Source Latex
du cours de mathématiques
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}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=25.6cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1cm
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\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Transformation en Z}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/BTS/Groupe-A/Mathematiques-BTS.php}{xymaths.fr - BTS}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}
\title{\TITLE}
\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\LARGE{\bf \TITLE}}
\vspt
On dispose d'outils adapt�s � l'�tude de signaux analogiques:
les s�ries de Fourier (lorsque le signal est p�riodique)
et la transform�e de Laplace (lorsque le signal est causal).
L'utilisation de plus en plus fr�quente de calculateurs num�riques
n�cessite la manipulation de signaux discrets
(soit des suites suites discr�tes telles que des suites binaires,
utilis�es entre autre pour stocker et transmettre de l'information,
soit des suites discr�tes provenant de l'�chantillonnage d'un signal
analogique tel que par exemple la num�risation de signaux audios).
Pour l'�tude de tels signaux discrets, l'analogue de la transform�e de
Laplace est la transform�e en~$z$.
\nwc\faa[1]{
#1 180 mul 3.1415 div 4.6 mul 82 add cos
2.718 #1 2.5 sub 2 exp -8 div exp
mul
3 mul
}
\begin{pspicture}(-0.,-4)(9,4)
\psline{->}(-0.5,0)(8.4,0)\rput(8.5,-0.1){$t$}
\psline{->}(0,-3)(0,3.6)
%\pscurve(0,1)(1,2)(2,0)(3,-1)(4,-1.5)(5,1)(6,3)
\psplot[plotpoints=1000]{0}{8}{
\faa{x}
}
\rput(3,-3.5){Signal analogique $s$}
\rput(4,-4){$s(t)$ d�fini pour tout $t$ r�el, $t\geqslant 0$
(signal causal)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-0.5,-4)(8,4)
\psline{->}(-0.5,0)(8.4,0)\rput(8.5,-0.1){$t$}
\psline{->}(0,-3)(0,3.6)
\psplot[linestyle=dashed,plotpoints=1000]{0}{8}{
\faa{x}
}
\multido{\i=1+1}{6}{
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](\i,0)(! \i \space \faa{\i})
\rput(! \i \space \faa{\i}){\textcolor{red}{$\bullet$}}
}
\rput(1,-0.25){$t_1$}
\rput(1.9,0.2){$t_2$}
\rput(3,0.2){$t_3$}
\rput(3.9,-0.25){$t_4$}
\rput(5,-0.25){$t_5$}
\rput(6,0.2){$t_6$}
\rput(3,-3.5){Echantillonnage}
\rput(3,-4){du signal $s$ aux instants $t_i$}
\end{pspicture}
\ct{
\begin{pspicture}(-0.5,-2.4)(8,4.5)
\psline{->}(-0.5,0)(8.4,0)\rput(8.5,-0.1){$n$}
\psline{->}(0,-3)(0,3.6)
%\psplot[linestyle=dashed,plotpoints=1000]{0}{8}{
% \faa{x}
%}
\multido{\i=1+1}{6}{
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](\i,0)(! \i \space \faa{\i})
\rput(! \i \space \faa{\i}){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(\i,-0.25){$\i$}
}
\rput(8.5,-1.5){Signal num�rique $(s_n)$}
\rput(8.5,-2){$s_n=s(n)=f(t_n)$ d�fini pour tout $n$ entier, $n\geqslant 0$}
\end{pspicture}
}
\vspq
\section{S�rie enti�re}
\subsection{Exemple et d�finition}
\noindent
\ul{Exemple:} Soit $x$ un nombre r�el,
alors on sait que
$\dsp\sum_{n=0}^N x^n=1+x+x^2+x^3\dots+x^N=\dfrac{1-x^{N+1}}{1-x}$.
Ainsi, lorsque $|x|<1$, et donc, $\dsp\lim_{N\to+\infty}x^N=0$, on a
en prenant la limite de ces deux termes:
\[\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} x^n=\dfrac{1}{1-x}\ .\]
\vspd
Par exemple, lorsque $x=\dfrac{1}{2}$,
$\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} \lp\dfrac{1}{2}\rp^n
=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{2^n}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=2$.
\vspd
Soit la fonction $f$ d�finie sur $\R\setminus\la1\ra$ par
$f(x)=\dfrac{1}{1-x}$,
alors, sur $]-1;1[$, on a $
\dsp f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} x^n$.
Pour $x>1$, $f(x)$ existe, mais pas la s�rie.
\bgdef{
On appelle s�rie enti�re de la variable $x$, toute s�rie de terme
g�n�ral $u_n=a_nx^n$, c'est-�-dire toute expression:
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n
=a_0 + a_1x +a_2x^2+a_3x^3+\dots+a_nx^n+\dots
\]
Sur tout intervalle o� elle est convergente, cette s�rie a pour
somme une fonction.
}
\vspace{0.5cm}\noindent
\ul{Remarque:} Une s�rie enti�re g�n�ralise d'une certaine fa�on la
notion de polyn�me (polyn�me de degr� infini).
\subsection{Rayon de convergence}
Soit $(a_n)$ une suite r�elle,
on se pose la question de la convergence d'une s�rie enti�re
$\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$.
\bgdef{
On appelle rayon de convergence le plus petit nombre $R$ positif tel
que pour tout $|x|<R$, la s�rie
$\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ converge.
}
\bgprop{
Soit $\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ une s�rie enti�re de rayon
de convergence $R$, alors pour tout $|x|<R$, la s�rie est absolument
convergente, et pour tout $|x|>R$, la s�rie est divergente.
}
\vspt\noindent
\ul{Exemple:} Soit la s�rie enti�re de terme g�n�ral
$u_n=\dfrac{x^n}{n!}$.
\vspq
D'apr�s la r�gle de d'Alembert,
$\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_n|}
=\dfrac{|x^{n+1}|}{(n+1)!}\dfrac{n!}{|x^n|}
=\dfrac{|x|}{n}
$,
et donc,
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \dfrac{|u_{n+1}|}{|u_n|}
=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{|x|}{n}=0
$ pour tout $x$ r�el.
Ainsi la s�rie enti�re $\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!}$
converge pour tout $x$ r�el;
son rayon de convergence est infini: $R=+\infty$.
\vspq\noindent
\ul{Exemple:} Soit la s�rie enti�re de terme g�n�ral
$u_n=x^n$.
D'apr�s la r�gle de d'Alembert,
$\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\dfrac{|x^{n+1}|}{|x^n|}=|x|$,
et la s�rie converge si et seulement si $|x|<1$.
Ainsi la s�rie enti�re
$\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$
converge pour tout r�el $x$ tel que $|x|<1$;
son rayon de convergence est donc $R=1$.
\subsection{Propri�t� des s�ries enti�res}
\subsubsection{Somme}
Soit deux s�ries enti�res de termes g�n�raux
$u_n=a_nx^n$ et $v_n=b_nx^n$ de rayons de convergence $R_1$ et $R_2$,
alors la s�rie enti�re de terme g�n�ral
$w_n=u_n+v_n=(a_n+b_n)x^n$ est une s�rie enti�re de rayon de
convergence $R\leqslant \text{inf}\lp R_1,R_2\rp$,
et pour tout $x<R$,
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n + \sum_{n=0}^{+\infty} b_nx^n
=\sum_{n=0}^{+\infty} \lp a_n+b_n\rp x^n
\]
\subsubsection{Produit par un r�el}
Soit la s�rie enti�re de terme g�n�ral $u_n=a_nx^n$ de rayon de
convergence $R$, alors le produit de cette s�rie enti�re par le r�el
$k$ est une s�rie enti�re de terme g�n�ral $ku_n=ka_nx^n$ de m�me
rayon de convergence,
et donc, pour tout $|x|<R$,
\[
k\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n
=\sum_{n=0}^{+\infty} k a_nx^n
\]
\subsubsection{D�rivation}
Soit la s�rie enti�re de terme g�n�ral $u_n=a_nx^n$ de rayon de
convergence $R$ et de somme $S(x)$.
$S$ est continue et d�rivable sur $]-R;R[$;
la s�rie d�riv�e a m�me rayon de convergence et
la s�rie peut �tre d�riv�e terme � terme:
\[
S'(x)=\lp\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n\rp'
=\sum_{n=0}^{+\infty} \Bigl( a_nx^n \Bigr)'
=\sum_{n=1}^{+\infty} na_nx^{n-1}
\]
\vspt\noindent
\ul{Exemple:}
On consid�re la s�rie de terme g�n�ral
$u_n=\dfrac{x^n}{n!}$ de rayon de convergence infini, et on pose
\mbox{$\dsp S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}$}
la somme de cette s�rie.
\vspd
Alors,
$\dsp S'(x)=\lp\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}\rp'
=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{nx^{n-1}}{n!}
=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}
=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}
=S(x)
$
\vspd
On en d�duit que $S(x)=ke^x$.
De plus, $S(0)=1\iff k=1$,
d'o�, pour tout $x$ r�el,
$\dsp S(x)=e^x=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}$.
\subsection{D�veloppement en s�rie enti�re d'une fonction}
\bgth{\ul{Formule de Taylor}
\vspd
Soit une fonction $f$ d�finie sur un intervalle ouvert $I$ centr� en
0.
Si $f$ admet des d�riv�es jusqu'� un ordre quelconque
(on dit que $f$ est de classe $C^{\infty}$), et si ces d�riv�es sont
major�es sur $I$ par un r�el $M$ sur tout intervalle inclus dans
$I$,
alors $f$ est d�veloppable en s�rie enti�re sur $I$ avec
la formule de Taylor:
\[
f(x)=f(0)+xf'(0)+\dfrac{x^2}{2}f''(0)+\dfrac{x^3}{3!}f'''(0)
+\dots+\dfrac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+\dots
=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)
\]
}
\vspt\noindent
\ul{Exemple:} Soit $f(x)=e^x$.
Pour tout $x$ r�el, $f^{(n)}(x)=e^x$, et
\[
e^x=e^0+xe^0+\dfrac{x^2}{2}e^0+\dfrac{x^3}{3!}e^0
+\dots+\dfrac{x^n}{n!}e^0+\dots
=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}
\]
\vspt
\bgprop{{\bf D�veloppement en s�rie enti�re des fonctions usuelles}
\[\hspace*{-1cm}\bgar{lll}
e^x
&\dsp=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}+\dots
&\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}
\\[0.6cm]
\sin x
&\dsp=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dots
+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots
&\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\\[0.6cm]
\cos x
&\dsp=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dots
+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\dots
&\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}
\\[0.6cm]
(1+x)^\alpha
&\dsp=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2
+\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3&+\dots
+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}+\dots
\\[0.5cm]
&\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty}
\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n
\enar\]
}
\vspt\noindent
\ul{Remarque:}
\bgit
\item[$\bullet$] Le d�veloppement limit� � l'ordre $n$ au voisinage de $0$
s'obtient en tronquant la s�rie enti�re � l'ordre $n$, et en ajoutant
un terme $x^n\epsi(x)$, avec $\dsp\lim_{n\to0}\epsi(x)=0$, ou de
mani�re �quivalente le terme $O(x^{n+1})$ ou $o(x^n)$.
\vspd
\item[$\bullet$] Le d�veloppement limit� n'est valable qu'au voisinage d'un
point ($0$ dans les formules).
Le d�veloppement en s�rie enti�re est quant � lui valable pour toutes
les valeurs de $x$ r�el tel que $|x|<R$.
\vspd
\item[$\bullet$] \ul{Cas particulier important du dernier d�veloppement en
s�rie enti�re}
\vspd
Pour $\alpha=1$, $(1+x)^\alpha=(1+x)^1=1+x$.
\vspd
Au premier ordre, on a le d�veloppement limit�, pour $x\to 0$:
$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+o(x)$.
\vspd
Par exemple, pour $\alpha=\dfrac{1}{2}$,
$(1+x)^{1/2}=\sqrt{1+x}\sim1+\dfrac{1}{2}x$,
et pour $\alpha=-1$,
$(1+x)^\alpha=\dfrac{1}{1+x}\sim 1-x$
\enit
\bgex
D�terminer les limites:
\vspd\noindent
$\bullet$ $\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$ $\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$ $\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{2e^x-2-x^2}{x^3}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$ $\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{24x}{1-(1+x)^{12}}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$ $\dsp\lim_{x\to+\infty}x\,\dfrac{e^{-1/x}-1}{\sin\frac{1}{x}}$
\enex
\section{Transform�e en $Z$}
\bgdef{
La transform�e en $z$ du signal discret causal d�fini par
$(x_n)=(x(n))$, $n\in\N$, est la fonction $X$ de la variable
complexe $z$ d�finie par:
\[
X(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} x(n)\,z^{-n}
\]
}
\vspt\noindent
\ul{Remarque:}
$\bullet$ Si le signal discret $(x(n))$ n'est pas causal, il faut
�tendre la s�rie enti�re:
\[
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n)\,z^{-n}
\]
$\bullet$ La transform�e en $z$, $X(z)$, est une s�rie enti�re de la
variable $z^{-1}=\dfrac{1}{z}$.
\vspt\noindent
\ul{Notations:}
On note $X(z)$ ou $\lp Zx\rp(z)$ la transform�e en $z$ du signal
discret $(x_n)$, ou encore
$\mathcal{Z}\lb x(n)\rb$.
\subsection{Transform�es en $z$ usuelles}
\subsubsection{Suite de Dirac}
La suite de Dirac (ou suite canonique) est la suite $d$ d�finie par
$\la\bgar{ll} d(0)=1 \\ d(n)=0\ \text{ pour }\ n\not=0 \enar\right.$.
%\setlength{\fboxsep}{0.3cm}
%\fbox{}
\bgprop{
$\lp Zd\rp(z)=1$
}
\subsubsection{Dirac retard�}
La suite de Dirac retard�e de $k$ ($k\in\N$) est la suite $d_k$ d�finie
par
$\la\bgar{ll} d_k(k)=1 \\ d_k(n)=0\ \text{ pour }\ n\not=k \enar\right.$.
\bgprop{
$\lp Zd_k\rp(z)=z^{-k}$
}
\subsubsection{Echelon unit� discret}
L'�chelon unit� discret $u$ est d�fini par
$\la\bgar{ll} u(n)=1 \text{ si } n\geqslant0 \\
u(n)=0\ \text{ si }\ n<0 \enar\right.$.
\bgprop{
$\dsp\lp Zu\rp(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} z^{-k}=\dfrac{1}{1-z^{-1}}
=\dfrac{z}{z-1}$
\ \ pour\ \ $|z^{-1}|<1 \iff |z|>1$.
}
\subsubsection{Rampe unit� causale}
La rampe unit� causale est d�finie par
$r(n)=nu(n)=
\la\bgar{ll} n \text{ si } n\geqslant0 \\
0\ \text{ si }\ n<0 \enar\right.$.
\bgprop{
$\lp Zr\rp(z)=\dfrac{z}{(z-1)^2}$ pour $|z|>1$.
}
\subsubsection{Signal carr� discret causal}
Le signal carr� discret causal est d�fini par
$c(n)=n^2u(n)=
\la\bgar{ll} n^2 \text{ si } n\geqslant0 \\
0\ \text{ si }\ n<0 \enar\right.$.
\bgprop{
$\lp Zc\rp(z)=\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}$ pour $|z|>1$.
}
\subsubsection{Signal puissance discret causal}
Ce signal discret causal est d�fini par
$f(n)=b^nu(n)=
\la\bgar{ll} b^n \text{ si } n\geqslant0 \\
0\ \text{ si }\ n<0 \enar\right.$.
\bgprop{
$\lp Zf\rp(z)=\dfrac{z}{z-b}$ pour $|z|>|b|$.
}
\subsection{Propri�t�s de la transform�e en $z$}
\bgprop{{\bf\ul{Lin�arit�}}
Si $f$ et $g$ sont deux signaux causaux discrets admettant des
transform�es en $z$, alors:
\[
\lp Z(f+g)\rp(z)=\lp Zf\rp(z)+\lp Zg\rp(z)
\quad\text{ et }\quad
\lp Z(kf)\rp(z)=k\lp Zf\rp(z)
\]
}
\bgprop{{\bf\ul{Multiplication par $a^n$}}
Si $g(n)=a^nf(n)$, alors
$\lp Zg\rp(z)=\lp Zf\rp\lp\dfrac{z}{a}\rp$
}
\bgprop{{\bf\ul{Signal retard�}}
Si $g(n)=f(n-k)u(n-k)$, alors
$\lp Zg\rp(z)=z^{-k}\lp Zf\rp\lp z\rp$
}
\bgprop{{\bf\ul{Signal avanc�e}}
Si $h(n)=f(n+k)u(n+k)$, alors
\[\lp Zh\rp(z)=z^{k}\lb F(z)-f(0)z^0-f(1)z^{-1}-f(2)z^{-2}
-\dots-
f(k-1)z^{-(k-1)}\rb\]
\vspd
En particulier:
\[\bgar{ll}
\text{Si}\ \ h(n)=f(n+1)u(n+1), \quad
\lp Zh\rp(z)=z\lb F(z)-f(0)\rb\\[0.3cm]
\text{Si}\ \ h(n)=f(n+2)u(n+2), \quad
\lp Zh\rp(z)=z^2\lb F(z)-f(0)-f(1)z^{-1}\rb
\enar\]
}
\bgex
D�terminer les transform�es en $z$ des suites causales d�finies par:
\vspd\noindent
$\bullet$\ $f(n)=(2n+1)u(n)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $g(n)=3^nu(n)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $h(n)=3^nnu(n)$
\vspd\noindent
$\bullet$\ $k(n)=3^nn^2u(n)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $l(n)=3^{n-2}(n-2)u(n-2)$
\enex
\bgex
D�terminer les transform�es en $z$ des signaux discrets:
\vspd\noindent
$\bullet$\ $x_1(n)=nu(n)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $x_2(n)=nu(n-1)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $x_3(n)=nu(n-2)$
\vspd\noindent
$\bullet$\ $x_4(n)=(n+1)u(n-1)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $x_5(n)=(n+1)u(n-2)$
\vspd
{\sl Indication: on pourra �crire chaque signal $x_i$ sous la forme
$x_i(n)=(n-a)u(n-a)+bu(n-a)$.}
\enex
\bgex
$(x(n))$ est une suite v�rifiant la relation de r�currence suivante:
\[\la\bgar{ll}
x(n+2)+x(n+1)-6x(n)=nu(n) \\[0.3cm]
x(0)=0 \ \ , \ \ x(1)=0
\enar\right.\]
D�terminer la transform�e en $z$, not�e $X(z)$, de $(x(n))$.
\enex
\bgex A l'aide des formules d'Euler, d�terminer les transform�es en
$z$ des signaux discrets suivants:
\vspd\noindent
$\bullet$\ $x_1(n)=\cos(n)u(n)$
\hspace{0.6cm}
$\bullet$\ $x_2(n)=\sin(n)u(n)$
\hspace{0.6cm}
$\bullet$\ $y_1(n)=\cos(n\omega)u(n)$
\hspace{0.6cm}
$\bullet$\ $y_2(n)=\sin(n\omega)u(n)$
\vspd\noindent
Dans les cas $\omega=\dfrac{\pi}{2}$ et $\omega=\pi$,
repr�senter graphiquement les signaux et donner leurs transform�es en~$z$.
\enex
\bgex
A l'aide de la d�finition de la transform�e en $z$ et du d�veloppement
en s�rie enti�re de la fonction $x\mapsto e^x$,
donner les transform�es en $z$ des suites causales:
$x(n)=\dfrac{1}{n!}$ \quad et\quad
$y(n)=\dfrac{2^n}{n!}$.
\enex
\bgex
A l'aide de la d�finition de la transform�e en $z$, donner les
transform�es en $z$ des suites causales repr�sent�es graphiquement
ci-dessous:
\psset{arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.8)
\psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
\psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(7,-0.1){$n$}
\psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
\psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
\multido{\i=-2+1}{9}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(0,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(1,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(2,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(3,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5.5,-1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 4$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,2)(3,2)(4,0)
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.8)
\psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
\psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(7,-0.1){$n$}
\psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
\psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
\multido{\i=-2+1}{9}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(0,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(1,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(3,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5.5,-1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 4$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(4,0)
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(6.8,2.8)
\psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
\psline{->}(0,-1.5)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(7,-0.1){$n$}
\psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
\psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
\psline(-0.1,-1)(0.1,-1)\rput(-0.2,-1){-$1$}
\multido{\i=-2+1}{9}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(0,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(1,-1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(2,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(3,-1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5.5,-1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 4$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,-1)(2,1)(3,-1)(4,0)
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(6.8,3.8)
\psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
\psline{->}(0,-1.5)(0,3.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(7,-0.1){$n$}
\psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
\psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
\psline(-0.1,3)(0.1,3)\rput(-0.2,3){$3$}
\psline(-0.1,-1)(0.1,-1)\rput(-0.2,-1){-$1$}
\multido{\i=-2+1}{9}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(0,3){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(1,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(2,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(3,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5.5,-1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 3$}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,0)
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.8)
\psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
\psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(7,-0.1){$n$}
\psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
\psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
\multido{\i=-2+1}{9}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(0,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(1,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(2,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(3,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5.5,-1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 4$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,2)(4,0)
\end{pspicture}
\bgex
Soit $f$ la fonction num�rique causale d�finie par:
$f(t)=\lp 1-e^{-2t}\rp U(t)$.
On �chantillonne cette fonction � la p�riode d'�chantillonnage $T$.
Donner sa transform�e en $Z$.
Donner son expression lorsque $T=0,5$ seconde, $T=2$ secondes et
$T=4$ secondes.
\enex
\enex
\subsection{Transform�e en $z$ inverse}
\bgdef{
Si $x$ est un signal causal discret et si $X(z)=\lp Zx\rp(z)$ est sa
transform�e en $z$, la suite $(x(n))$, $n\in\Z$ est appel�e original
ou transform�e en $z$ inverse de $X(z)$.
On note $\lp Z^{-1}X\rp(n)=x(n)$:
\[
\lp Zx\rp(z)=X(z) \iff \lp Z^{-1}X\rp(n)=x(n)
\]
}
\bgprop{
$\bullet$ Si l'original $x(n)$ de $X(z)$ existe, alors elle est
unique.
\vspd
$\bullet$ {\bf Lin�arit�:}
$
\lp Z^{-1}(X+Y)\rp=\lp Z^{-1}(X)\rp+\lp Z^{-1}(Y)\rp
\quad\text{ et }\quad
\lp Z^{-1}(kX)\rp= k\lp Z^{-1}(X)\rp
$
}
\vspace{0.6cm}\noindent
{\bf\ul{M�thodes de recherche de l'original:}}
Pour retrouver le signal discret original $x(n)$:
\bgit
\item[$\bullet$] on d�compose en �l�ments simples
$X(z)$ ou $\dfrac{X(z)}{z}$, ou encore $\dfrac{X(z)}{z^k}$
(lorsque le degr� du num�rateur de $X(z)$ est sup�rieur ou �gal au
degr� de son num�rateur).
Les �l�ments le plus fr�quemment rencontr�s sont de la forme:
\vspd
$\dfrac{z}{z-1}$ d'original $u(n)$ (�chelon unit� discret)
\vspd
$\dfrac{z}{z-b}$ d'original $b^nu(n)$
\vspd
$\dfrac{z}{(z-1)^2}$ d'original $nu(n)$ (rampe unit� causale)
\item[$\bullet$] on d�veloppe en s�rie enti�re
$\dsp X(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^{-n}$, et on a alors
simplement $x(n)=a_n$.
\enit
\vspt\noindent
\ul{Exemple 1:}
On recherche l'original de $X(z)=\dfrac{1}{(z-2)(z-3)}$.
$X(z)$ se d�compose en �l�ments simples suivant
(faire le calcul !):
$X(z)=\dfrac{-1}{z-2}+\dfrac{1}{z-3}$.
On �crit alors
$X(z)=-z^{-1}\lp\dfrac{z}{z-2}\rp+z^{-1}\lp\dfrac{z}{z-3}\rp$.
L'originale de $\dfrac{z}{z-2}$ est $2^nu(n)$,
tandis que l'originale de $\dfrac{z}{z-3}$ est $3^nu(n)$.
Le facteur $z^{-1}$ correspond � un retard de 1.
On obtient donc l'originale de $X(z)$:
$x(n)=-2^{n-1}u(n-1)+3^{n-1}u(n-1)
=\lp -2^{n-1}+3^{n-1}\rp u(n-1)$.
\vspt\noindent
\ul{Exemple 2:}
On recherche l'originale de
$X(z)=\dfrac{z^3-3z}{(z+3)(z-1)^2}$.
Le degr� du num�rateur �tant �gal � celui du d�nominateur,
on d�compose $\dfrac{X(z)}{z}$ en �l�ments simples.
On obtient (faire le calcul !):
$\dfrac{X(z)}{z}=
\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{(z-1)^2}
+\dfrac{\dfrac{5}{8}}{z-1}
+\dfrac{\dfrac{3}{8}}{z+3}$,
soit
$X(z)=
-\dfrac{1}{2}\dfrac{z}{(z-1)^2}
+\dfrac{5}{8}\dfrac{z}{z-1}
+\dfrac{3}{8}\dfrac{z}{z+3}$,
d'o�,
$x(n)=-\dfrac{1}{2}nu(n)+\dfrac{5}{8}u(n)+\dfrac{3}{8}(-3)^nu(n)
=\lp-\dfrac{1}{2}n+\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}(-3)^n\rp u(n)
$
\bgex
Trouver l'original de $F(z)=\dfrac{z}{z^2-1}$ ($|z|>1$).
(D�composer en �l�ments simples $F(z)$).
\enex
\bgex En utilisant une d�composition en �l�ments simples
de $F(z)$ ou de $\dfrac{F(z)}{z}$, trouver les originaux de:
$\bullet$\ $F(z)=\dfrac{z-1}{z+3}$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $G(z)=\dfrac{z}{(z-1)(z-2)}$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $H(z)=\dfrac{z^2}{z^2-3z+2}$
\vspd
$\bullet$\ $K(z)=\dfrac{3z^2}{z^2-z-2}$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $L(z)=\dfrac{z^3}{(z-1)^2(z+4)}$
\enex
\subsection{Th�or�me de la valeur initiale et finale}
\bgth{Lorsque les limites consid�r�es existent:
\[
\lim_{n\to0}f(n)=f(0)=\lim_{|z|\to+\infty}\lp Zf\rp(z)
\quad\text{(th�or�me de la valeur initiale)}
\]
\vspd
\[
\lim_{n\to+\infty}f(n)=\lim_{|z|\to1}(z-1)\lp Zf\rp(z)
\quad\text{(th�or�me de la valeur initiale)}
\]
}
\vspd
\bgex
On donne $X(z)=\dfrac{2z}{(z-1)(2z-1)}$.
\bgen
\item A l'aide des th�or�mes de la valeur initiale et de la valeur
finale, d�terminer $x(0)$ et $\dsp\lim_{n\to+\infty}x(n)$.
\item D�terminer l'original $x(n)$ de $X(z)$ et retrouver � partir de
$x(n)$ les r�sultats pr�c�dents.
\enen
\enex
\section{Equations r�currentes}
Les �quations r�currentes, aussi appel�es �quations aux diff�rences
(voir plus bas), sont les relations reliant les signaux discrets en
entr�e et sortie d'un syst�me.
Elles apparaissent aussi lors de la discr�tisation d'�quations
diff�rentielles ou �quations aux d�riv�es partielles.
\vspd
\bgmp[m]{7.8cm}
Soit le syst�me num�rique "entr�e / sortie":
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(6,2)
\psline[arrowsize=6pt]{->}(0,1)(1,1)
\psline(1,1)(2,1)\rput(1,1.3){$e(n)$}
\pspolygon(2,0.5)(4,0.5)(4,1.5)(2,1.5)\rput(3,1){Syst�me}
\psline[arrowsize=6pt]{->}(4,1)(5,1)
\psline(5,1)(6,1)\rput(5,1.3){$s(n)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[t]{10cm}
La {\bf\ul{fonction de transfert $H(z)$}} d'un tel syst�me,
initialement au repos, est donn�e par la relation:
\[
S(z)=H(z)\,E(z)
\iff
\text{\fbox{ $H(z)=\dfrac{S(z)}{E(z)}$ }}
\]
\enmp
\bgex
Soit le syst�me "entr�e / sortie" d�fini par la relation de
r�currence:
\[
s(n)=\dfrac{1}{2}\,e(n)+\dfrac{1}{2}\,s(n-1)u(n-1)\ ,
\]
o� $u$ est l'�chelon unit�.
On suppose que les signaux $e$ et $s$ admettent des transform�es en
$z$.
\vspd
Montrer que la fonction de transfert de ce syst�me est:
$\dsp H(z)=\dfrac{z}{2z-1}$.
\enex
\subsection{Equations r�currentes d'ordre 1}
\bgex
On consid�re la suite $(x(n))$ d�finie par la relation de r�currence:
\[\la\bgar{ll}
x(n+1)-2x(n)=2nu(n) \\[0.3cm]
x(0)=1
\enar\right.\]
On suppose que la suite $(x(n))$ admet une transform�e en $z$,
que l'on notera $X(z)$.
\bgen
\item Calculer $x(1)$ et $x(2)$.
\item En appliquant la transformation en $z$ � l'�quation de
r�currence, d�terminer $X(z)$.
\item D�terminer alors $x(n)$, et montrer que
$x(n)=\lp-2-2n+3.2^n\rp u(n)$.
\enen
\enex
\bgex
R�soudre l'�quation aux diff�rences:
\[\la\bgar{ll}
y(n+1)-y(n)=(2n+1)u(n)\\[0.3cm]
y(0)=0
\enar\right.\]
\enex
\subsection{Equations r�currentes d'ordre 2}
\bgex
On consid�re la suite $(x(n))$ d�finie par la relation de r�currence:
\[\la\bgar{ll}
x(n)-3x(n-1)+2x(n-2)=d(n) \\[0.3cm]
x(-1)=x(-2)=0
\enar\right.\]
On suppose que la suite $(x(n))$ admet une transform�e $z$,
que l'on notera $X(z)$.
\bgen
\item Calculer $x(0)$ et $x(1)$.
\item En appliquant la transformation en $z$ � l'�quation de
r�currence, d�terminer $X(z)$.
\item D�terminer alors $x(n)$, et montrer que
$(x(n))$ est la suite causale telle que
$u(n)=-1+2^{n+1}$.
\enen
\enex
\bgex
On consid�re la suite causale $(y(n))$ d�finie par la relation de
r�currence:
\[\la\bgar{ll}
y(n+2)-3y(n+1)+2y(n)=d(n) \\[0.3cm]
y(0)=y(1)=0
\enar\right.\]
On suppose que la suite $(y(n))$ admet une transform�e $z$,
que l'on notera $Y(z)$.
\bgen
\item En appliquant la transformation en $z$ � l'�quation de
r�currence, d�terminer $Y(z)$.
\item En d�duire que $y(n)=\lp -1+2^{n-1}\rp u(n-1)$.
\enen
\enex
\bgex
Soit l'�quation aux diff�rences:
\[\la\bgar{ll}
y(n)-2y(n-1)+y(n-2)=u(n)\\[0.3cm]
y(0)=0
\enar\right.\]
o� $y$ est un signal causal discret, et $u$ l'�chelon unit�.
\bgen
\item Calculer $y(0)$, $y(1)$ et $y(2)$.
\item On pose $Y(z)=Z(y(n))$.
En appliquant la transform�e en $z$ aux 2 membres de l'�quation,
montrer que
$\dsp Y(z)=\dfrac{z^3}{(z-1)^3}$.
\item D�terminer les r�els $a$, $b$ et $c$ tels que
$z^2=a(z+1)+b(z-1)+c(z-1)^2$.
\item En d�duire $y(n)$.
\enen
\enex
\subsection{Equations r�currentes coupl�es}
\bgex
On consid�re les suites causales de nombres r�els $(u_n)_{n\in\Z}$ et
$(v_n)_{n\in\Z}$ d�finies ainsi:
\[\la\bgar{ll}
u(0)=1 \\[0.3cm]
v(0)=-1
\enar\right.
\text{ et, pour tout entier } n\geqslant 0,\
(S)\la\bgar{ll}
u(n+1)=\dfrac{4}{3}u(n)-\dfrac{5}{3}v(n) \\[0.3cm]
v(n+1)=\dfrac{5}{6}u(n)-\dfrac{7}{6}v(n)
\enar\right.
\]
{\sl le but de l'exercice est de d�terminer les expressions de $u(n)$
et $v(n)$ en fonction de $n$, et d'�tudier la convergence des suites
$(u_n)$ et $(v_n)$. }
\bgen
\item Calculer les trois premiers termes de chaque suite.
\item On notera respectivement $U(z)$ et $V(z)$ les transform�es en
$z$ de $u(n)$ et $v(n)$.
Appliquer la transform�e en $z$ au syst�me $(S)$.
\item R�soudre ce syst�me et montrer que
\[
U(z)=\dfrac{z(6z+17)}{(2z-1)(3z+1)}
\quad\text{ et }\quad
V(z)=\dfrac{z(13-6z)}{(2z-1)(3z+1)}\ .
\]
\item D�composer en �l�ments simples $\dfrac{U(z)}{z}$
et $\dfrac{V(z)}{z}$.
\item D�terminer alors les expressions de $u(n)$ et de $(v(n)$ en
ofnction de $n$.
Retrouver les r�sultats de la question 1.
\item D�terminer la limite de chacune de ces suites quand $n$ tend
vers $+\infty$.
\enen
\enex
\section{Discr�tisation d'�quations diff�rentielle}
\ul{Rappel} Le taux d'accroissement d'une fonction en $t_0$ est
$\tau(h)=\dfrac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h}$.
A la limite $h\to0$, on obtient le nombre d�riv� de $f$ en $t_0$ (s'il
existe):
$\dsp f'(t_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h}$.
On �chantillonne la fonction $f$ � la p�riode $T$,
et on pose $y(n)=f(nT)$.
On a alors,
$f'(nT)\simeq \dfrac{f(nT+T)-f(nT)}{T}
=\dfrac{f((n+1)T)-f(nT)}{T}
=\dfrac{y(n+1)-y(n)}{T}$,
l'approximation �tant d'autant meilleure que $T\to0$.
\vspd
De la m�me fa�on, on peut approximer la d�riv�e seconde:
\[
f''(nT)\simeq \dfrac{f'((n+1)T)-f'(nT)}{T}
\simeq \dfrac{y(n+2)-2y(n+1)+y(n)}{T^2}
\]
Ces m�thodes d'approximations, tr�s utilis�es de nos jours, sont aussi
connues sous le nom de m�thode des "diff�rences finies".
\bgex
Soit l'�quation diff�rentielle
$(E) \la\bgar{ll}
y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0 \\[0.3cm]
y(0)=0\ ;\ y'(0)=1
\enar\right.$
dans laquelle $y$ est une fonction causale.
\bgen
\item R�soudre cette �quation, et montrer que
$y(t)=\lp e^{-t}-e^{-2t}\rp\mathcal{U}(t)$.
\item
\bgen[a)]
\item On discr�tise cette �quation � la p�riode d'�chantillonnage
$T$. On utilise alors les approximations des d�riv�es:
\[
y'(nT)\simeq \dfrac{y(n+1)-y(n)}{T}
\quad \text{ et }\quad
y''(nT)\simeq \dfrac{y(n+2)-2y(n+1)+y(n)}{T^2} \ .
\]
Montrer que l'on obtient la relation de r�currence:
\[
y(n+2)+(3T-2)y(n+1)+(2T^2-3T+1)y(n)=0
\]
\item Montrer que les deux premi�res termes de la suite sont
$y(0)=0$ et $y(1)=T$.
\item D�terminer l'expression de la transform�e en $z$, que l'on
notera $Y(z)$ de $y(n)$.
Montrer que
$Y(z)=\dfrac{zT}{z^2+z(-2+3T)+(1-3T+2T^2)}$
\item Montrer que les p�les (racines du d�dnominateur) de $Y(z)$
sont $1-T$ et $1-2T$.
En d�duire l'expression de $Y(z)$:
\[
Y(z)=z^{-1}\dfrac{(1-T)z}{z-(1-T)}+z^{-1}\dfrac{(2T-1)z}{z-(1-2T)}
\]
\item Montrer alors que l'originale $y(n)$ de $Y(z)$ est:
$y(n)=\lp (1-T)^n-(1-2T)^n\rp u(n)$.
Compl�ter le tableau suivant en arrondissant les valeurs �
$10^{-3}$ pr�s:
\[
\begin{tabular}{|c|c|*4{p{1.5cm}|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{$t$} & 0 & $0,1$ & $0,5$ & $1$ \\\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\rule[-0.5cm]{0cm}{1.3cm}$y(t)$} & &&& \\\hline
\raisebox{-0.4cm}[0cm]{$T=0,1$ }
& \rule[-0.5cm]{0cm}{1.3cm}$n$ &&&& \\\cline{2-6}
& \rule[-0.5cm]{0cm}{1.3cm}$y(n)$ &&&& \\\hline
\raisebox{-0.4cm}[0cm]{$T=0,01$ }
& \rule[-0.5cm]{0cm}{1.3cm}$n$ &&&& \\\cline{2-6}
& \rule[-0.5cm]{0cm}{1.3cm}$y(n)$ &&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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