Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfkeywords={BTS, math�matiques, S�rie de Fourier, exercices}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
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\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
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\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
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\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
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\newlength{\ldef}
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\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
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\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{S�ries de Fourier - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
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\cfoot{\TITLE}
\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\Large\bf \TITLE}
\vspq
\bgex
Soit $\alpha$ un nombre r�el et $f$ la fonction p�riodique de p�riode
1, d�finie par l'expression
\[
f(t)=\cos(3\alpha)\cos(2\pi t)+\sin(3\alpha)\sin(2\pi t)
\]
\bgen
\item D�terminer les coefficients de Fourier de $f$.
\item D�terminer la valeur moyenne de $f$ et sa valeur efficace.
\enen
\enex
\bgex
Soit $\alpha$ un nombre r�el, $0<\alpha<1$,
et $\psi$ la fonction impaire et $2\pi$-p�riodique d�finie par
\[
\psi(t)=\la\bgar{ll}
t & \mbox{ si } 0\leqslant t \leqslant \alpha\pi \\
0 & \mbox{ si } \alpha\pi< t \leqslant \pi
\enar\right.
\]
\bgen
\item Repr�senter graphiquement la fonction $\psi$ sur
$[-2\pi\,;\,4\pi]$.
\item Ecrire la s�rie de Fourier associ�e � $\psi$.
\enen
\enex
\bgex
Soit la fonction $\pi$-p�riodique $\vphi$ d�finie par
\[
\vphi(t)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\cos(2nt)
-\dfrac{5\sqrt{2}}{6}\sin(2nt)+\dfrac{\sqrt{6}}{8}\cos(6nt)
\]
D�terminer la valeur efficace $\vphi_{\text{eff}}$ de $\vphi$.
\enex
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$, de p�riode $2\pi$ telle
que:
\[
f(t)=Ke^{-t}\qquad \mbox{ si}\ t\in[0;2\pi[\,,
\]
$K$ �tant une constante r�elle positive.
\bgen
\item On se propose de calculer les int�grales
\[
I=\int_0^{2\pi} e^{-t}\,\cos(nt)\,dt
\qquad\mbox{ et }\qquad
J=\int_0^{2\pi} e^{-t}\,\sin(nt)\,dt
\]
o� $n$ est un entier strictement positif.
\bgen[a.]
\item {\it Premi�re m�thode}
En int�grant $I$ par parties, prouver que
$I=\dfrac{1}{n}J$.
En int�grant $J$ par parties, prouver que
$J=\dfrac{1}{n}\lp 1 - e^{-2\pi}\rp-\dfrac{1}{2}I$.
En d�duire les valeurs de $I$ et $J$.
\vspd
\item {\it Deuxi�me m�thode}
Prouver que
$\dsp\int_0^{2\pi} e^{jnt}e^{-t}\,dt=\dfrac{1-e^{-2\pi}}{1-nj}$,
o� $j$ est le nombre complexe de module 1 et d'argument
$\dfrac{\pi}{2}$.
En d�duire les valeurs de $I$ et $J$.
\enen
\item Calculer les coefficients de Fourier de $f$.
\vspd
Dans toute la suite, on suppose que
$K=\dfrac{\pi}{1-e^{-2\pi}}$.
\item Prouver que, si $t\not= 2k\pi$ ($k\in\Z$), on a:
\[
f(t)=\dfrac{1}{2}
+\sum_{n=1}^{+\infty}\lp
\dfrac{1}{n^2+1}\cos(nt)+\dfrac{n}{n^2+1}\sin(nt)
\rp
\]
Quelle est la somme de la s�rie de Fourier si $t=2k\pi$ ?
\item Dessiner le spectre de fr�quence de $f$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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