Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfkeywords={Accompagnement personnalis�, m�moire,
types de m�moire, premi�re, 1�re}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\newcounter{ntheo}
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\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
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\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
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\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
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}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{S�ries num�riques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}
\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\LARGE\bf \TITLE}
\section{D�finition et convergence d'une s�rie num�rique}
\bgdef{
Soit $(u_{n})$ une suite de nombres r�els.
On d�finit la suite $(S_{n})$ par : \\
\[S_n=u_0+u_{1}+u_{2}+...+u_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}\]
$\bullet$
Si la suite $(S_n)$ admet une limite lorsque $n\to+\infty$,
on note
\[
\sum_{k=0}^{+\infty} u_n = \lim_{n\to+\infty} S_n
=\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n} u_{k}
\]
et on dit que la s�rie $\sum u_n$ converge.
Si $(S_n)$ n'admet pas de limite, ou a une limite infinie, on dit
que la s�rie $\dsp\sum u_n$ diverge.
$\bullet$ La suite de nombre r�els
\[S_n=u_0+u_{1}+u_{2}+...+u_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}\]
est appel�e somme partielle de rang $n$ de la s�rie $\sum u_n$.
\vspd
$\bullet$
$u_n$ est appel� terme g�n�ral de la s�rie $\sum u_n$.
}
\vspd
\ul{\it Remarque:}
Une s�rie est donc une suite!
\vspd
\bgex
$\bullet$ Soit $u_n=\dfrac{1}{n^2}$,
alors,
$\dsp S_n=\sum_{k=1}^{n} u_k
=\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2}
=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dots+\dfrac{1}{(n-1)^2}
+\dfrac{1}{n^2}
$
Calculer: \vspd
$S_1= \dots$ \hspace{8cm} $S_2=\dots$
\vspq
$S_5=\dots$ \hspace{8cm} $S_{10}=\dots$
\vspq
La s�rie $\dsp\sum \dfrac{1}{n^2}$ semble-t-elle converger ?
\enex
\bgex Les s�ries
$\sum 2^{n}$
et $\sum \dfrac{1}{2^{n}}$
convergent-elles ?
\enex
\vspd
\ul{\it Remarque:}
Pour qu'une s�rie $\sum u_n$ converge, il faut que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
Attention ce n'est pas une condition suffisante!
Il faut que $(u_n)$ converge \flqq assez vite\frqq~ vers 0.
\bgex Soit $u_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$.
D�composer $u_n$ en �l�ments simples, puis, en d�taillant la somme
partielle
$\dsp S_N=\sum_{n=1}^N u_n$,
montrer que la s�rie $\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ converge et
d�terminer sa somme.
\enex
\bgex La s�rie harmonique
\[\sum \dfrac{1}{n}\]
semble-t-elle converger ?
\enex
\vspd
\ul{\it Remarque:}
Dans la pratique, on s'int�resse � la convergence mais rarement � la
somme, S, de la s�rie car on ne sait qu'exceptionnellement trouver la
somme d'une s�rie convergente.
N�namoins, une fois assur� qu'une s�rie converge, on peut alors tenter
de calculer num�riquement (informatiquement) une valeur approch�e de
sa somme.
\bgex
Ecrire et calculer les sommes partielles de rang 1 � 5 des s�ries
suivantes:
\bgen[a)]
\item $\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-(-1)^n}{n}$
\item $\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\sin\frac{n\pi}{2}$
\item $\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2n+1}\cos\frac{2n\pi}{3}$
\enen
\enex
\section{S�rie g�om�trique}
\bgdef{
Une s�rie g�om�trique est une s�rie de la forme $\sum q^{n}$ avec
$q \in \mathbb{R}$.
}
\bgprop{
Une s�rie g�om�trique est convergente et seulement si
$|q|<1$, et on a alors
\[\sum_{k=0}^{\infty} q^{n}=\dfrac{1}{1-q}\]
}
\bgex D�terminer si les suites suivantes convergent et calculer, le
cas �ch�ant, leur somme:
\[
\sum \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n} \qquad \sum 3^{n} \qquad \sum 1^{n}
\]
\enex
\section{S�ries � termes positifs}
\bgdef{Une s�rie $\sum u_n$ est dite � termes positifs lorsque
$u_n\geq0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
}
\vspq
\ul{Exemple:} $\dsp\sum \frac{1}{n^2}$\ \ ,\ \
$\dsp\sum \frac{1}{3^n}$\ \ ,\ \
$\dsp \sum \left| \sin\frac{1}{n} \right|$
\subsection[S�ries de Riemann]{S�ries de Riemann
\protect\footnote{Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 septembre
1826 � Breselenz, �tat de Hanovre - 20 juillet 1866 � Selasca,
Italie) est un math�maticien allemand. Influent sur le plan
th�orique, il a apport� une contribution importante � l'analyse et
� la g�om�trie diff�rentielle.} }
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
Une s�rie de Riemann est une s�rie de la forme
$\sum \dfrac{1}{n^{\alpha}}$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$.
}
\vspace{-0.6cm}
\bgprop{Une s�rie de Riemann
$\dsp
\sum \dfrac{1}{n^{\alpha}}$
converge si et seulement si $\alpha>1$.
(condition pour que le terme g�n�ral $\dfrac{1}{n^\alpha}$
tende vers 0 \flqq assez vite \frqq )
}
\bgex Indiquer si les s�ries suivantes convergent ou non.
$$
\sum \dfrac{1}{n} \qquad \qquad \sum \left(\dfrac{1}{n}\right)^{2} \qquad \qquad \sum n^3 \qquad \qquad \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}
$$
\enex
\newpage
\subsection{Majoration de ($S_n$)}
Soit $(S_n)$ la suite des sommes partielles de la s�rie $\dsp\sum u_k$.
Si la s�rie est � termes positifs, c'est-�-dire $u_n\geqslant 0$ pour
tout entier $n$, alors
\[
S_{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} u_k=S_n+u_{n+1}\geqslant S_n
\]
et donc la suite $(S_n)$ est croissante.
\bgprop{
Si ($S_n$) est major�e alors $\sum u_n$ est une s�rie convergente.
}
\subsection{Comparaison du terme g�n�ral au terme g�n�ral d'une s�rie connue}
\bgth{{\bf\ul{Crit�re de comparaison}}
\vspd
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites positives avec � partir d'un
certain rang $0\leqslant u_n \leqslant v_n$.
\vspd
Si $\sum v_n$ converge alors $\sum u_n$ converge.\vspd
Si $\sum u_n$ diverge alors $\sum v_n$ diverge.
}
\bgex En comparant � une s�rie de Riemann, d�terminer si les s�rie
suivantes sont convergentes.
$$
\sum \dfrac{|\cos(n)^n|}{n^2} \qquad \qquad \sum \sin
\lp\dfrac{\pi}{2^{n}}\rp \quad
\textrm{(rappel, pour } x\geqslant 0, sin(x) \leq x)
\qquad
\sum \dfrac{\arctan n}{n^3}
$$
\enex
\subsection{Suites �quivalentes}
\bgdef{
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites r�elles avec $v_n$ non nul �
partir d'un certain rang. On dit que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont
�quivalentes lorsque $\lim\limits_{n \to +\infty}
\dfrac{u_n}{v_n}=1$.
On note alors \[u_n \underset{\infty}{\sim} v_n\,.\]
}
\bgth{{\bf\ul{Crit�re d'�quivalence}}
\vspd
Si les $(u_n)$ et $(v_n)$ sont positives et
�quivalentes alors les s�ries $\sum u_n$ et
$\sum v_n$ sont de m�me nature.
}
\vspd
\ul{Exemple:}
$\dsp\dfrac{1}{n(n+1)} \underset{\infty}{\sim}
\dfrac{1}{n^2}$.
Et donc,
$\dsp\sum \frac{1}{n(n+1)}$ et
$\dsp\sum \frac{1}{n^2}$ sont de m�me nature,
soit\ \ \dots\ \ \dots
\bgex D�terminer si les s�ries suivantes sont convergentes:
\[\dsp \sum \frac{1}{n^2+1}
\qquad
\sum\frac{n}{\sqrt{n^3+1}}
\qquad
\sum \frac{1}{n}\sin\frac{\pi}{n}
\]
\enex
\subsection[R�gle de D'Alembert]{R�gle de D'Alembert
\protect\footnote{Jean le Rond D'Alembert, n� le 16 novembre 1717 �
Paris o� il est mort le 29 octobre 1783, est un math�maticien,
philosophe et encyclop�diste fran�ais. Il est c�l�bre pour avoir
dirig� l'Encyclop�die avec Denis Diderot jusqu'en 1757 et pour ses
recherches en math�matiques sur les �quations diff�rentielles et
les d�riv�es partielles.}}
\bgprop{
Si $u_n\geqslant0$ et $\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=l$ alors 3 cas
sont possibles:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $l < 1$ alors la s�rie $\sum u_n$ converge.
\item Si $l > 1$ alors la s�rie $\sum u_n$ diverge.
\item Si $l=1$ la r�gle ne permet pas de conclure.
\end{enumerate}
}
\bgex Les s�ries suivantes convergent-elles ?
\[\sum \dfrac{\left(\dfrac{1}{2^{n}} \right)}{n}
\qquad
\sum \dfrac{x}{n!} \textrm{ avec } x \textrm{ r�el positif}
\qquad
\sum \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\qquad
\sum \frac{n^2}{(2n)!}
\qquad
\sum \frac{2^n}{n!}
\]
\enex
\section[CSSA]{Crit�re des s�ries altern�es}
\bgdef{
Une s�rie $\sum u_n$ est dite altern�e lorsque,
� partir d'un certain rang,
$u_{n+1}$ et $u_n$ sont de signes contraires.
}
\ul{Exemple}
\[\sum (-1)^{n} \qquad \sum (-1)^{n}\dfrac{n�}{1+n}
\qquad \sum (-1)^{n+1}|sin(nx)| \textrm{ avec } x \in \R
\qquad
\sum \sin\lp n\pi+x\rp \mbox{ avec } x \in\R
\]
\ul{\it Remarque:}
Il n'est pas toujours imm�diat de voir qu'une s�rie est altern�e:
$u_n=sin\left(\pi \times \dfrac{n^2+1}{n} \right)$.
\bgprop{
Soit $\sum u_n$ une s�rie altern�e.\\
Si $\dsp\lim_{n \to +\infty} u_n=0$ et que $(|u_n|)$ est
d�croissante alors $\sum u_n$ CV .\\
On a alors $|S-S_n| \leq |u_n|$
(on n'a pas la somme de la s�rie mais on a une approximation).
}
\bgex
Les s�ries
$\dsp\sum (-1)^n\frac{n^2}{1+n}$ et $\dsp\sum \frac{(-1)^n}{n}$
sont-elles convergentes ?
\enex
\section{S�rie absolument convergentes}
\bgdef{
Une s�rie $\sum u_n$ est dite absolument convergente si et seulement
si $\sum |u_n|$ est une s�rie convergente.
}
\vspt
\ul{\it Remarque essentielle:}
La s�rie $\sum |u_n|$ est une s�rie � termes positifs, et on peut donc
utiliser les r�gles vues pr�c�demment.
\bgth{
Une s�rie absolument convergente est convergente.
}
\bgex
\bgen
\item La s�rie
$\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(n\pi)}{n^2}$
est-elle absolument convergente ? convergente ?
\item La s�rie
$\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(n\pi)}{n}$
est-elle absolument convergente ? convergente ?
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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