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Description
Cours de mathématiques: Séries de Fourier - Décomposition harmonique
Niveau
BTS
Table des matières
  • Série de Fourier - Définition et objectif
  • Décomposition d'une fonction en série trigonométrique
    • Un candidat pour la série de Fourier ?
    • Cet unique prétendant fait-il l'affaire ?
    • Calcul plus rapide des coefficients de Fourier: parité de la fonction
  • Analyse spectrale
  • Formule de Parseval
  • Forme complexe de la série de Fourier
  • Exercices
Mots clé
Fourier, série de Fourier, cours de mathématiques
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\newcounter{ntheo}
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  \settowidth{\ltheo}{Thorme \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Thorme}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Proprit}% \arabic{ntheo}}
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  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Dfinition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Dfinition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Dmonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
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\newcommand{\Obj}[1]{%
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}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Sries de Fourier}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}

\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\LARGE\bf \TITLE\protect\footnote{Joseph Fourier, n le 21 mars
    1768  Auxerre et mort le 16 mai 1830  Paris, est un
    mathmaticien et physicien franais, connu pour ses travaux sur la
    dcomposition de fonctions priodiques en sries trigonomtriques
    convergentes appeles sries de Fourier. Il fait ses tudes chez
    les Bndictins  l'cole militaire d'Auxerre. Destin  l'tat
    monastique, il prfre s'adonner aux sciences. Il intgre l'cole
    normale suprieure, o il a entre autres comme professeurs
    Joseph-Louis Lagrange, Gaspard Monge et Pierre-Simon Laplace,
    auquel il succde  la chaire  Polytechnique en 1797.}} 

\vspq
\Obj{Une srie de Fourier d'une fonction, ou signal, priodique $f$,
  est sa dcomposition en une somme de fonctions sinusodales. 
}

%crire une fonction comme somme de polynme (DL)

\section{Dfinition}

\bgdef{
  Une srie de Fourier est une srie dont le terme gnral est de la forme:
  $$
  u_n=a_n \cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t) 
  \qquad \textrm{ o } a_n, b_n, \omega \textrm{ et }t 
  \textrm{ sont des rels}
  $$
  Il s'agit donc d'une srie que l'on peut crire sous la forme:
  \[
  a_0+\sum_{n \geq 1}   a_n \cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)
  =a_0+a_1\cos(\omega t)+b_1\sin(\omega t)
  +a_2\cos(2\omega t)+b_2\sin(2\omega t)
  +\dots
  \]
  Les coefficients $a_n$ et $b_n$ sont appels les coefficients de
  Fourier. 
}

\ul{Exemple:}
\[\bgar{ll}
\dsp 3+\sum_{n \geq 1}   (-1)^n \cos(2\pi n t)+ 18\sin(2 \pi n t)
\ ,\qquad 
a_0=3\ ,\ a_n=(-1)^n\ ,\ b_n=18\ ,\ \omega=2\pi\\[0.6cm]
\dsp\dfrac{\pi}{2}+\sum_{n \geq 1}   \dfrac{(-1)^n}{n}\sin(n t)
\ ,\qquad 
a_0=\dfrac{\pi}{2}\ ,\ a_n=0\ ,\ b_n=\frac{(-1)^n}{n}\ ,\ \omega=1\\[0.6cm]
\dsp\sum_{n \geq 1}   \dfrac{(5)^n+3}{n+6}\cos(3n t)
\ ,\qquad 
a_0=0\ ,\ a_n=\frac{(5)^n+3}{n+6}\ ,\ b_n=0\ ,\ \omega=3
\enar\]


\bgdef{
  Si pour tout rel $t$, cette srie converge alors on dfinit la
  fonction $S$ par 
  \[
  S(t)=a_0+\sum_{n = 1}^{+\infty}   a_n \cos(n\omega t)+b\sin(n\omega t)
  \]
  On dit alors que la srie de Fourier converge vers la fonction $S$.
}

\vspt
\ul{\it Remarque:}
La srie converge vers une fonction et non plus vers un nombre.


\bgex
  A l'aide de la calculatrice trouver l'expression de la fonction qui
  est la limite de la srie de Fourier suivante. 
  \[
  S(t)=\dfrac{\pi}{2}+\sum_{n \geq 1}   \dfrac{(-1)^n}{n}\sin(n t)
  \]

  Comparer avec la fonction $f$ 2$\pi$-priodique dfinie par: 
  \[
  f(t)=\frac{\pi-t}{2}\ ,\ \mbox{pour } t\in]-\pi;\pi[
  \]
%Avec Matlab: 
%N=20;S=pi/2*ones(size(t));for n=1:N,S=S+(-1)^n/n*sin(n*t);end,plot(t,S)
\enex

\Obj{ 
  Pour une fonction $f$ donne (avec
  $f$ continue par morceaux et priodique de priode $T$), on
  recherche une srie de Fourier qui converge vers $f$. 
}
\vspq

\clearpage
\section[Dcomp. d'une fonction]{Dcomposition d'une fonction en srie trigonomtrique}

\subsection{Un candidat pour la srie de Fourier?}
\bgth{
  Soit $f$ une fonction continue par morceaux priodique de priode T.\\
  \underline{Si} $f$ s'crit comme la somme d'une srie de Fourier 
  $ a_0+\sum_{n \geq 1}   a_n \cos(n\omega t)+b\sin(n\omega t)$ 
  \underline{alors}:
  $$
  \omega=\dfrac{2 \pi}{T}
  $$
  $$
  a_0=\dfrac{1}{T} \int_{\alpha}^{\alpha+T} f(t) dt 
  \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}
  $$
  $$
  \textrm{pour } n > 0,~ a_n
  =\dfrac{2}{T} \int_{\alpha}^{\alpha+T} f(t)\cos (n\omega t) dt
  \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}
  $$
  $$
  \textrm{pour } n > 0,~ b_n
  =\dfrac{2}{T} \int_{\alpha}^{\alpha+T} f(t)\sin (n\omega t) dt
  \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}
  $$
}

\subsection{Cet unique prtendant fait-il l'affaire?}

\bgdef{
  On dit qu'une fonction priodique $f$ satisfait aux conditions de
  Dirichlet\footnotemark[1] 
  (on dit aussi que
  $f$ est $C^1$ par morceaux, ce qui s'crit CM$^1$) si: 
  \begin{enumerate}[1)]
  \item Sauf en un nombre fini de points particuliers sur une priode,
    $f$ est continue, drivable et sa drive $f'$ est continue. 
  \item en ces points particuliers, $f$ et $f'$ admettent des limites
    finies  gauche et  droite. 
  \end{enumerate}
}

\footnotetext[1]{Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 fvrier
    1805, Dren - 5 mai 1859, Gttingen) est un mathmaticien
    allemand. 
    Il a t lev en Allemagne, puis a t ensuite envoy en France pour
    suivre ses tudes suprieures. Il fut en contact avec les plus grands
    mathmaticiens franais de l'poque,  l'instar de Legendre, Laplace
    ou Fourier. Il retourne ensuite en 1825 en Allemagne o il travaille
    avec Gauss, dont il reprendra la chaire  l'Universit de Gttingen,
    et Jacobi. Il eut entre autres comme lve Riemann.
  }

\bgex
Soit $k>0$.\\
Soit $f$ une fonction impaire de priode $\pi$ dfinie par 
\[
f(t)=
\la\bgar{cl}
k &\textrm{ pour } t \in [0;\dfrac{\pi}{2}[\\
-k &\textrm{ pour } t \in [\dfrac{\pi}{2};\pi[
\enar\right.
\]
     
 Cette fonction vrifie-t-elle les conditions de Dirichlet?

\vspd
 Calculer ses coefficients de Fourier, et crire sa srie de Fourier. 
\enex



\bgth{
  Si $f$ est une fonction priodique satisfaisant aux conditions de
  Dirichlet, alors 
  \begin{enumerate}[1)]
  \item si $f$ est continue en $t$ alors la srie de Fourier associe
     $f$ converge vers $f(t)$ 
  \item si $f$ n'est pas continue en $t$ alors la srie de Fourier
    associe  $f$ converge vers 
    $ \dfrac{1}{2}[f(t^+)+f(t^-)]$
  \end{enumerate}
}

\newpage
\subsection{Calcul plus rapide des coefficients de Fourier}
%\enlargethispage{2\baselineskip}

\vspace{-0.6cm}
\bgprop{\vspace{-0.4cm}
  \begin{enumerate}[]
  \item \textbf{\underline{Si $f$ est paire}}
    \vspace{-0.4cm}
    \[\bgar{c}
    \dsp\forall n,~ b_n=0
    \\[0.2cm]
    \dsp a_0=\dfrac{2}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) dt
    \\[0.4cm]
    \dsp\textrm{pour } n > 0,~ a_n
    =\dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t)\cos (n\omega t) dt
    \enar\]

  \item \underline{\textbf{Si $f$ est impaire}}
    \vspace{-0.9cm}
    \[\bgar{c}
    \dsp\forall n,~ a_n=0$$
    \\[0.2cm]
    \dsp\textrm{pour } n > 0,~ b_n
    =\dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t)\sin (n\omega t) dt
    \enar\]
  \end{enumerate}
}

\bgex
Soit $k>0$.\\
Soit $f$ une fonction impaire de priode $\pi$ dfinie par 
\[
f(t)=
\la\bgar{cl}
k &\textrm{ pour } t \in [0;\dfrac{\pi}{2}[\\[0.3cm]
-k &\textrm{ pour } t \in [-\dfrac{\pi}{2};0[
\enar\right.
\]
Aprs avoir reprsent $f$ sur $[-2\pi;2\pi]$, Donner la srie de
Fourier associe  $f$. 
\enex


\bgex {\it Signal "dents de scie"} 

On considre la fonction $f$ dfinie sur $\R$, de priode $2\pi$,
telle que: 
\[
f(t)=t\ \ \mbox{ si } t\in[-\pi;\pi[
\]
Soit $a_n$ et $b_n$ les coefficients de Fourier de cette fonction. 

\vsp
\bgen
\item Reprsenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi;4\pi]$. 
\vsp
\item Justifier que, pour tout $n$, $a_n=0$. 
\vsp
\item Prouver que pour tout entier $n>0$, 
  $b_n=\dfrac{2}{n}(-1)^{n+1}$. 
\vsp
\item Ecrire les cinq premiers termes de la srie de Fourier associe
   $f$. 
\enen
\enex

\bgex {\it "Redressement biphas"}

On considre la fonction $f$ dfinie sur $\R$ par 
$f(t)=\left|\cos t\right|$. 

Soit $a_n$ et $b_n$ les coefficients de Fourier de cette fonction. 

\vsp
\bgen
\item Reprsenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi;4\pi]$. 
\vsp
\item Prouver que $f$ est une fonction paire de priode $\pi$. 
\vsp
\item Dterminer les valeurs des coefficients $b_n$. 
\vspd
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur une priode. 
\vsp
\item Prouver que, pour $n>0$, on a: 
  \[
  a_n=\frac{2}{\pi}
  \int_0^{\frac{\pi}{2}} 
  \lb 
  \cos((2n+1)t)+\cos((2n-1)t)
  \rb\,dt
  \]
  En ddurie que $a_n=\dfrac{4(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}$.
\vsp
\item Ecrire les cinq premiers termes de la srie de Fourier associe
   $f$. 
\enen
\enex

\bgex {\it "Dents de scie symtrique"} 

Soit $f$ la fonction dfinie sur $\R$, de priode 4, impaire, et telle
que: 
\[
\la\bgar{ll}
f(t)=t &\mbox{ si }\ t\in[0;1[\\
f(t)=-t+2 &\mbox{ si }\ t\in[1;2[
\enar\right.
\]
\bgen
\item Dterminer les coefficients de la srie de Fourier associe 
  $f$. 
\vsp
\item Ecrire la srie de Fourier de $f$, et montrer que cette srie
  converge vers $f$. 
\vsp
\item En calculant $f(1)$, prouver que: 
  \[
  \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}\,.
  \]
\enen

\enex

\section{Analyse spectrale}

Pour une fonction $f$ $T$-priodique et vrifiant les conditiant de
Dirichlet, on a donc la srie de Fourier, 
avec la pulsation $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$: 
\[
a_0+\sum_{n\geqslant1} a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)
\]
qui peut aussi s'crire: 
\vspace{-0.6cm}
\[
a_0+\sum_{n\geqslant1} A_n \sin(n\omega t-\varphi_n)
\]
avec les coefficients $A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$. 

\bgdef{
  Le \ul{spectre} de la fonction $f$ est la suite de coefficients
  $(A_n)$. 
}

\section[Formule de Parseval]{Formule de Parseval
  \protect \footnote{Marc-Antoine Parseval des Chnes (27 avril 1755 -
    16 aot 1836) est un mathmaticien franais, clbre pour les
    travaux connus sous le nom d'galit de Parseval, qui est une
    formule fondamentale de la thorie des sries de Fourier.}} 

\bgth{
  Soit $f$ une fonction priodique et continue par morceaux. On a alors
  $$
  \dfrac{1}{T} \int_0^T [f(t)]^2dt 
  = a_0^2+\dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)
  $$
}

\vspd
\ul{\it Remarque:}
 Il n'est pas ncessaire que $f$ vrifie les conditions de Dirichlet.

\enlargethispage{3\baselineskip}

\bgex {\it "Redressement monophas"} 

On considre la fonction $f$ dfinie sur $\R$, de priode $2\pi$,
paire, telle que: 
\[\la\bgar{ll}
f(t)=\cos t &\mbox{ si }\ t\in\Bigr[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[\\[0.3cm]
f(t)=0 &\mbox{ si }\ t\in\Bigr[\dfrac{\pi}{2};\pi\Bigr[
\enar\right.\]

\bgen
\item Reprsenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4\pi;4\pi]$. 
\vsp
\item Calculer les coefficients de Fourier de cette fonction, 
  et crire la srie de Fourier correspondante. 
\vsp
\item Calculer la valeur efficace de la fonction $f$, et appliquer la
  formule de Parseval. 
\enen
\enex


\bgex {\it D'aprs un sujet de BTS} 

Un signal est modlis par la fonction $f$ dfinie sur $\R$ par: 
$f$ est paire et de priode $\pi$, 
et $f(t)=t\sin t$ pour $t$ lment de l'intervalle 
$\Bigr[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[$. 

\bgen
\item 
  \bgen[a.]
  \item Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle 
    $\Bigr[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[$. 
  \item Soit $\mathcal{C}_1$ la reprsentation graphique de $f$ sur
    l'intervalle $\Bigr[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[$, 
    Trace dans un repre orthonormal du plan (unit
    graphique 2cm).  

    Tracer les tangentes  $\mathcal{C}_1$ aux points d'abscisses 
    $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$. 
    Tracer $\mathcal{C}_1$ 
  \item Dans un mme repre, tracer la reprsentation graphique
    $\mathcal{C}$ de $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$. 
  \enen

\item On admet que $f$ est dveloppable en srie de Fourier et que,
  pour tout $t$ lment de $\R$, 
  \[
  f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\lp a_n\cos(2nt)+b_n\sin(2nt)\rp\,.
  \]
  \bgen[a.]
  \item Justifier que $b_n=0$ pourtout $n\geqslant 1$.
  \item Calculer $a_0$. 
  \item Montrer que 
    $\dsp a_1=\frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} t\lp \sin(3t)-\sin t\rp\,dt
    $
    En dduire que $a_1=\dfrac{-20}{9\pi}$. 

    Dans la suite, on utilisera le rsultat: 
    \[
    a_n=\frac{2}{\pi}(-1)^n
    \lb
    \frac{1}{(2n+1)^2}+\frac{1}{(2n-1)^2}
    \rb
    \]
  \enen

\item On considre la fonction $g$ dfinie que $\R$ par: 
  \[g(t)=a_0+a_1\cos(2t)++a_2\cos(4t)\,.\]
  On admet que la formule de Parseval applique  $g$ donne une valeur
  approche  $10^{-3}$ prs de la valeur efficace $f_e$ de la
  fonction $f$.  

  Calculer alors une valeur approche  $10^{-3}$ prs de $f_e$.  
\enen
\enex


\section{Forme complexe des sries de Fourier}

\bgprop{
  La srie de Fourier associe  une fonction $f$ peut s'crire 
  \[
  \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n e^{in\omega t}
  \]
  \vspd
  avec
  \vspace{-0.6cm}
  \[
  c_n=\dfrac{1}{T} \int_{\alpha}^{\alpha+T} f(t)e^{-in\omega t} dt
  \]
}

\bgprop{
  Les relations entre les coefficients rels $a_n$ et $b_n$ et les
  coefficients complexes $c_n$ sont: 
  $$
  c_0=a_0
  $$
  $$
  c_n=\dfrac{a_n-ib_n}{2}
  $$
}

\bgprop{
  La formule de Parsemal s'crit
  $$
  \dfrac{1}{T} \int_0^T [f(t)]^2dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} |c_n|^2
  $$
}

\newpage
\bgex {\it D'aprs un sujet de BTS}

\bgen
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. 

  Calculer  l'aide de deux intgrations par parties successives
  l'intgrale: 
  \[
  J=\int_0^\pi t(\pi-t)\cos(2nt)\,dt \,.
  \]

\item On considre la fonction $u$ de $\R$ dans $\R$, priodique de
  priode $\pi$, dfinie par: 
  \[
  u(t)=t(\pi-t)\ \ \mbox{ si } t\in[0;\pi] \,.
  \]
  \bgen[a.]
  \item Montrer que $u$ est paire et tracer sa reprsentation
    graphique sur $[-2\pi;2\pi]$. 
  \item Vrifier que $u$ satisfait aux conditions de Dirichlet. 
  \item Calculer ses coefficients de Fourier et en dduire que pour
    tout $t$ rel: 
    \[
    u(t)=\frac{\pi^2}{6}-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(2nt)}{n^2}\,.
    \]
  \enen

\item $n$ est un entier naturel non nul. 
  Justifier la convergence des sries numriques de terme gnral: 
  \[
  \frac{1}{n^2}\ ;\ \frac{(-1)^n}{n^2}\ ;\ \frac{1}{n^4} \,.
  \]

\item En utilisant le dveloppement de $u$ en srie de Fourier pour
  $t=0$, puis pour $t=\dfrac{\pi}{2}$, dterminer: 
  \[
  \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \ \ \mbox{ et } 
  \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\,.
  \]

\item La valeur efficace $u_e$ de la fonction $u$ est telle que 
  $\dsp (u_e)^2=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi u^2(t)\,dt$.

  Calculer $u_e^2$. 

  \vspd
  La valeur efficace de la fonction $u$ peut aussi s'exprimer  l'aide
  de la formule de Parseval: 
  \[
  u_e^2=a_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} a_n^2 \,. 
  \]
  Soit $P$ le nombre dfini par 
  \[
  P=a_0^2+\frac{1}{2}\lp a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2\rp\,. 
  \]
  Donner l'approximation de dcimale $P_1$  $10^{-3}$ prs par
  excs. 

  Vrifier que $\dfrac{P_1}{u_e^2}>0,999$. 

\item En utilisant la formule de Parseval, calculer 
  $\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}$. 
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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