarité
    • Théorème du retard
    • Changement d'echelle
    • Multiplication par une exponentielle
    • Transformée d'une dérivée
    • Transformée d'une intégrale
    • Dérivée d'une transformée de Laplace
    • Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale
    • Calculs de transformée de Laplace
  • Original d'une fonction
  • Applications de la transformation de Laplace
    • Résolution d'équations différentielles
    • Résolution de systèmes d'équations différentielles
    • Systèmes linéaires
      • Définition d'un système linéaire
      • Stabilité d'un système linéaire
Mots clé
Laplace, transformation de Laplace, transformée de Laplace, Cours de mathématiques
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Les différents types de mémoire},
    pdftitle={Les différents types de mémoire},
    pdfkeywords={Accompagnement personnalisé, mémoire, 
      types de mémoire, première, 1ère}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\textheight=26.2cm
\textwidth=18.5cm
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\footskip=0.6cm
\oddsidemargin=-1.cm

\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Transformée de Laplace}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}

\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}

\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{fancy}               %forcer léentéte et  pied


\ct{\LARGE{\bf{\TITLE
  \protect\footnote{Pierre-Simon Laplace, né le 23 mars 1749 à
    Beaumont-en-Auge et mort le 5 mars 1827 à Paris, est un
    mathématicien, astronome et physicien français.\\ 
    Laplace est l'un des principaux scientifiques de la période
    napoléonienne ; en effet, il a apporté des contributions fondamentales
    dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la
    théorie des probabilités ; il a été l'un des scientifiques les plus
    influents de son temps, notamment par son affirmation du déterminisme
    ; il a contribué de façon décisive à l'émergence de l'astronomie
    mathématique reprenant et étendant le travail de ses prédécesseurs
    dans son traité intitulé Mécanique Céleste (1799-1825). 
    Ce chef-d'\oe uvre, en cinq volumes, a transformé l'approche
    géométrique de la 
    mécanique développée par Newton en une approche fondée sur l'analyse
    mathématique. En 1799 il est nommé ministre de l'intérieur sous le
    Consulat. Napoléon Ier, en 1806 lui confère le titre de comte de
    l'Empire. Il est nommé marquis en 1817, après la restauration des
    Bourbons.}}}} 

\vspq
\Obj{Développer des outils pour la résolution d'équations
  différentielles et des systèmes d'équations différentielles.} 


\section{Fonctions Causales}

\bgdef{
  Une fonction $f$ (ou un signal) de la variable réelle $t$ est dite
  causale si pour tout $t$ strictement négatif on à $f(t)=0$.\\ 
  $$f(t)=0 \quad \textrm{si}~ t\in ]-\infty;0[$$
}


\subsection{Fonction échelon unité ou fonction de Heaviside
  \protect\footnote
      {Oliver Heaviside (18 mai 1850 - 3 février 1925) était un physicien
        britannique autodidacte. Il a formulé à nouveau et simplifié les
        équations de Maxwell sous leur forme actuelle utilisée en calcul
        vectoriel.}} 


\bgmp{10cm}
Cette fonction notée $\mathcal{U}$ est définie sur $\R$ par:
\[
\la\mathcal{U}(t)=0 \quad si~t<0 \atop 
\mathcal{U}(t)=1 \quad si~t \geq 0 
\right.
\]

\vspd\noindent
\ul{Remarque:} 
\bgmp[t]{8cm}
Pour toute fonction $f$, la fonction $f$ définie par 
$f(t)=g(t)\,\mathcal{U}(t)$ est causale. 
\enmp
\enmp
\bgmp{8cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,2.2)
  \psline{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,2.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
\end{pspicture}
\enmp


\subsection{Fonction rampe unité}

\bgmp{10cm}
Cette fonction définie sur $\R$ par:
\[
\la f(t)=0 \quad si~t<0 \atop f(t)=t 
\quad si~t \geq 0 \right.
\quad\iff\quad 
f(t)=t \times \mathcal{U}(t)
\]
\enmp
\bgmp{8cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,2.7)
  \psline{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,3.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,3.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{5}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
\end{pspicture}
\enmp

\clearpage
\subsection{Fonction retardée/avancée} 



\bgdef{
  Soit $f$ une fonction de la variable réelle $t$ définie sur $\R$.
  \vsp
  \begin{itemize}
  \item[$\bullet$] Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=f(x-a)$, $a$
    étant un réel positif.
    
    On dit que la fonction $g$ est la fonction $f$ retardée de $a$.
    \vspd
  \item[$\bullet$] Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=f(x+a)$, $a$
    étant un réel positif.
    
    On dit que la fonction $h$ est la fonction $f$ avancée de $a$.
  \end{itemize}
}


\bgprop{
Dans le plan rapporté à un repère $(O,\vec{u},\vec{v})$, la courbe
représentative de la fonction $g$ se déduit de celle de $f$ par une
translation de vecteur $a\vec{u}$, tandis que la courbe
représentative de la fonction $h$ se déduit de celle de $f$ par une
translation de vecteur $-a\vec{u}$. 
}

\vsp
\bgex Représenter graphiquement les fonctions suivnates:

\vspd
\bgmp{6cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  $f: t\mapsto\ \mathcal{U}(t-2)$
  \vspq
\item[$\bullet$] $g: t\mapsto sin(t)\ \mathcal{U}(t)$ 
  \vspq
\item[$\bullet$] $h: t\mapsto sin(t-\pi)\ \mathcal{U}(t-\pi)$
\end{itemize}
\enmp
\bgmp{8cm}
\begin{pspicture}(-5,-2.5)(4,3.5)
  \psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,-2.4)(0,3.4)
  \multido{\i=-4+1}{9}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-2.2)(\i,3.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-2+1}{6}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
\end{pspicture}
\enmp
\enex


\subsection{Fonction créneau}

\bgmp{11cm}
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$ et $k$ un nombre réel.\\
La fonction créneau est définie sur $\R$ par 
\[
\left\{ 
\begin{array}{l} 
f(t)=0 \quad \textrm{si} \quad t<a \\ 
f(t)=k \quad \textrm{si} \quad a \leq t < b \\ 
f(t)=0 \quad \textrm{si}\quad t\geq b 
\end{array} 
\right.
\iff
f(t)=k\bigl[ \mathcal{U}(t-a)-\mathcal{U}(t-b)\bigr]
\]
\enmp
\bgmp{8cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,2.2)
  \psline{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,2.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
\end{pspicture}
\enmp

\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par: 
\[
f(t)=3\,\mathcal{U}(t)-(t-1)\,\mathcal{U}(t-1)+(t-3)\,\mathcal{U}(t-3)\,.
\]
Donner l'expression de $f$ "par morceaux", sans utiliser la fonction
$\mathcal{U}$, et la représenter graphiquement. 
\enex

\bgmp{10cm}
\[
\left\{ 
\begin{array}{lp{2cm}l} 
f(t)=&\dots \quad &\textrm{si} \quad t<0 \\ 
f(t)=&\dots \quad &\textrm{si} \quad 0\leqslant t < 1 \\ 
f(t)=&\dots \quad &\textrm{si}\quad 1\leqslant t< 3 \\ 
f(t)=&\dots \quad &\textrm{si}\quad 3\leqslant t \\ 
\end{array} 
\right.
\]
\enmp
\bgmp{8cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,3.5)
  \psline{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,3.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,3.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{5}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
\end{pspicture}
\enmp


\clearpage
\bgex Pour $k$ et $\tau$ deux réels strictement positifs, on définit
la fonction $g$ sur $\R$ par: 

\bgmp{10cm}
\[
\left\{ 
\begin{array}{lp{2cm}l} 
g(t)=&0 \quad &\textrm{si} \quad t<0 \\ 
g(t)=&$\dfrac{k}{\tau}t$ \quad &\textrm{si} \quad 0\leqslant t < \tau \\ 
g(t)=&$k$ \quad &\textrm{si}\quad t > \tau 
\end{array} 
\right.
\]
\vspd

Tracer la représentation graphique de $f$, et 
déterminer l'expression de la fonction $g$, "en un seul morceaux" en
utilisant la fonction échelon $\mathcal{U}$. 
\enmp
\bgmp{8cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(4,3.5)
  \psline{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,3.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,3.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{5}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
\end{pspicture}
\enmp

\enex

\bgex
Définir la fonction $f$ représentée graphiquement en utilisant
l'échelon unité $\mathcal{U}$. 

\begin{pspicture}(-3,-1.5)(4,2.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.4)(0,2.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
  \psline[linewidth=2pt](-2.5,0)(0,0)
  \psline[linewidth=2pt](0,1)(1,1)
  \psline[linewidth=2pt](1,0)(3,0)
  \psline[linewidth=2pt](3,1)(4.5,1)
\end{pspicture}

\vspq
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(4,2.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.4)(0,2.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
  \psline[linewidth=2pt](-2.5,0)(0,0)
  \psline[linewidth=2pt](0,1)(1,1)
  \psline[linewidth=2pt](1,1)(3,0)
  \psline[linewidth=2pt](3,1)(4.5,1)
\end{pspicture}

\vspq
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(4,2.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.4)(0,2.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
  \psline[linewidth=2pt](-2.5,0)(0,0)
  \psline[linewidth=2pt](0,1)(1,1)
  \psline[linewidth=2pt](1,1)(2,0)
  \psline[linewidth=2pt](2,0)(3,1)
  \psline[linewidth=2pt](3,1)(4.5,1)
\end{pspicture}

\enex

\clearpage
\section{Intégrales impropres (ou intégrales généralisées)}
\bgdef{
Soit $a \in \R$, $f$ une fonction continue sur $[a;+\infty[$, 
$x \in ]a;+\infty[$, et 
$$I(x)=\int_{a}^{x}f(t) dt$$
Si $I(x$) admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $+\infty$, on
dit que l'intégrale $I(x)$ converge et 
\underline{on pose} 
\[
\int_{a}^{+\infty}f(t) dt=\lim_{x \to+\infty}\int_{a}^{x}f(t) dt
\] 
Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale 
$\dsp\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ 
diverge. 
}


\bgex Calculer les intégrales: 
\[
I=\int_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{t} dt 
\qquad  
J=\int_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2}dt
\qquad 
K=\int_0^{+\infty} e^{-2t}\,dt
\qquad
L=\int_0^{+\infty} te^{-pt}\,dt\ , p>0
\]
\enex 

\vspt
\ul{Remarque:} {\bf Critère de Riemann} 

Pour quelles valeurs du réel $\alpha$, l'intégrale 
$\dsp\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{t^\alpha}\,dt$ converge-t-elle ?

\section{Transformation de Laplace}
\subsection{Définition}
\bgdef{
La transformée de Laplace d'une fonction causale $f$ est la fonction
$F=\mathcal{L}f$ de la variable réelle complexe $p$ définie par 
\[
F(p)=(\mathcal{L}f)(p)=\int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-pt}dt
\]
}

\ul{\it Remarques:} \vspd
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Pour que $F$ existe, il faut que l'intégrale 
   $\dsp\int_{0}^{+\infty} f(t)\,e^{-pt}dt$ soit convergente
   \vsp
 \item[$\bullet$] Par abus d'écriture et pour simplifier les
   notations, on la note souvent $\mathcal{L}[f(t)]$ ou
   $\mathcal{L}[f](p)$ 
\end{itemize} 

\bgex
Calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes: 

\vspd
\bgen
\item $f(t)=\mathcal{U}(t)$ 
  \vspd
\item $f(t)=t\,\mathcal{U}(t)$ 
  \vspd
\item $f(t)=e^{-at}$, pour $p$ tel que $\Re(p)>-\Re(a)$. 
  \vspd
\item $f(t)=\sin(\omega t)\,\mathcal{U}(t)$, $\omega>0$. 
\enen
\enex

\subsection{Transformée de Laplace des fonction usuelles}
\begin{enumerate}[a)]
 \item \textbf{Transformée de Laplace de l'échelon unité
   $(t\mapsto \mathcal{U}(t))$}

   La transformée de Laplace de l'échelon unité est définie pour $p>0$
   et on a  
   \[
   (\mathcal{LU})(p)=\mathcal{L}[\mathcal{U}(t)]=\dfrac{1}{p}
   \]

 \item \textbf{Transformée de Laplace de la fonction rampe  
   $t\mapsto t \times \mathcal{U}(t)$}
   
   La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
   $p>0$ et on a 
   \[
   \mathcal{L}[t \times \mathcal{U}(t)]=\dfrac{1}{p^2}
   \]

 \item \textbf{Transformée de Laplace de la fonction  
   $t\mapsto t^n \times \mathcal{U}(t)$, $n \in \N$}
   
   La transformée de Laplace de la fonction $(t\mapsto t^n \times
   \mathcal{U}(t))$ est définie pour $p>0$ et on a 
   \[
   \mathcal{L}[t^n \times \mathcal{U}(t)]=\dfrac{n!}{p^{n+1}}
   \]
   
 \item \textbf{Transformée de Laplace de la fonction  
   $t\mapsto e^{at} \times \mathcal{U}(t)$, $a \in \C$}
   
   La transformée de Laplace de la fonction 
   $t\mapsto e^{at} \times \mathcal{U}(t)$ 
   est définie pour $\Re(p)>\Re(a)$ et on a 
   \[
   \mathcal{L}[e^{at} \times \mathcal{U}(t)]=\dfrac{1}{p-a} 
   \]
\end{enumerate}


\section{Propriétés de la transformation de Laplace} 

\subsection{Linéarité}
Soit $f$ et $g$ deux fonctions causales admettant des transformées de Laplace.\\
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Alors la fonction $f+g$ admet une transformée de Laplace et 
   \[
   \mathcal{L}[f+g](p)=\mathcal{L}[f](p)+\mathcal{L}[g](p)
   \]

 \item[$\bullet$] Quelque soit $k$ appartenant à $\R$
   \[
   \mathcal{L}[k \times f](p)=k \times \mathcal{L}[f](p)
   \]
\end{itemize}

\bgex Donner la transformée de Laplace de la fonction
   définie par $f(t)=(3t+4) \times \mathcal{U}(t)$ 
\enex



\subsection{Théorème du retard}
\bgth{
$\dsp
\textrm{Si~} F(p)=\mathcal{L}[f(t)\mathcal{U}(t)], 
\textrm{ alors }
\mathcal{L}[f(t-\tau)\mathcal{U}(t-\tau)]=e^{-\tau p}F(p)
$ 
}

\bgex
Déterminer la transformée de Laplace de 
$f(t)=\mathcal{U}(t-1)-\mathcal{U}(t-3)$.
\enex


\subsection{Effet d'un changement d'échelle sur la variable}
\bgth{
Soit $\alpha >0$
$$
\textrm{Si~} F(p)=\mathcal{L}[f(t)\mathcal{U}(t)], \textrm{ alors }\mathcal{L}[f(\alpha t)\mathcal{U}(\alpha t)]=\dfrac{1}{\alpha} F\bigg(\dfrac{p}{\alpha}\bigg)
$$ 
}

\noindent
\ul{\it Remarque:} Pour $\alpha>0$, 
$
\forall t \in \R, \qquad \mathcal{U}(\alpha t)=\mathcal{U}(t)
$

\vspd

\bgex
Soit $f$ telle que
$\mathcal{L}[f(t)\mathcal{U}(t)]=\dfrac{p}{p^3+1}$. 
Déterminer $\mathcal{L}\big[f(2t)\mathcal{U}(t)\big]$ . 
\enex

\subsection{Effet de la multiplication par $e^{-ta}$}
\bgth{
Pour $a\in\C$, avec $\Re(p)>-\Re(p)$, 
\[\textrm{Si~} F(p)=\mathcal{L}\big[f(t)\mathcal{U}(t)\big],
\textrm{ alors }
\mathcal{L}\big[f(t)e^{-ta}\mathcal{U}(t)\big]=F(a+p)
\] 
}


\bgex Montrer que les transformées de Laplace des fonctions 
$t \mapsto cos(\omega t)$ et 
$t \mapsto sin(\omega t)$ sont  
\[
\mathcal{L}[cos(\omega t)\,\mathcal{U}(t)](p)=\dfrac{p}{p^2+\omega^2} 
\quad \textrm{et}  \quad  
\mathcal{L}[sin(\omega t)\,\mathcal{U}](t)(p)=\dfrac{\omega}{p^2+\omega^2}
\]
\enex

\bgex
Soit $f$ telle que $f(t)=sin(t)e^{-t}\mathcal{U}(t)$. 
Déterminer $F(p)$ 
\enex

\subsection{Transformée d'une dérivée}
\bgth{
Soit $f$ une fonction continue sur $]0;+\infty[$, dérivable par
  morceaux sur $]0;+\infty[$, dont la dérivée $f'$ est continue par
  morceaux sur $]0;+\infty[$. 
\[
\mathcal{L}\big[f'(t)\,\mathcal{U}(t)\big]=pF(p)-f(0^+)
\] 
}


\bgth{
Soit $f$ une fonction admettant une transformée de Laplace $F$.\\
Si $f'$ est continue sur $]0;+\infty[$, dérivable par morceaux sur
  $]0;+\infty[$, et si $f''$ est continue par morceaux sur
  $]0;+\infty[$ alors 
\[
\mathcal{L}\big[f''(t)\,\mathcal{U}(t)\big]=p^2F(p)-pf(0^+)-f'(0^+)
\] 
}

\bgex
Exprimer la transformée de Laplace de la dérivée troisième de $f$, 
$\mathcal{L}\lb f'''(t)\,\mathcal{U}(t)\rb$.
\enex

\subsection{Transformée d'une intégrale}
\bgth{\qquad
$\dsp
\mathcal{L}\bigg[\int_{0}^{t}f(u)\mathcal{U}(u)du\bigg]
=\dfrac{1}{p}\mathcal{L}\big[f(t)\mathcal{U}(t)\big]
=\dfrac{1}{p}F(p)
$. 
}


\subsection{Dérivée d'une transformation de Laplace}
\bgth{
Soit $f$ une fonction admettant une transformée de Laplace $F$.
\[
F'(p)=\mathcal{L}\big[-tf(t)\mathcal{U}(t)\big]
\] 
}


\bgex
Donner la transformée de Laplace de la fonction f définie par  
$f(t)=t \times sin(t)\mathcal{U}(t)$ .
\enex

\subsection{Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale}
\bgth{
Soit $F(p)=\mathcal{L}\big[f(t)\mathcal{U}(t)\big]$. 

Si les fonctions considérées ont des limites dans les conditions
indiquées, on a: 
\[
\lim_{p \to+\infty} pF(p)=\lim_{t \to 0^+}f(t) 
\qquad \textrm{(théorème~de~la~valeur~initiale)}
\]
\[
\lim_{p \to 0^+} pF(p)=\lim_{t \to +\infty}f(t) 
\qquad \textrm{(théorème~de~la~valeur~finale)}
\]
}

\subsection{Calculs de transformées de Laplace}

\bgex Calculer les transformées de Laplace des fonctions suivantes: 

\bgen
\item $f(t)=(t^3-3t+1)\,\mathcal{U}(t)$ 
\item $f(t)=(3\sin t -2 \cos(3t))\,\mathcal{U}(t)$
\item $f(t)=e^{-3t+2}\,\mathcal{U}(t)$
\enen
\enex

\bgex
On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$ par: 
\[
f(t)=\sin(2t)\,\mathcal{U}(t)
\quad 
g(t)=\cos t\,\mathcal{U}(t)
\quad
h(t)=\sin(2t)\cos t\,\mathcal{U}(t)=f(t)\tm g(t)
\]
On note $F$, $G$ et $H$ leurs transformées de Laplace respectives. 

\bgen
\item Caluler $F(p)$ et $G(p)$. 
\item Linéariser $\sin(2t)\cos t$. 
  En déduire $H(p)$. 
\item A-t-on $H=F\tm G$ ?
\enen
\enex


\bgex
En faisant apparaître le terme $t-1$, calculer la transformée de
Laplace de la fonction 
$f(t)=t^2\,\mathcal{U}(t-1)$. 
\enex


\bgex
En s'inspirant de la méthode de l'exercice précédent, 
calculer les transformées de Laplace des fonctions suivantes: 
\bgen
\item $f(t)=(t+1)\,\mathcal{U}(t-2)$
\item $f(t)=(t^2-t+1)\,\mathcal{U}(t-1)$
\item $f(t)=e^{-t}\,\mathcal{U}(t-1)$
\enen
\enex


\bgex
Soit $f$ la fonction définie par: 
\[
f(t)
=\frac{k}{\tau}\,\mathcal{U}(t)
-\frac{k}{\tau}(t-\tau)\,\mathcal{U}(t-\tau)
\quad 
\mbox{ avec } \tau \mbox{ et } k 
\mbox{ deux réels strictement positifs\,.}
\]

\bgen
\item Représenter la fonction $f$. 
\item Prouver que $F(p)=\dfrac{k}{\tau p^2}\lp1-e^{-\tau p}\rp$. 
\item Calculer $\dsp\lim_{p\to0^+} pF(p)$. 
\item Vérifier sur cet exemple le théorème de la valeur finale. 
\enen
\enex


\bgex
Définir les fonctions représentées graphiquement à l'aide de l'échelon
unité et calculer leurs transformées de Laplace. 

\begin{pspicture}(-3,-1.5)(4,2.5)
  \psline{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,2.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
  \psline[linewidth=2pt](-2.5,0)(0,0)
  \psline[linewidth=2pt](0,0)(1,1)
  \psline[linewidth=2pt](1,0)(4.5,0)
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-3,-1.5)(4,2.5)
  \psline{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,2.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
  \psline[linewidth=2pt](-2.5,0)(0,0)
  \psline[linewidth=2pt](0,0)(1,1)
  \psline[linewidth=2pt](1,1)(4.5,1)
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-3,-1.5)(4,2.5)
  \psline{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,2.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
  \psline[linewidth=2pt](-2.5,0)(0,0)
  \psline[linewidth=2pt](0,0)(1,1)
  \psline[linewidth=2pt](1,1)(2,1)
  \psline[linewidth=2pt](2,0)(4.5,0)
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-3,-1.5)(4,2.5)
  \psline{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,2.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
  \psline[linewidth=2pt](-2.5,0)(0,0)
  \psline[linewidth=2pt](0,0)(1,1)
  \psline[linewidth=2pt](1,0)(2,1)
  \psline[linewidth=2pt](2,0)(4.5,0)
\end{pspicture}


\enex

\pagebreak
\section{Original d'une fonction} 
\bgdef{
  Si $F(p)=\mathcal{L}\big[f(t)\mathcal{U}(t)\big]$, on dit que $f$
  est l'original de $F$. 
  On note aussi $f(t)=\mathcal{L}^{-1}\big[F(p)\big]$.
}

\bgth{
 L'original, s'il existe, est unique.
}

\bgprop{\ul{Linéarité}\vspd
\begin{enumerate}[a)]
 \item $\mathcal{L}^{-1}\big[F(p)+G(p)\big]
   =\mathcal{L}^{-1}\big[F(p)\big]+\mathcal{L}^{-1}\big[G(p)\big]$
   \vspd
\item $\mathcal{L}^{-1}\big[kF(p)\big]=k\mathcal{L}^{-1}\big[F(p)\big]$
\end{enumerate} 
}

\bgex
Donner l'original des fonctions suivantes 

\vspd
\bgen
\item $F(p)=\dfrac{1}{p^2}$
\item $F(p)=\dfrac{3}{p+4}$   \vspd
\item $F(p)=\dfrac{3}{p^2+4}$ \vspd
\item $F(p)=\dfrac{3}{(p+4)^2}$  \vspd
\item $F(p)=\dfrac{3}{p^2-4}$ \vspd
\item $F(p)=\dfrac{3p}{(p+4)^2}$ \vspd
\item $F(p)=\dfrac{3p}{p^2-4}$ \vspd
\item $F(p)=\dfrac{1}{p^2(p+1)}$ 
  \quad(Décomposer $F(p)$ en éléments simples, i.e. 
  $F(p)=\dfrac{\alpha}{p}+\dfrac{\beta}{p^2}+\dfrac{\gamma}{p+1}$). \vspd
\item $F(p)=\dfrac{3e^{-2p}}{p+4}$  \vspd
\item $F(p)=\dfrac{1+e^{-p}}{p^3}$
\enen 
\enex


\bgex Calculer l'original des fonctions suivantes:  \vspd
\bgen
\item $F(p)=\dfrac{1+3e^{-2p}}{p^2+2p+2}$ \vspd
\item $F(p)=\dfrac{p^3+2p+1}{p^2(p^2+2)}$ \vspd
\item $F(p)=\dfrac{1}{2p^2+p-1}$ \vspd
\item $F(p)=\dfrac{1}{4p^2+16p+17}$
\enen
\enex


\pagebreak
\section{Applications de la transformation de Laplace} 


La transformation de Laplace permet de remplacer des problèmes de
dérivation et d'intégration par des problèmes algébriques. 
Elle permet ainsi entre autre de transformer des équations
différentielles, ou systèmes d'équations différentielles, 
en équations, ou systèmes d'équations, algébriques. 

\subsection{Résolution d'équations différentielles}
Soit l'équation différentielles 
\bge\label{eqdiff0}
s'(t)+s(t)=e(t) 
\ene
avec la condition
initiale $s(0^+)=0$, et où $s$ est une fonction causale, continue sur
$]0;+\infty[$, dérivable par morceaux et où $e$ est la fonction
définie par $e(t)=\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-1)$.  

\vsp
On admet que la fonction recherchée $s$ et sa dérivée admettent des
transformées de Laplace, 
et on note $S$ la transformée de Laplace de $s$ et $E$ celle de $e$. 

\vspd
En appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de l'équation
différentielle (\ref{eqdiff0}), on obtient: 

\[
\mathcal{L}\lb s'(t)+s(t)\rb=\mathcal{L}\lb e(t)\rb
\]
soit, 
\[
pS(p)-\underbrace{\,s(0^+)\,}_{=0}+S(p)=E(p) 
\iff 
S(p)=\frac{1}{p+1}E(p)
\]

Il reste alors à calculer la transformée de Laplace $E(p)$: 
\[
\mathcal{L}(e(t))
=\mathcal{L}\Bigl( \mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-1)\Bigr)
=\mathcal{L}\Bigl( \mathcal{U}(t)\Bigr)-\mathcal{L}\Bigl(\mathcal{U}(t-1)\Bigr)
=\frac{1}{p}-\frac{1}{p}e^{-p}
=\frac{1}{p}\lp 1-e^{-p}\rp\,.
\]

On a donc, 
\[
S(p)=\frac{1}{p+1}E(p)
=\frac{1}{p(p+1)}\lp 1-e^{-p}\rp
\]
et il ne reste plus qu'à calculer l'original $s$ de $S$: 
\[
S(p)=\frac{1}{p(p+1)}\lp 1-e^{-p}\rp
=\frac{1}{p(p+1)}-\frac{1}{p(p+1)}e^{-p}
\]
or, en décomposant en éléments simples: 
$\dsp \frac{1}{p(p+1)}=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}$
d'où, 
\[
\mathcal{L}^{-1}\lb\frac{1}{p(p+1)}\rb
=\mathcal{U}(t)-e^{-t}\mathcal{U}(t)
\]
et, d'après le théorème du retard: 
\[
\mathcal{L}^{-1}\lb\frac{1}{p(p+1)}e^{-p}\rb
=\mathcal{U}(t-1)-e^{-(t-1)}\mathcal{U}(t-1)\,.
\]

On en déduit donc la solution $s$, 
\[
s(t)=\mathcal{U}(t)-e^{-t}\mathcal{U}(t)
-\mathcal{U}(t-1)+e^{-(t-1)}\mathcal{U}(t-1)
\]
ou encore, sans utiliser l'échelon unité $\mathcal{U}$: 
\[\la\bgar{llll}
s(t)=0& &\mbox{si, } & t<0 \\
s(t)=s_1(t)=&1-e^{-t} &\mbox{si, } & 0\leqslant t<1 \\
s(t)=s_2(t)=&(e-1)e^{-t} &\mbox{si, } & t\geqslant 1
\enar\right.
\]

\ct{
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(4,2.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.4)(0,1.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2)
    \rput(\i,-0.2){$\i$}
  }
  \multido{\i=-1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.2,\i){$\i$}
  }
  \psline[linewidth=1.8pt](-2.5,0)(0,0)
  \psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{0}{5}{1 2.718 -1 x mul exp sub}
  \psplot[linewidth=1.8pt]{0}{1}{1 2.718 -1 x mul exp sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{0}{5}{2.718 1 sub 2.718 -1 x mul exp mul}
  \psplot[linewidth=1.8pt]{1}{5}{2.718 1 sub 2.718 -1 x mul exp mul}
  \rput(0.5,1.4){$s_2$}
  \rput(0.3,.5){$s_1$}
\end{pspicture}
}



\bgex
On considère l'équation différentielle: 
\[
2s'(t)-s(t)=e(t)\,,
\]
avec la condition initiale $s(0^+)=0$, où $s$ est une fonction
causale, continue sur $]0;+\infty[$, dérivable par morceaux, 
et où $e$ est la fonction définie par 
$e(t)=2\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-2)$. 

On admet que $s$ et sa dérivée ont des transformées de Laplace, et on
note $S$ la transformée de Laplace de $s$ et $E$ celle de $e$. 

\bgen
\item Représenter la fonction $e$. 
\item Prouver que $\dsp S(p)=2F(p)-F(p)e^{-2p}$, 
  avec $\dsp F(p)=\frac{1}{p-\frac{1}{2}}-\frac{1}{p}$.
\item Calculer l'original de $F$. 
\item En déduire la solution de l'équation différentielle. 
\item Exprimer $s$ sans utiliser l'échelon unité. 
\enen
\enex


\bgex On considère l'équation différentielle: 
\[
s"(t)-2s'(t)+s(t)=e(t)\,,
\]
avec les conditions initiales $s(0^+)=0$ et $s'(0^+)=0$, 
et $e(t)=\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-1)$. 

\bgen
\item Représenter la fonction $e$.
\item Prouver que $S(p)=F(p)-F(pe^{-p}$, 
  avec $F(p)=\frac{1}{p}-\frac{1}{p-1}+\frac{1}{(p-1)^2}$. 
\item Calculer l'original de $F$. 
\item En déduire la solution de l'équation différentielle. 
\item Exprimer $s$ sans l'échelon unité. 
\enen
\enex





\subsection{Résolution de systèmes d'équations différentielles}

\bgex Résoudre le système d'équations différentielles: 
\[
\la \begin{array}{l} x'(t)=2x(t)-y(t) \\ y'(t)=x(t)+2y(t) \end{array} \right.
\]
avec les conditions initiales 
$$
\left\{ \begin{array}{l} x(0^+)=1 \\ y(0^+)=0 \end{array} \right.
$$
où $x$ et $y$ sont des fonctions causales de la variables réelle $t$,
continues sur $]0;+\infty[$, dérivables par morceaux. On admet que
  $x$, $y$, $x'$ et $y'$ admettent des transformées de Laplace. 
\enex

\bgex
En utilisant la trnasformation de Laplace, résoudre le système
différentiel suivant: 
\[\la\bgar{ll}
x'&=2x+y\\
y'&=x+2y
\enar\right.
\]
avec les conditions initiales: 
$\la\bgar{ll}
x(0^+)=0\\ y(0^+)=1
\enar\right.$, 
et où $x$ et $y$ sont des fonctions causales de la variable $t$,
continues sur $]0;+\infty[$, dérivables par morceaux. 
On admet de plus que $x$, $y$ et leurs dérivées ont des transformées de
Laplace. 
\enex

\subsection{Systèmes linéaires}

On considère un système qui associe une sortie $s(t)$ à une entrée
$e(t)$, avec $e$ et $s$ des fonctions causales. 

\ct{
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,2)
  \psline(-2,-1)(2,-1)(2,1)(-2,1)(-2,-1)
  \psline{->}(-4,0)(-2,0)\rput(-4.5,0){$e(t)$}\rput(-3,0.3){entrée}
  \psline{->}(2,0)(4,0)\rput(4.5,0){$s(t)$}\rput(3,0.3){sortie}
\end{pspicture}
}

\bgdef{
  On dit que le système est linéaire d'ordre 2 si $e$ et $s$ vérifient
  une équation différentielle du type: 
  \[
  a_2 s"+a_1 s'+a_0 s = b_2 e" + b_1 e + b_0\,,
  \]
  où, $a_0$, $a_1$, $a_2$, $b_0$, $b_1$ et $b_2$ sont des nombres
  réels. 
}

\vspq\noindent
\ul{Exemple:} Circuit RLC

\newsavebox{\bobine}
\savebox{\bobine}{
  \pscurve(0,0)(0.2,0.2)(0.3,0)(0.25,-0.2)(0.2,-0.18)(0.18,-0.15)(0.3,0.)
}

\ct{
\begin{pspicture}(-2,-2)(10,4)
  \psline{->}(0,0)(0,2)\rput(-0.5,1){$e(t)$}
  \psline(0.2,0)(7.8,0)
  \psline(0.2,2)(1,2)
  \pspolygon(1,1.8)(2,1.8)(2,2.2)(1,2.2)\rput(1.5,2.6){$R$}
  \psline(2,2)(4.07,2)
  \rput(4,2){\usebox{\bobine}}
  \rput(4.3,2){\usebox{\bobine}}
  \rput(4.6,2){\usebox{\bobine}}
  \rput(4.9,2){\usebox{\bobine}}
  \rput(5.2,2){\usebox{\bobine}}\rput(5,2.6){$L$}
  \psline(5.55,2)(7.8,2)
  \psline(7,0)(7,0.85)\psline(7,2)(7,1.15)
  \psline(6.75,0.85)(7.25,0.85)
  \psline(6.75,1.15)(7.25,1.15)\rput(6.5,1){$C$}
  \psline{->}(8,0)(8,2)\rput(8.4,1){$s(t)$}
  \pspolygon[linestyle=dashed](0.5,-0.5)(7.5,-0.5)(7.5,3)(0.5,3)
  \rput(4,3.2){Système}
\end{pspicture}
}

$e(t)$ et $s(t)$ sont les tensions d'entrée et de sortie du circuit,
reliées par l'équation différentielle: 
\[
LCs"+RCs'+s=e\,.
\]
Il s'agit donc bien d'un exemple de système linéaire. 

\bgdef{
  On dit qu'un système est initialement au repos lorsque les
  conditions initiales sont: 
  \[\la\bgar{ll}
  s(0^+)=s'(0^+)=0 \vspd\\
  e(0^+)=e'(0^+)=0
  \enar\right.\]
}

\vspd
Dans ces conditions, en appliquant la trasformée de Laplace,
l'équation différentielle devient: 
\[
a_2 p^2S(p)+a_1pS(p)+a_0S(p)=b_2p^2E(p)+b_1pE(p)+b_0E(p)\,,
\]
et on en déduit: 

\bgprop{
  Pour un système initialement au repos, on a  
  $S(p)=H(p)\tm E(p)$, avec la 
  {\bf fonction de transfert du système} 
  \[
  H(p)=\frac{b_2p^2+b_1p+b_0}{a_2p^2+a_1p+a_0}
  =\frac{N(p)}{D(p)}
  \]
}

\bgth{{\bf Stabilité d'un système} 

  Un système linéaire est stable si, quand $e(t)=\delta(t)$, 
  on a $\dsp\lim_{t\to+\infty} s(t)=0$. 

  En d'autres termes, le système est stable si en le soumettant à une
  impulsion, il finit par retourner vers son état au repos. 
}


Si $e(t)=\delta(t)$, alors $E(p)=1$, et donc, 
$\dsp S(p)=\frac{N(p)}{D(p)}$. 

Le système linéaire est stable si, et seulement si, toutes les racines de 
$D(p)$ (qu'on appelle des {\bf pôles}) ont leurs parties réelles
négatives. 

\bgex
Le circuit RLC précédent est-il stable ?
\enex

%\pagebreak
\bgex {\it D'après un sujet de BTS} 

\bgmp{11cm}
La fonction de transfert d'un système $H$ est définie par: 
\[ H(p)=\frac{p}{p^2+2p+2}\,.\]
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(6,3)
  \psline[arrowsize=6pt]{->}(0,1)(1,1)
  \psline(1,1)(2,1)\rput(1,1.3){$x(t)$}
  \pspolygon(2,0.5)(4,0.5)(4,1.5)(2,1.5)\rput(3,1){Système}
  \psline[arrowsize=6pt]{->}(4,1)(5,1)
  \psline(5,1)(6,1)\rput(5,1.3){$y(t)$}
\end{pspicture}
\enmp

On considère le signal d'entrée $x$ défini sur $\R$ par 
\[\la\bgar{ll}
x(t)=0 &\mbox{ si } t<0 \\
x(t)=5\sin t &\mbox{ si } t\geqslant 0
\enar\right.\]
Le signal de sortie $y$ du système soumis au signal d'entrée $x$ est
tel que: 
\[
Y(p)=H(p)\tm X(p) 
\]
où $X$ et $Y$ sont les transformées de Laplace respectives des
fonctions numériques $x$ et $y$: 
\[
X(p)=\mathcal{L}\lb x(t)\rb 
\quad \mbox{ et } \quad
Y(p)=\mathcal{L}\lb y(t)\rb 
\]
On se propose de déterminer le signal de sortie $y$. 

\bgen
\item Déterminer $X(p)$ et $Y(p)$. 
\item Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que, pour tout
  réel $p$, on ait: 
  \[
  \frac{5p}{(p^2+1)(p^2+2p+2)}
  =\frac{ap+b}{p^2+1}+\frac{cp+d}{(p+1)^2+1}
  \]
\item 
  \bgen
  \item Calculer les originaux respectifs de: 
    \[
    \frac{p}{p^2+1}\ ,\ 
    \frac{1}{p^2+1}\ ,\ 
    \frac{p+1}{(p+1)^2+1}\ ,\ 
    \frac{1}{(p+1)^2+1}\,.
    \]
  \item En déduire l'expression de $y(t)$ sur chacun des intervalles 
    $]-\infty;0[$ et $[0;+\infty[$. 
  \enen
\enen
\enex

\pagebreak
\bgex {\it D'après un sujet de BTS}

{\bf Partie A.}  

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: 
$\dsp f(t)= \sin\lp\frac{t}{2}\rp e^{\frac{-t}{2}}$. 

\bgen
\item Le but de cette question est l'étude des variations de la
  fonction $f$ sur l'intervalle $[0;\pi]$. 
  \bgen[a.]
  \item Calculer $f'(t)$, puis vérifier que pour tout réel $t$ de
    l'intervalle $[0;\pi]$, 
    $\dsp 
    f'(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{-t}{2}}\cos\lp\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\rp$.
  \item Etudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0;\pi]$. 
  \item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur
    l'intervalle $[0;\pi]$. 
  \item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ dans un
    repère orthogonal $(O;\vec{u},\vec{v})$, pour $t$ variant dans
    l'intervalle $[0;\pi]$. 
    On prendra pour unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et
    10 cm sur l'axe des ordonnées. 
  \item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle
    $[0;\pi]$. (On pourra utiliser une double intégration par parties,
    ou utiliser les formules d'Euler). 
  \enen

\item On définit la fonction $g$ par: 
  \[
  g(t)=f(t)\,\mathcal{U}(t)-f(t-\pi)\mathcal{U}(t-\pi)\ ,\ 
  \mbox{ où } \mathcal{U} \ \mbox{ est l'échelon unité}\,.
  \]
  \bgen[a.] 
  \item Expliciter $g(t)$ sur l'intervalle $[0;\pi]$, puis sur
    l'intervalle $[0;+\infty[$. 
  \item On admet que les fonctions $t\mapsto f(t)\,\mathcal{U}(t)$ et
    $t\mapsto g(t)$ possèdent des transformées de Laplace $F$ et $G$. 
    
    Calculer les transformées de Laplace suivantes: 
    \[
    \mathcal{L}\lb \sin\lp\frac{t}{2}\rp\,\mathcal{U}(t)\rb 
    \quad \mbox{ puis } \quad
    \mathcal{L}\lb f(t)\,\mathcal{U}(t)\rb
    \quad \mbox{ et enfin } \quad 
    \mathcal{L}\lb f(t-\pi)\,\mathcal{U}(t-\pi)\rb\,.
    \]
    En déduire la transformée de Laplace $G$ de la fonction $g$. 
  \enen
\enen

{\bf Partie B.}  

\vspace{-0.5cm}
\bgmp{11cm}
Soit un système "entrée-sortie" représenté par le schéma: 
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,2)
  \psline[arrowsize=6pt]{->}(0,1)(1,1)
  \psline(1,1)(2,1)\rput(1,1.3){$x(t)$}
  \pspolygon(2,0.5)(4,0.5)(4,1.5)(2,1.5)\rput(3,1){Système}
  \psline[arrowsize=6pt]{->}(4,1)(5,1)
  \psline(5,1)(6,1)\rput(5,1.3){$y(t)$}
\end{pspicture}
\enmp

où $e$ et $s$ sont respectivement les signaux d'entrée et de sortie,
nuls pour $t$ négatif et admettant des transformées de Laplace notées 
$E$ et $S$. 

La fonction de transfert du système est définie par: 
$S(p)=H(p)\tm E(p)$. 

Dans cet exercice la fonction de transfert $H$ est donnée par: 
$\dsp H(p)=\frac{p}{2p^2+2p+1}$ et la fonction $e$ est un "créneau"
défini par: $e(t)=\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-\pi)$. 

\bgen
\item Déterminer la transformée de Laplace $E$ de la fonction $e$. 
\item Vérifier que: 
  $\dsp 2p^2+2p+1=2\lb \lp p+\frac{1}{2}\rp^2+\frac{1}{4}\rb$ 
  et calculer $S(p)$. 
  En déduire l'expression de $s(t)$. 
  (On pourra pour cela utiliser les résultats de la partie A.).
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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