Source Latex: Cours de mathématiques en BTS


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Description
Cours de mathématiques: Séries numériques
Niveau
BTS
Table des matières
  • Définition et convergence d'une série numérique
  • Série géométrique
  • Séries à termes positifs
    • Séries de Riemann
    • Majoration de la somme partielle
    • Comparaison du terme général au terme général d'une série connue
    • Suites équivalentes
    • Règle de D'Alembert
  • Critère des séries alternées
  • Séries absolument convergentes
Mots clé
séries, séries numériques, cours de mathématiques
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Les diff�rents types de m�moire},
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      types de m�moire, premi�re, 1�re}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
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\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

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\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
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\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
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\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{S�ries num�riques}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}

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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}

\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\LARGE\bf \TITLE}

\section{D�finition et convergence d'une s�rie num�rique}
\bgdef{
  Soit $(u_{n})$ une suite de nombres r�els.
  On d�finit la suite $(S_{n})$ par : \\
  \[S_n=u_0+u_{1}+u_{2}+...+u_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}\]

  $\bullet$
  Si la suite $(S_n)$ admet une limite lorsque $n\to+\infty$, 
  on note 
  \[
  \sum_{k=0}^{+\infty} u_n = \lim_{n\to+\infty} S_n
  =\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n} u_{k}
  \]
  et on dit que la s�rie $\sum u_n$ converge. 

  Si $(S_n)$ n'admet pas de limite, ou a une limite infinie, on dit
  que la s�rie $\dsp\sum u_n$ diverge. 

  $\bullet$ La suite de nombre r�els  
  \[S_n=u_0+u_{1}+u_{2}+...+u_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}\]
  est appel�e somme partielle de rang $n$ de la s�rie $\sum u_n$. 

  \vspd
  $\bullet$
  $u_n$ est appel� terme g�n�ral de la s�rie $\sum u_n$.
}

\vspd
\ul{\it Remarque:}
 Une s�rie est donc une suite!

\vspd
\bgex
$\bullet$ Soit $u_n=\dfrac{1}{n^2}$, 
alors, 
$\dsp S_n=\sum_{k=1}^{n} u_k
=\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2}
=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dots+\dfrac{1}{(n-1)^2}
+\dfrac{1}{n^2}
$

Calculer: \vspd

$S_1= \dots$ \hspace{8cm} $S_2=\dots$

\vspq
$S_5=\dots$  \hspace{8cm} $S_{10}=\dots$

\vspq
La s�rie $\dsp\sum \dfrac{1}{n^2}$ semble-t-elle converger ?
\enex

\bgex Les s�ries 
$\sum 2^{n}$ 
et $\sum \dfrac{1}{2^{n}}$ 
convergent-elles ?
\enex

\vspd
\ul{\it Remarque:}
Pour qu'une s�rie $\sum u_n$ converge, il faut que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
Attention ce n'est pas une condition suffisante! 
Il faut que $(u_n)$ converge \flqq assez vite\frqq~ vers 0.


\bgex Soit $u_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$. 
D�composer $u_n$ en �l�ments simples, puis, en d�taillant la somme
partielle 
$\dsp S_N=\sum_{n=1}^N u_n$, 
montrer que la s�rie $\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ converge et
d�terminer sa somme.

\enex


\bgex La s�rie harmonique 
\[\sum \dfrac{1}{n}\]
semble-t-elle converger ?
\enex



\vspd
\ul{\it Remarque:}
Dans la pratique, on s'int�resse � la convergence mais rarement � la
somme, S,  de la s�rie car on ne sait qu'exceptionnellement trouver la
somme d'une s�rie convergente. 

N�namoins, une fois assur� qu'une s�rie converge, on peut alors tenter
de calculer num�riquement (informatiquement) une valeur approch�e de
sa somme. 

\bgex
Ecrire et calculer les sommes partielles de rang 1 � 5 des s�ries
suivantes: 

\bgen[a)]
\item $\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-(-1)^n}{n}$
\item $\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\sin\frac{n\pi}{2}$
\item $\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2n+1}\cos\frac{2n\pi}{3}$
\enen
\enex

\section{S�rie g�om�trique}
\bgdef{
  Une s�rie g�om�trique est une s�rie de la forme $\sum q^{n}$ avec 
  $q \in \mathbb{R}$. 
}

\bgprop{
  Une s�rie g�om�trique est convergente et seulement si
  $|q|<1$, et on a alors 
  \[\sum_{k=0}^{\infty} q^{n}=\dfrac{1}{1-q}\]
}

\bgex D�terminer si les suites suivantes convergent et calculer, le
cas �ch�ant, leur somme:
\[
\sum \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n} \qquad \sum 3^{n} \qquad \sum 1^{n}
\]
\enex


\section{S�ries � termes positifs}

\bgdef{Une s�rie $\sum u_n$ est dite � termes positifs lorsque 
  $u_n\geq0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
}

\vspq
\ul{Exemple:} $\dsp\sum \frac{1}{n^2}$\ \ ,\ \ 
$\dsp\sum \frac{1}{3^n}$\ \ ,\ \ 
$\dsp \sum \left| \sin\frac{1}{n} \right|$

\subsection[S�ries de Riemann]{S�ries de Riemann
  \protect\footnote{Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 septembre
    1826 � Breselenz, �tat de Hanovre - 20 juillet 1866 � Selasca,
    Italie) est un math�maticien allemand. Influent sur le plan
    th�orique, il a apport� une contribution importante � l'analyse et
    � la g�om�trie diff�rentielle.} } 

\vspace{-0.4cm}

\bgdef{
  Une s�rie de Riemann  est  une s�rie de la forme 
  $\sum \dfrac{1}{n^{\alpha}}$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$. 
}

\vspace{-0.6cm}

\bgprop{Une s�rie de Riemann 
  $\dsp
  \sum \dfrac{1}{n^{\alpha}}$ 
  converge si et seulement si  $\alpha>1$. 
  
  (condition pour que le terme g�n�ral $\dfrac{1}{n^\alpha}$ 
  tende vers 0 \flqq assez vite \frqq )
}


\bgex Indiquer si les s�ries suivantes convergent ou non. 
$$
\sum \dfrac{1}{n} \qquad \qquad \sum \left(\dfrac{1}{n}\right)^{2} \qquad \qquad \sum n^3 \qquad \qquad \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}
$$
\enex

\newpage

\subsection{Majoration de ($S_n$)}

Soit $(S_n)$ la suite des sommes partielles de la s�rie $\dsp\sum u_k$. 

Si la s�rie est � termes positifs, c'est-�-dire $u_n\geqslant 0$ pour
tout entier $n$, alors 
\[
S_{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} u_k=S_n+u_{n+1}\geqslant S_n
\]
et donc la suite $(S_n)$ est croissante. 


\bgprop{
  Si ($S_n$) est major�e alors $\sum u_n$ est une s�rie convergente. 
}


\subsection{Comparaison du terme g�n�ral au terme g�n�ral d'une s�rie connue}
\bgth{{\bf\ul{Crit�re de comparaison}}

  \vspd
  Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites positives avec � partir d'un
  certain rang  $0\leqslant u_n \leqslant v_n$.

  \vspd
  Si $\sum v_n$ converge alors $\sum u_n$ converge.\vspd

  Si $\sum u_n$ diverge alors $\sum v_n$ diverge.
}

\bgex En comparant � une s�rie de Riemann, d�terminer si les s�rie
suivantes sont convergentes.  
$$
\sum \dfrac{|\cos(n)^n|}{n^2} \qquad \qquad \sum \sin 
\lp\dfrac{\pi}{2^{n}}\rp \quad 
\textrm{(rappel, pour } x\geqslant 0, sin(x) \leq x) 
\qquad
\sum \dfrac{\arctan n}{n^3}
$$
\enex

\subsection{Suites �quivalentes}
\bgdef{
  Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites r�elles avec $v_n$ non nul �
  partir d'un certain rang. On dit que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont
  �quivalentes lorsque $\lim\limits_{n \to +\infty}
  \dfrac{u_n}{v_n}=1$. 
  On note alors \[u_n \underset{\infty}{\sim} v_n\,.\]
}


\bgth{{\bf\ul{Crit�re d'�quivalence}}
  \vspd
  
  Si les $(u_n)$ et $(v_n)$ sont positives et 
  �quivalentes alors les s�ries $\sum u_n$ et 
  $\sum v_n$ sont de m�me nature. 
}

\vspd
\ul{Exemple:}
$\dsp\dfrac{1}{n(n+1)} \underset{\infty}{\sim}
\dfrac{1}{n^2}$. 

Et donc, 
$\dsp\sum \frac{1}{n(n+1)}$ et 
$\dsp\sum \frac{1}{n^2}$ sont de m�me nature, 
soit\ \  \dots\ \ \dots

\bgex D�terminer si les s�ries suivantes sont convergentes: 
\[\dsp \sum \frac{1}{n^2+1}
\qquad
\sum\frac{n}{\sqrt{n^3+1}}
\qquad
\sum \frac{1}{n}\sin\frac{\pi}{n}
\]

\enex


\subsection[R�gle de D'Alembert]{R�gle de D'Alembert
  \protect\footnote{Jean le Rond D'Alembert, n� le 16 novembre 1717 �
    Paris o� il est mort le 29 octobre 1783, est un math�maticien,
    philosophe et encyclop�diste fran�ais. Il est c�l�bre pour avoir
    dirig� l'Encyclop�die avec Denis Diderot jusqu'en 1757 et pour ses
    recherches en math�matiques sur les �quations diff�rentielles et
    les d�riv�es partielles.}} 

\bgprop{
  Si $u_n\geqslant0$ et $\lim  \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=l$ alors 3 cas
  sont possibles: 
  \begin{enumerate}[$\bullet$]
  \item Si $l < 1$ alors la s�rie $\sum u_n$ converge.
  \item Si $l > 1$ alors la s�rie $\sum u_n$ diverge.
  \item Si $l=1$ la r�gle ne permet pas de conclure.
  \end{enumerate}
}


\bgex Les s�ries suivantes convergent-elles ?
\[\sum \dfrac{\left(\dfrac{1}{2^{n}} \right)}{n} 
\qquad
\sum \dfrac{x}{n!} \textrm{ avec } x \textrm{ r�el positif}
\qquad
\sum \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\qquad
\sum \frac{n^2}{(2n)!}
\qquad
\sum \frac{2^n}{n!}
\]
\enex

\section[CSSA]{Crit�re des s�ries altern�es}
\bgdef{
  Une s�rie $\sum u_n$ est dite altern�e lorsque, 
  � partir d'un certain rang, 
  $u_{n+1}$ et $u_n$ sont de signes contraires.
}


\ul{Exemple}
\[\sum (-1)^{n} \qquad \sum (-1)^{n}\dfrac{n�}{1+n} 
\qquad \sum (-1)^{n+1}|sin(nx)| \textrm{ avec } x \in \R 
\qquad
\sum \sin\lp n\pi+x\rp \mbox{ avec } x \in\R
\]


\ul{\it Remarque:}
Il n'est pas toujours imm�diat de voir qu'une s�rie est altern�e:
$u_n=sin\left(\pi \times \dfrac{n^2+1}{n} \right)$. 



\bgprop{
  Soit $\sum u_n$ une s�rie altern�e.\\
  Si $\dsp\lim_{n \to +\infty} u_n=0$ et que $(|u_n|)$ est
  d�croissante alors $\sum u_n$ CV .\\ 
  On a alors $|S-S_n| \leq |u_n|$ 
  (on n'a pas la somme de la s�rie mais on a une approximation).
}

\bgex
Les s�ries 
$\dsp\sum (-1)^n\frac{n^2}{1+n}$ et $\dsp\sum \frac{(-1)^n}{n}$
sont-elles convergentes ?
\enex

\section{S�rie absolument convergentes}

\bgdef{
  Une s�rie $\sum u_n$ est dite absolument convergente si et seulement
  si $\sum |u_n|$ est une s�rie convergente.
}

\vspt
\ul{\it Remarque essentielle:}
La s�rie $\sum |u_n|$ est une s�rie � termes positifs, et on peut donc
utiliser les r�gles vues pr�c�demment. 


\bgth{
  Une s�rie absolument convergente est convergente.
}

\bgex 
\bgen 
\item La s�rie 
  $\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(n\pi)}{n^2}$ 
  est-elle absolument convergente ? convergente ? 
\item La s�rie 
  $\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(n\pi)}{n}$ 
  est-elle absolument convergente ? convergente ? 
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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