Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.5cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\parindent=0.2cm
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{S�ries de Fourier}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}
\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\LARGE\bf \TITLE\protect\footnote{Joseph Fourier, n� le 21 mars
1768 � Auxerre et mort le 16 mai 1830 � Paris, est un
math�maticien et physicien fran�ais, connu pour ses travaux sur la
d�composition de fonctions p�riodiques en s�ries trigonom�triques
convergentes appel�es s�ries de Fourier. Il fait ses �tudes chez
les B�n�dictins � l'�cole militaire d'Auxerre. Destin� � l'�tat
monastique, il pr�f�re s'adonner aux sciences. Il int�gre l'�cole
normale sup�rieure, o� il a entre autres comme professeurs
Joseph-Louis Lagrange, Gaspard Monge et Pierre-Simon Laplace,
auquel il succ�de � la chaire � Polytechnique en 1797.}}
\vspq
\Obj{Une s�rie de Fourier d'une fonction, ou signal, p�riodique $f$,
est sa d�composition en une somme de fonctions sinuso�dales.
}
%�crire une fonction comme somme de polyn�me (DL)
\section{D�finition}
\bgdef{
Une s�rie de Fourier est une s�rie dont le terme g�n�ral est de la forme:
$$
u_n=a_n \cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)
\qquad \textrm{ o� } a_n, b_n, \omega \textrm{ et }t
\textrm{ sont des r�els}
$$
Il s'agit donc d'une s�rie que l'on peut �crire sous la forme:
\[
a_0+\sum_{n \geq 1} a_n \cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)
=a_0+a_1\cos(\omega t)+b_1\sin(\omega t)
+a_2\cos(2\omega t)+b_2\sin(2\omega t)
+\dots
\]
Les coefficients $a_n$ et $b_n$ sont appel�s les coefficients de
Fourier.
}
\ul{Exemple:}
\[\bgar{ll}
\dsp 3+\sum_{n \geq 1} (-1)^n \cos(2\pi n t)+ 18\sin(2 \pi n t)
\ ,\qquad
a_0=3\ ,\ a_n=(-1)^n\ ,\ b_n=18\ ,\ \omega=2\pi\\[0.6cm]
\dsp\dfrac{\pi}{2}+\sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^n}{n}\sin(n t)
\ ,\qquad
a_0=\dfrac{\pi}{2}\ ,\ a_n=0\ ,\ b_n=\frac{(-1)^n}{n}\ ,\ \omega=1\\[0.6cm]
\dsp\sum_{n \geq 1} \dfrac{(5)^n+3}{n+6}\cos(3n t)
\ ,\qquad
a_0=0\ ,\ a_n=\frac{(5)^n+3}{n+6}\ ,\ b_n=0\ ,\ \omega=3
\enar\]
\bgdef{
Si pour tout r�el $t$, cette s�rie converge alors on d�finit la
fonction $S$ par
\[
S(t)=a_0+\sum_{n = 1}^{+\infty} a_n \cos(n\omega t)+b\sin(n\omega t)
\]
On dit alors que la s�rie de Fourier converge vers la fonction $S$.
}
\vspt
\ul{\it Remarque:}
La s�rie converge vers une fonction et non plus vers un nombre.
\bgex
A l'aide de la calculatrice trouver l'expression de la fonction qui
est la limite de la s�rie de Fourier suivante.
\[
S(t)=\dfrac{\pi}{2}+\sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^n}{n}\sin(n t)
\]
Comparer avec la fonction $f$ 2$\pi$-p�riodique d�finie par:
\[
f(t)=\frac{\pi-t}{2}\ ,\ \mbox{pour } t\in]-\pi;\pi[
\]
%Avec Matlab:
%N=20;S=pi/2*ones(size(t));for n=1:N,S=S+(-1)^n/n*sin(n*t);end,plot(t,S)
\enex
\Obj{
Pour une fonction $f$ donn�e (avec
$f$ continue par morceaux et p�riodique de p�riode $T$), on
recherche une s�rie de Fourier qui converge vers $f$.
}
\vspq
\clearpage
\section[D�comp. d'une fonction]{D�composition d'une fonction en s�rie trigonom�trique}
\subsection{Un candidat pour la s�rie de Fourier?}
\bgth{
Soit $f$ une fonction continue par morceaux p�riodique de p�riode T.\\
\underline{Si} $f$ s'�crit comme la somme d'une s�rie de Fourier
$ a_0+\sum_{n \geq 1} a_n \cos(n\omega t)+b\sin(n\omega t)$
\underline{alors}:
$$
\omega=\dfrac{2 \pi}{T}
$$
$$
a_0=\dfrac{1}{T} \int_{\alpha}^{\alpha+T} f(t) dt
\qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}
$$
$$
\textrm{pour } n > 0,~ a_n
=\dfrac{2}{T} \int_{\alpha}^{\alpha+T} f(t)\cos (n\omega t) dt
\qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}
$$
$$
\textrm{pour } n > 0,~ b_n
=\dfrac{2}{T} \int_{\alpha}^{\alpha+T} f(t)\sin (n\omega t) dt
\qquad \forall \alpha \in \mathbb{R}
$$
}
\subsection{Cet unique pr�tendant fait-il l'affaire?}
\bgdef{
On dit qu'une fonction p�riodique $f$ satisfait aux conditions de
Dirichlet\footnotemark[1]
(on dit aussi que
$f$ est $C^1$ par morceaux, ce qui s'�crit CM$^1$) si:
\begin{enumerate}[1)]
\item Sauf en un nombre fini de points particuliers sur une p�riode,
$f$ est continue, d�rivable et sa d�riv�e $f'$ est continue.
\item en ces points particuliers, $f$ et $f'$ admettent des limites
finies � gauche et � droite.
\end{enumerate}
}
\footnotetext[1]{Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 f�vrier
1805, D�ren - 5 mai 1859, G�ttingen) est un math�maticien
allemand.
Il a �t� �lev� en Allemagne, puis a �t� ensuite envoy� en France pour
suivre ses �tudes sup�rieures. Il fut en contact avec les plus grands
math�maticiens fran�ais de l'�poque, � l'instar de Legendre, Laplace
ou Fourier. Il retourne ensuite en 1825 en Allemagne o� il travaille
avec Gauss, dont il reprendra la chaire � l'Universit� de G�ttingen,
et Jacobi. Il eut entre autres comme �l�ve Riemann.
}
\bgex
Soit $k>0$.\\
Soit $f$ une fonction impaire de p�riode $\pi$ d�finie par
\[
f(t)=
\la\bgar{cl}
k &\textrm{ pour } t \in [0;\dfrac{\pi}{2}[\\
-k &\textrm{ pour } t \in [\dfrac{\pi}{2};\pi[
\enar\right.
\]
Cette fonction v�rifie-t-elle les conditions de Dirichlet?
\vspd
Calculer ses coefficients de Fourier, et �crire sa s�rie de Fourier.
\enex
\bgth{
Si $f$ est une fonction p�riodique satisfaisant aux conditions de
Dirichlet, alors
\begin{enumerate}[1)]
\item si $f$ est continue en $t$ alors la s�rie de Fourier associ�e
� $f$ converge vers $f(t)$
\item si $f$ n'est pas continue en $t$ alors la s�rie de Fourier
associ�e � $f$ converge vers
$ \dfrac{1}{2}[f(t^+)+f(t^-)]$
\end{enumerate}
}
\newpage
\subsection{Calcul plus rapide des coefficients de Fourier}
%\enlargethispage{2\baselineskip}
\vspace{-0.6cm}
\bgprop{\vspace{-0.4cm}
\begin{enumerate}[]
\item \textbf{\underline{Si $f$ est paire}}
\vspace{-0.4cm}
\[\bgar{c}
\dsp\forall n,~ b_n=0
\\[0.2cm]
\dsp a_0=\dfrac{2}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) dt
\\[0.4cm]
\dsp\textrm{pour } n > 0,~ a_n
=\dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t)\cos (n\omega t) dt
\enar\]
\item \underline{\textbf{Si $f$ est impaire}}
\vspace{-0.9cm}
\[\bgar{c}
\dsp\forall n,~ a_n=0$$
\\[0.2cm]
\dsp\textrm{pour } n > 0,~ b_n
=\dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t)\sin (n\omega t) dt
\enar\]
\end{enumerate}
}
\bgex
Soit $k>0$.\\
Soit $f$ une fonction impaire de p�riode $\pi$ d�finie par
\[
f(t)=
\la\bgar{cl}
k &\textrm{ pour } t \in [0;\dfrac{\pi}{2}[\\[0.3cm]
-k &\textrm{ pour } t \in [-\dfrac{\pi}{2};0[
\enar\right.
\]
Apr�s avoir repr�sent� $f$ sur $[-2\pi;2\pi]$, Donner la s�rie de
Fourier associ�e � $f$.
\enex
\bgex {\it Signal "dents de scie"}
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$, de p�riode $2\pi$,
telle que:
\[
f(t)=t\ \ \mbox{ si } t\in[-\pi;\pi[
\]
Soit $a_n$ et $b_n$ les coefficients de Fourier de cette fonction.
\vsp
\bgen
\item Repr�senter la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi;4\pi]$.
\vsp
\item Justifier que, pour tout $n$, $a_n=0$.
\vsp
\item Prouver que pour tout entier $n>0$,
$b_n=\dfrac{2}{n}(-1)^{n+1}$.
\vsp
\item Ecrire les cinq premiers termes de la s�rie de Fourier associ�e
� $f$.
\enen
\enex
\bgex {\it "Redressement biphas�"}
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par
$f(t)=\left|\cos t\right|$.
Soit $a_n$ et $b_n$ les coefficients de Fourier de cette fonction.
\vsp
\bgen
\item Repr�senter la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi;4\pi]$.
\vsp
\item Prouver que $f$ est une fonction paire de p�riode $\pi$.
\vsp
\item D�terminer les valeurs des coefficients $b_n$.
\vspd
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur une p�riode.
\vsp
\item Prouver que, pour $n>0$, on a:
\[
a_n=\frac{2}{\pi}
\int_0^{\frac{\pi}{2}}
\lb
\cos((2n+1)t)+\cos((2n-1)t)
\rb\,dt
\]
En d�durie que $a_n=\dfrac{4(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}$.
\vsp
\item Ecrire les cinq premiers termes de la s�rie de Fourier associ�e
� $f$.
\enen
\enex
\bgex {\it "Dents de scie sym�trique"}
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$, de p�riode 4, impaire, et telle
que:
\[
\la\bgar{ll}
f(t)=t &\mbox{ si }\ t\in[0;1[\\
f(t)=-t+2 &\mbox{ si }\ t\in[1;2[
\enar\right.
\]
\bgen
\item D�terminer les coefficients de la s�rie de Fourier associ�e �
$f$.
\vsp
\item Ecrire la s�rie de Fourier de $f$, et montrer que cette s�rie
converge vers $f$.
\vsp
\item En calculant $f(1)$, prouver que:
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}\,.
\]
\enen
\enex
\section{Analyse spectrale}
Pour une fonction $f$ $T$-p�riodique et v�rifiant les conditiant de
Dirichlet, on a donc la s�rie de Fourier,
avec la pulsation $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$:
\[
a_0+\sum_{n\geqslant1} a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)
\]
qui peut aussi s'�crire:
\vspace{-0.6cm}
\[
a_0+\sum_{n\geqslant1} A_n \sin(n\omega t-\varphi_n)
\]
avec les coefficients $A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$.
\bgdef{
Le \ul{spectre} de la fonction $f$ est la suite de coefficients
$(A_n)$.
}
\section[Formule de Parseval]{Formule de Parseval
\protect \footnote{Marc-Antoine Parseval des Ch�nes (27 avril 1755 -
16 ao�t 1836) est un math�maticien fran�ais, c�l�bre pour les
travaux connus sous le nom d'�galit� de Parseval, qui est une
formule fondamentale de la th�orie des s�ries de Fourier.}}
\bgth{
Soit $f$ une fonction p�riodique et continue par morceaux. On a alors
$$
\dfrac{1}{T} \int_0^T [f(t)]^2dt
= a_0^2+\dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)
$$
}
\vspd
\ul{\it Remarque:}
Il n'est pas n�cessaire que $f$ v�rifie les conditions de Dirichlet.
\enlargethispage{3\baselineskip}
\bgex {\it "Redressement monophas�"}
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$, de p�riode $2\pi$,
paire, telle que:
\[\la\bgar{ll}
f(t)=\cos t &\mbox{ si }\ t\in\Bigr[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[\\[0.3cm]
f(t)=0 &\mbox{ si }\ t\in\Bigr[\dfrac{\pi}{2};\pi\Bigr[
\enar\right.\]
\bgen
\item Repr�senter la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4\pi;4\pi]$.
\vsp
\item Calculer les coefficients de Fourier de cette fonction,
et �crire la s�rie de Fourier correspondante.
\vsp
\item Calculer la valeur efficace de la fonction $f$, et appliquer la
formule de Parseval.
\enen
\enex
\bgex {\it D'apr�s un sujet de BTS}
Un signal est mod�lis� par la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par:
$f$ est paire et de p�riode $\pi$,
et $f(t)=t\sin t$ pour $t$ �l�ment de l'intervalle
$\Bigr[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[$.
\bgen
\item
\bgen[a.]
\item Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle
$\Bigr[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[$.
\item Soit $\mathcal{C}_1$ la repr�sentation graphique de $f$ sur
l'intervalle $\Bigr[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[$,
Trac�e dans un rep�re orthonormal du plan (unit�
graphique 2cm).
Tracer les tangentes � $\mathcal{C}_1$ aux points d'abscisses
$0$ et $\dfrac{\pi}{2}$.
Tracer $\mathcal{C}_1$
\item Dans un m�me rep�re, tracer la repr�sentation graphique
$\mathcal{C}$ de $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
\enen
\item On admet que $f$ est d�veloppable en s�rie de Fourier et que,
pour tout $t$ �l�ment de $\R$,
\[
f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\lp a_n\cos(2nt)+b_n\sin(2nt)\rp\,.
\]
\bgen[a.]
\item Justifier que $b_n=0$ pourtout $n\geqslant 1$.
\item Calculer $a_0$.
\item Montrer que
$\dsp a_1=\frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} t\lp \sin(3t)-\sin t\rp\,dt
$
En d�duire que $a_1=\dfrac{-20}{9\pi}$.
Dans la suite, on utilisera le r�sultat:
\[
a_n=\frac{2}{\pi}(-1)^n
\lb
\frac{1}{(2n+1)^2}+\frac{1}{(2n-1)^2}
\rb
\]
\enen
\item On consid�re la fonction $g$ d�finie que $\R$ par:
\[g(t)=a_0+a_1\cos(2t)++a_2\cos(4t)\,.\]
On admet que la formule de Parseval appliqu�e � $g$ donne une valeur
approch�e � $10^{-3}$ pr�s de la valeur efficace $f_e$ de la
fonction $f$.
Calculer alors une valeur approch�e � $10^{-3}$ pr�s de $f_e$.
\enen
\enex
\section{Forme complexe des s�ries de Fourier}
\bgprop{
La s�rie de Fourier associ�e � une fonction $f$ peut s'�crire
\[
\sum_{-\infty}^{+\infty} c_n e^{in\omega t}
\]
\vspd
avec
\vspace{-0.6cm}
\[
c_n=\dfrac{1}{T} \int_{\alpha}^{\alpha+T} f(t)e^{-in\omega t} dt
\]
}
\bgprop{
Les relations entre les coefficients r�els $a_n$ et $b_n$ et les
coefficients complexes $c_n$ sont:
$$
c_0=a_0
$$
$$
c_n=\dfrac{a_n-ib_n}{2}
$$
}
\bgprop{
La formule de Parsemal s'�crit
$$
\dfrac{1}{T} \int_0^T [f(t)]^2dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} |c_n|^2
$$
}
\newpage
\bgex {\it D'apr�s un sujet de BTS}
\bgen
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
Calculer � l'aide de deux int�grations par parties successives
l'int�grale:
\[
J=\int_0^\pi t(\pi-t)\cos(2nt)\,dt \,.
\]
\item On consid�re la fonction $u$ de $\R$ dans $\R$, p�riodique de
p�riode $\pi$, d�finie par:
\[
u(t)=t(\pi-t)\ \ \mbox{ si } t\in[0;\pi] \,.
\]
\bgen[a.]
\item Montrer que $u$ est paire et tracer sa repr�sentation
graphique sur $[-2\pi;2\pi]$.
\item V�rifier que $u$ satisfait aux conditions de Dirichlet.
\item Calculer ses coefficients de Fourier et en d�duire que pour
tout $t$ r�el:
\[
u(t)=\frac{\pi^2}{6}-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(2nt)}{n^2}\,.
\]
\enen
\item $n$ est un entier naturel non nul.
Justifier la convergence des s�ries num�riques de terme g�n�ral:
\[
\frac{1}{n^2}\ ;\ \frac{(-1)^n}{n^2}\ ;\ \frac{1}{n^4} \,.
\]
\item En utilisant le d�veloppement de $u$ en s�rie de Fourier pour
$t=0$, puis pour $t=\dfrac{\pi}{2}$, d�terminer:
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \ \ \mbox{ et }
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\,.
\]
\item La valeur efficace $u_e$ de la fonction $u$ est telle que
$\dsp (u_e)^2=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi u^2(t)\,dt$.
Calculer $u_e^2$.
\vspd
La valeur efficace de la fonction $u$ peut aussi s'exprimer � l'aide
de la formule de Parseval:
\[
u_e^2=a_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} a_n^2 \,.
\]
Soit $P$ le nombre d�fini par
\[
P=a_0^2+\frac{1}{2}\lp a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2\rp\,.
\]
Donner l'approximation de d�cimale $P_1$ � $10^{-3}$ pr�s par
exc�s.
V�rifier que $\dfrac{P_1}{u_e^2}>0,999$.
\item En utilisant la formule de Parseval, calculer
$\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}$.
\enen
\enex
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