Source Latex: Cours de mathématiques en BTS


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Description
Cours de mathématiques: Séries numériques
Niveau
BTS
Table des matières
  • Série entière
    • Exemples et définition
    • Rayon de convergence
    • Propriétés des séries entières
    • Développement en série entière d'une fonction
  • Transformée en Z
    • Transformées des fonctions usuelles: Dirac, échelon, rampe, signal carré, ...
    • Propriétés de la tranformée en Z
    • Transformée en z inverse
    • Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale
  • Équations récurrentes
    • Équations d'ordre 1 et 2
    • Équations couplées
  • Discrétisation d'équations différentielles
Mots clé
séries, séries numériques, cours de mathématiques
Voir aussi:

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lien vers la documentation Latex
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Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Transformation en Z},
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    }
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Transformation en Z}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/BTS/Groupe-A/Mathematiques-BTS.php}{xymaths.fr - BTS}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}
\title{\TITLE}

\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\ct{\LARGE{\bf \TITLE}}

\vspt
On dispose d'outils adapt�s � l'�tude de signaux analogiques: 
les s�ries de Fourier (lorsque le signal est p�riodique) 
et la transform�e de Laplace (lorsque le signal est causal). 

L'utilisation de plus en plus fr�quente de calculateurs num�riques
n�cessite la manipulation de signaux discrets 
(soit des suites suites discr�tes telles que des suites binaires,
utilis�es entre autre pour stocker et transmettre de l'information, 
soit des suites discr�tes provenant de l'�chantillonnage d'un signal
analogique tel que par exemple la num�risation de signaux audios). 

Pour l'�tude de tels signaux discrets, l'analogue de la transform�e de
Laplace est la transform�e en~$z$. 


  \nwc\faa[1]{
    #1 180 mul 3.1415 div 4.6 mul 82 add cos
    2.718 #1 2.5 sub 2 exp -8 div exp
    mul 
    3 mul
  }
\begin{pspicture}(-0.,-4)(9,4)
  \psline{->}(-0.5,0)(8.4,0)\rput(8.5,-0.1){$t$}
  \psline{->}(0,-3)(0,3.6)
  %\pscurve(0,1)(1,2)(2,0)(3,-1)(4,-1.5)(5,1)(6,3)
  \psplot[plotpoints=1000]{0}{8}{
    \faa{x}
  }
  \rput(3,-3.5){Signal analogique $s$}
  \rput(4,-4){$s(t)$ d�fini pour tout $t$ r�el, $t\geqslant 0$ 
    (signal causal)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-0.5,-4)(8,4)
  \psline{->}(-0.5,0)(8.4,0)\rput(8.5,-0.1){$t$}
  \psline{->}(0,-3)(0,3.6)
  \psplot[linestyle=dashed,plotpoints=1000]{0}{8}{
    \faa{x}
  }
  \multido{\i=1+1}{6}{
    \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](\i,0)(! \i \space \faa{\i})
    \rput(! \i \space \faa{\i}){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  }
  \rput(1,-0.25){$t_1$}
  \rput(1.9,0.2){$t_2$}
  \rput(3,0.2){$t_3$}
  \rput(3.9,-0.25){$t_4$}
  \rput(5,-0.25){$t_5$}
  \rput(6,0.2){$t_6$}
  \rput(3,-3.5){Echantillonnage}
  \rput(3,-4){du signal $s$ aux instants $t_i$}
\end{pspicture}

\ct{
\begin{pspicture}(-0.5,-2.4)(8,4.5)
  \psline{->}(-0.5,0)(8.4,0)\rput(8.5,-0.1){$n$}
  \psline{->}(0,-3)(0,3.6)
  %\psplot[linestyle=dashed,plotpoints=1000]{0}{8}{
  %  \faa{x}
  %}
  \multido{\i=1+1}{6}{
    \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](\i,0)(! \i \space \faa{\i})
    \rput(! \i \space \faa{\i}){\textcolor{red}{$\bullet$}}
    \rput(\i,-0.25){$\i$}
  }
  \rput(8.5,-1.5){Signal num�rique $(s_n)$}
  \rput(8.5,-2){$s_n=s(n)=f(t_n)$ d�fini pour tout $n$ entier, $n\geqslant 0$}
\end{pspicture}
}


\vspq
\section{S�rie enti�re}

\subsection{Exemple et d�finition}

\noindent
\ul{Exemple:} Soit $x$ un nombre r�el, 
alors on sait que 
$\dsp\sum_{n=0}^N x^n=1+x+x^2+x^3\dots+x^N=\dfrac{1-x^{N+1}}{1-x}$. 

Ainsi, lorsque $|x|<1$, et donc, $\dsp\lim_{N\to+\infty}x^N=0$, on a
en prenant la limite de ces deux termes: 
\[\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} x^n=\dfrac{1}{1-x}\ .\]

\vspd
Par exemple, lorsque $x=\dfrac{1}{2}$, 
$\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} \lp\dfrac{1}{2}\rp^n
=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{2^n}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=2$.


\vspd
Soit la fonction $f$ d�finie sur $\R\setminus\la1\ra$ par
$f(x)=\dfrac{1}{1-x}$, 
alors, sur $]-1;1[$, on a $
\dsp f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} x^n$. 
Pour $x>1$, $f(x)$ existe, mais pas la s�rie. 


\bgdef{
  On appelle s�rie enti�re de la variable $x$, toute s�rie de terme
  g�n�ral $u_n=a_nx^n$, c'est-�-dire toute expression: 
  \[
  \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n 
  =a_0 + a_1x +a_2x^2+a_3x^3+\dots+a_nx^n+\dots
  \]
  Sur tout intervalle o� elle est convergente, cette s�rie a pour
  somme une fonction. 
}

\vspace{0.5cm}\noindent
\ul{Remarque:} Une s�rie enti�re g�n�ralise d'une certaine fa�on la
notion de polyn�me (polyn�me de degr� infini). 

\subsection{Rayon de convergence}

Soit $(a_n)$ une suite r�elle, 
on se pose la question de la convergence d'une s�rie enti�re 
$\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$. 

\bgdef{
  On appelle rayon de convergence le plus petit nombre $R$ positif tel
  que pour tout $|x|<R$, la s�rie 
  $\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ converge. 
}

\bgprop{
  Soit $\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ une s�rie enti�re de rayon
  de convergence $R$, alors pour tout $|x|<R$, la s�rie est absolument
  convergente, et pour tout $|x|>R$, la s�rie est divergente. 
}

\vspt\noindent
\ul{Exemple:} Soit la s�rie enti�re de terme g�n�ral 
$u_n=\dfrac{x^n}{n!}$. 

\vspq
D'apr�s la r�gle de d'Alembert, 
$\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_n|}
=\dfrac{|x^{n+1}|}{(n+1)!}\dfrac{n!}{|x^n|}
=\dfrac{|x|}{n}
$, 
et donc, 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \dfrac{|u_{n+1}|}{|u_n|}
=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{|x|}{n}=0
$ pour tout $x$ r�el. 

Ainsi la s�rie enti�re $\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!}$
converge pour tout $x$ r�el; 
son rayon de convergence est infini: $R=+\infty$. 

\vspq\noindent
\ul{Exemple:} Soit la s�rie enti�re de terme g�n�ral 
$u_n=x^n$. 

D'apr�s la r�gle de d'Alembert, 
$\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\dfrac{|x^{n+1}|}{|x^n|}=|x|$, 
et la s�rie converge si et seulement si $|x|<1$. 

Ainsi la s�rie enti�re 
$\dsp\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$
converge pour tout r�el $x$ tel que $|x|<1$; 
son rayon de convergence est donc $R=1$. 


\subsection{Propri�t� des s�ries enti�res}

\subsubsection{Somme} 

Soit deux s�ries enti�res de termes g�n�raux 
$u_n=a_nx^n$ et $v_n=b_nx^n$ de rayons de convergence $R_1$ et $R_2$, 
alors la s�rie enti�re de terme g�n�ral 
$w_n=u_n+v_n=(a_n+b_n)x^n$ est une s�rie enti�re de rayon de
convergence $R\leqslant \text{inf}\lp R_1,R_2\rp$, 
et pour tout $x<R$, 
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n + \sum_{n=0}^{+\infty} b_nx^n 
=\sum_{n=0}^{+\infty} \lp a_n+b_n\rp x^n 
\]

\subsubsection{Produit par un r�el}

Soit la s�rie enti�re de terme g�n�ral $u_n=a_nx^n$ de rayon de
convergence $R$, alors le produit de cette s�rie enti�re par le r�el
$k$ est une s�rie enti�re de terme g�n�ral $ku_n=ka_nx^n$ de m�me
rayon de convergence, 
et donc, pour tout $|x|<R$, 
\[
k\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n
=\sum_{n=0}^{+\infty} k a_nx^n
\]

\subsubsection{D�rivation}

Soit la s�rie enti�re de terme g�n�ral $u_n=a_nx^n$ de rayon de
convergence $R$ et de somme $S(x)$. 

$S$ est continue et d�rivable sur $]-R;R[$; 
la s�rie d�riv�e a m�me rayon de convergence et 
la s�rie peut �tre d�riv�e terme � terme: 
\[
S'(x)=\lp\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n\rp'
=\sum_{n=0}^{+\infty} \Bigl( a_nx^n \Bigr)'
=\sum_{n=1}^{+\infty} na_nx^{n-1}
\]


\vspt\noindent
\ul{Exemple:} 

On consid�re la s�rie de terme g�n�ral 
$u_n=\dfrac{x^n}{n!}$ de rayon de convergence infini, et on pose 
\mbox{$\dsp S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}$} 
la somme de cette s�rie.   

\vspd
Alors, 
$\dsp S'(x)=\lp\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}\rp'
=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{nx^{n-1}}{n!}
=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}
=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}
=S(x)
$

\vspd
On en d�duit que $S(x)=ke^x$. 

De plus, $S(0)=1\iff k=1$, 
d'o�, pour tout $x$ r�el, 
$\dsp S(x)=e^x=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}$.

\subsection{D�veloppement en s�rie enti�re d'une fonction}

\bgth{\ul{Formule de Taylor}

  \vspd
  Soit une fonction $f$ d�finie sur un intervalle ouvert $I$ centr� en
  0. 
  Si $f$ admet des d�riv�es jusqu'� un ordre quelconque 
  (on dit que $f$ est de classe $C^{\infty}$), et si ces d�riv�es sont
  major�es sur $I$ par un r�el $M$ sur tout intervalle inclus dans
  $I$, 
  alors $f$ est d�veloppable en s�rie enti�re sur $I$ avec 
  la formule de Taylor: 
  \[
  f(x)=f(0)+xf'(0)+\dfrac{x^2}{2}f''(0)+\dfrac{x^3}{3!}f'''(0)
  +\dots+\dfrac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+\dots
  =\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)
  \]
}

\vspt\noindent
\ul{Exemple:} Soit $f(x)=e^x$. 
Pour tout $x$ r�el, $f^{(n)}(x)=e^x$, et 
\[
e^x=e^0+xe^0+\dfrac{x^2}{2}e^0+\dfrac{x^3}{3!}e^0
+\dots+\dfrac{x^n}{n!}e^0+\dots
=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}
\]

\vspt
\bgprop{{\bf D�veloppement en s�rie enti�re des fonctions usuelles}
  \[\hspace*{-1cm}\bgar{lll}
  e^x
  &\dsp=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}+\dots
  &\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}
  \\[0.6cm]
  \sin x
  &\dsp=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dots
  +(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots
  &\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
  \\[0.6cm]
  \cos x
  &\dsp=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dots
  +(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\dots
  &\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}
  \\[0.6cm]
  (1+x)^\alpha
  &\dsp=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2
  +\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3&+\dots
  +\dfrac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}+\dots
  \\[0.5cm]
  &\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty} 
  \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n
  \enar\]
}


\vspt\noindent
\ul{Remarque:} 

\bgit
\item[$\bullet$] Le d�veloppement limit� � l'ordre $n$ au voisinage de $0$
s'obtient en tronquant la s�rie enti�re � l'ordre $n$, et en ajoutant
un terme $x^n\epsi(x)$, avec $\dsp\lim_{n\to0}\epsi(x)=0$, ou de
mani�re �quivalente le terme $O(x^{n+1})$ ou $o(x^n)$. 

\vspd
\item[$\bullet$] Le d�veloppement limit� n'est valable qu'au voisinage d'un
point ($0$ dans les formules). 
Le d�veloppement en s�rie enti�re est quant � lui valable pour toutes
les valeurs de $x$ r�el tel que $|x|<R$. 

\vspd
\item[$\bullet$] \ul{Cas particulier important du dernier d�veloppement en
  s�rie enti�re}

\vspd
Pour $\alpha=1$, $(1+x)^\alpha=(1+x)^1=1+x$.  

\vspd
Au premier ordre, on a le d�veloppement limit�, pour $x\to 0$: 
$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+o(x)$. 


\vspd 
Par exemple, pour $\alpha=\dfrac{1}{2}$, 
$(1+x)^{1/2}=\sqrt{1+x}\sim1+\dfrac{1}{2}x$, 
et pour $\alpha=-1$, 
$(1+x)^\alpha=\dfrac{1}{1+x}\sim 1-x$
\enit

\bgex
D�terminer les limites: 

\vspd\noindent
$\bullet$ $\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$ 
\hspace{0.5cm}
$\bullet$ $\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}$ 
\hspace{0.5cm}
$\bullet$ $\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{2e^x-2-x^2}{x^3}$ 
\hspace{0.5cm}
$\bullet$ $\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{24x}{1-(1+x)^{12}}$ 
\hspace{0.5cm}
$\bullet$ $\dsp\lim_{x\to+\infty}x\,\dfrac{e^{-1/x}-1}{\sin\frac{1}{x}}$ 
\enex

\section{Transform�e en $Z$}

\bgdef{
  La transform�e en $z$ du signal discret causal d�fini par 
  $(x_n)=(x(n))$, $n\in\N$, est la fonction $X$ de la variable
  complexe $z$ d�finie par: 
  \[
  X(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} x(n)\,z^{-n}
  \]
}

\vspt\noindent
\ul{Remarque:} 

$\bullet$ Si le signal discret $(x(n))$ n'est pas causal, il faut
�tendre la s�rie enti�re: 
  \[
  X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n)\,z^{-n}
  \]

$\bullet$ La transform�e en $z$, $X(z)$, est une s�rie enti�re de la
  variable $z^{-1}=\dfrac{1}{z}$. 


\vspt\noindent
\ul{Notations:} 
On note $X(z)$ ou $\lp Zx\rp(z)$ la transform�e en $z$ du signal
discret $(x_n)$, ou encore 
$\mathcal{Z}\lb x(n)\rb$. 

\subsection{Transform�es en $z$ usuelles}

\subsubsection{Suite de Dirac}
La suite de Dirac (ou suite canonique) est la suite $d$ d�finie par  
$\la\bgar{ll} d(0)=1 \\ d(n)=0\ \text{ pour }\  n\not=0 \enar\right.$. 

%\setlength{\fboxsep}{0.3cm}
%\fbox{}
\bgprop{
  $\lp Zd\rp(z)=1$
}

\subsubsection{Dirac retard�}
La suite de Dirac retard�e de $k$ ($k\in\N$) est la suite $d_k$ d�finie
par  
$\la\bgar{ll} d_k(k)=1 \\ d_k(n)=0\ \text{ pour }\  n\not=k \enar\right.$. 

\bgprop{
  $\lp Zd_k\rp(z)=z^{-k}$
}

\subsubsection{Echelon unit� discret}
L'�chelon unit� discret $u$ est d�fini par
$\la\bgar{ll} u(n)=1 \text{ si } n\geqslant0 \\ 
u(n)=0\ \text{ si }\  n<0 \enar\right.$. 

\bgprop{
  $\dsp\lp Zu\rp(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} z^{-k}=\dfrac{1}{1-z^{-1}}
  =\dfrac{z}{z-1}$
  \ \ pour\ \ $|z^{-1}|<1 \iff |z|>1$. 
}

\subsubsection{Rampe unit� causale}
La rampe unit� causale est d�finie par 
$r(n)=nu(n)=
\la\bgar{ll} n \text{ si } n\geqslant0 \\ 
0\ \text{ si }\  n<0 \enar\right.$. 

\bgprop{
  $\lp Zr\rp(z)=\dfrac{z}{(z-1)^2}$ pour $|z|>1$. 
}


\subsubsection{Signal carr� discret causal}
Le signal carr� discret causal est d�fini par 
$c(n)=n^2u(n)=
\la\bgar{ll} n^2 \text{ si } n\geqslant0 \\ 
0\ \text{ si }\  n<0 \enar\right.$. 

\bgprop{
  $\lp Zc\rp(z)=\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}$ pour $|z|>1$. 
}

\subsubsection{Signal puissance discret causal}
Ce signal discret causal est d�fini par 
$f(n)=b^nu(n)=
\la\bgar{ll} b^n \text{ si } n\geqslant0 \\ 
0\ \text{ si }\  n<0 \enar\right.$. 

\bgprop{
  $\lp Zf\rp(z)=\dfrac{z}{z-b}$ pour $|z|>|b|$. 
}


\subsection{Propri�t�s de la transform�e en $z$}

\bgprop{{\bf\ul{Lin�arit�}}

  Si $f$ et $g$ sont deux signaux causaux discrets admettant des
  transform�es en $z$, alors: 
  \[
  \lp Z(f+g)\rp(z)=\lp Zf\rp(z)+\lp Zg\rp(z)
  \quad\text{ et }\quad
  \lp Z(kf)\rp(z)=k\lp Zf\rp(z)
  \]
}


\bgprop{{\bf\ul{Multiplication par $a^n$}} 

  Si $g(n)=a^nf(n)$, alors 
  $\lp Zg\rp(z)=\lp Zf\rp\lp\dfrac{z}{a}\rp$
}


\bgprop{{\bf\ul{Signal retard�}} 

  Si $g(n)=f(n-k)u(n-k)$, alors 
  $\lp Zg\rp(z)=z^{-k}\lp Zf\rp\lp z\rp$
}

\bgprop{{\bf\ul{Signal avanc�e}} 

  Si $h(n)=f(n+k)u(n+k)$, alors 
  \[\lp Zh\rp(z)=z^{k}\lb F(z)-f(0)z^0-f(1)z^{-1}-f(2)z^{-2}
  -\dots-
  f(k-1)z^{-(k-1)}\rb\]

  \vspd
  En particulier: 
  \[\bgar{ll}
  \text{Si}\ \ h(n)=f(n+1)u(n+1), \quad
  \lp Zh\rp(z)=z\lb F(z)-f(0)\rb\\[0.3cm]
  \text{Si}\ \ h(n)=f(n+2)u(n+2), \quad
  \lp Zh\rp(z)=z^2\lb F(z)-f(0)-f(1)z^{-1}\rb
  \enar\]
}


\bgex
D�terminer les transform�es en $z$ des suites causales d�finies par: 

\vspd\noindent
$\bullet$\ $f(n)=(2n+1)u(n)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $g(n)=3^nu(n)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $h(n)=3^nnu(n)$

\vspd\noindent
$\bullet$\ $k(n)=3^nn^2u(n)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $l(n)=3^{n-2}(n-2)u(n-2)$
\enex


\bgex
D�terminer les transform�es en $z$ des signaux discrets: 

\vspd\noindent
$\bullet$\ $x_1(n)=nu(n)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $x_2(n)=nu(n-1)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $x_3(n)=nu(n-2)$

\vspd\noindent
$\bullet$\ $x_4(n)=(n+1)u(n-1)$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $x_5(n)=(n+1)u(n-2)$

\vspd
{\sl Indication: on pourra �crire chaque signal $x_i$ sous la forme 
$x_i(n)=(n-a)u(n-a)+bu(n-a)$.}
\enex


\bgex
$(x(n))$ est une suite v�rifiant la relation de r�currence suivante: 
\[\la\bgar{ll}
x(n+2)+x(n+1)-6x(n)=nu(n) \\[0.3cm]
x(0)=0 \ \ , \ \ x(1)=0
\enar\right.\]
D�terminer la transform�e en $z$, not�e $X(z)$, de $(x(n))$. 
\enex

\bgex A l'aide des formules d'Euler, d�terminer les transform�es en
$z$ des signaux discrets suivants: 

\vspd\noindent
$\bullet$\ $x_1(n)=\cos(n)u(n)$
\hspace{0.6cm}
$\bullet$\ $x_2(n)=\sin(n)u(n)$
\hspace{0.6cm}
$\bullet$\ $y_1(n)=\cos(n\omega)u(n)$
\hspace{0.6cm}
$\bullet$\ $y_2(n)=\sin(n\omega)u(n)$

\vspd\noindent
Dans les cas $\omega=\dfrac{\pi}{2}$ et $\omega=\pi$, 
repr�senter graphiquement les signaux et donner leurs transform�es en~$z$. 
\enex


\bgex
A l'aide de la d�finition de la transform�e en $z$ et du d�veloppement
en s�rie enti�re de la fonction $x\mapsto e^x$, 
donner les transform�es en $z$ des suites causales:  
$x(n)=\dfrac{1}{n!}$ \quad et\quad
$y(n)=\dfrac{2^n}{n!}$.
\enex

\bgex
A l'aide de la d�finition de la transform�e en $z$, donner les
transform�es en $z$ des suites causales repr�sent�es graphiquement
ci-dessous: 

\psset{arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.8)
  \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
  \psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(7,-0.1){$n$}
  \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
  \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
  \multido{\i=-2+1}{9}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
  }
  \rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(0,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(1,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(2,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(3,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5.5,-1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 4$}
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,2)(3,2)(4,0)
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.8)
  \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
  \psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(7,-0.1){$n$}
  \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
  \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
  \multido{\i=-2+1}{9}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
  }
  \rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(0,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(1,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(3,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5.5,-1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 4$}
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(4,0)
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(6.8,2.8)
  \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
  \psline{->}(0,-1.5)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(7,-0.1){$n$}
  \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
  \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
  \psline(-0.1,-1)(0.1,-1)\rput(-0.2,-1){-$1$}
  \multido{\i=-2+1}{9}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
  }
  \rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(0,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(1,-1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(2,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(3,-1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5.5,-1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 4$}
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,-1)(2,1)(3,-1)(4,0)
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(6.8,3.8)
  \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
  \psline{->}(0,-1.5)(0,3.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(7,-0.1){$n$}
  \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
  \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
  \psline(-0.1,3)(0.1,3)\rput(-0.2,3){$3$}
  \psline(-0.1,-1)(0.1,-1)\rput(-0.2,-1){-$1$}
  \multido{\i=-2+1}{9}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
  }
  \rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(0,3){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(1,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(2,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(3,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5.5,-1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 3$}
  \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,0)
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.8)
  \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
  \psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(7,-0.1){$n$}
  \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
  \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
  \multido{\i=-2+1}{9}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
  }
  \rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(0,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(1,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(2,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(3,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5.5,-1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 4$}
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(2,2)(4,0)
\end{pspicture}

\bgex
Soit $f$ la fonction num�rique causale d�finie par: 
$f(t)=\lp 1-e^{-2t}\rp U(t)$. 

On �chantillonne cette fonction � la p�riode d'�chantillonnage $T$. 
Donner sa transform�e en $Z$. 

Donner son expression lorsque $T=0,5$ seconde, $T=2$ secondes et 
$T=4$ secondes. 
\enex

\enex

\subsection{Transform�e en $z$ inverse}

\bgdef{
  Si $x$ est un signal causal discret et si $X(z)=\lp Zx\rp(z)$ est sa
  transform�e en $z$, la suite $(x(n))$, $n\in\Z$ est appel�e original
  ou transform�e en $z$ inverse de $X(z)$. 
  
  On note $\lp Z^{-1}X\rp(n)=x(n)$: 
  \[
  \lp Zx\rp(z)=X(z) \iff \lp Z^{-1}X\rp(n)=x(n)
  \]
}

\bgprop{

  $\bullet$ Si l'original $x(n)$ de $X(z)$ existe, alors elle est
  unique. 

  \vspd
  $\bullet$ {\bf Lin�arit�:} 
  $
  \lp Z^{-1}(X+Y)\rp=\lp Z^{-1}(X)\rp+\lp Z^{-1}(Y)\rp 
  \quad\text{ et }\quad 
    \lp Z^{-1}(kX)\rp= k\lp Z^{-1}(X)\rp
  $
}

\vspace{0.6cm}\noindent
{\bf\ul{M�thodes de recherche de l'original:}}
Pour retrouver le signal discret original $x(n)$: 
\bgit
\item[$\bullet$] on d�compose en �l�ments simples 
  $X(z)$ ou $\dfrac{X(z)}{z}$, ou encore $\dfrac{X(z)}{z^k}$ 
  (lorsque le degr� du num�rateur de $X(z)$ est sup�rieur ou �gal au
  degr� de son num�rateur). 

  Les �l�ments le plus fr�quemment rencontr�s sont de la forme: 

  \vspd
  $\dfrac{z}{z-1}$ d'original $u(n)$ (�chelon unit� discret) 

  \vspd
  $\dfrac{z}{z-b}$ d'original $b^nu(n)$ 

  \vspd
  $\dfrac{z}{(z-1)^2}$ d'original $nu(n)$ (rampe unit� causale) 


\item[$\bullet$] on d�veloppe en s�rie enti�re 
  $\dsp X(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^{-n}$, et on a alors 
  simplement $x(n)=a_n$. 
\enit


\vspt\noindent
\ul{Exemple 1:} 
On recherche l'original de $X(z)=\dfrac{1}{(z-2)(z-3)}$. 

$X(z)$ se d�compose en �l�ments simples suivant 
(faire le calcul !): 
$X(z)=\dfrac{-1}{z-2}+\dfrac{1}{z-3}$. 

On �crit alors 
$X(z)=-z^{-1}\lp\dfrac{z}{z-2}\rp+z^{-1}\lp\dfrac{z}{z-3}\rp$. 

L'originale de $\dfrac{z}{z-2}$ est $2^nu(n)$, 
tandis que l'originale de $\dfrac{z}{z-3}$ est $3^nu(n)$. 

Le facteur $z^{-1}$ correspond � un retard de 1. 

On obtient donc l'originale de $X(z)$: 
$x(n)=-2^{n-1}u(n-1)+3^{n-1}u(n-1)
=\lp -2^{n-1}+3^{n-1}\rp u(n-1)$.


\vspt\noindent
\ul{Exemple 2:} 
On recherche l'originale de 
$X(z)=\dfrac{z^3-3z}{(z+3)(z-1)^2}$. 

Le degr� du num�rateur �tant �gal � celui du d�nominateur, 
on d�compose $\dfrac{X(z)}{z}$ en �l�ments simples. 

On obtient (faire le calcul !): 
$\dfrac{X(z)}{z}=
\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{(z-1)^2}
+\dfrac{\dfrac{5}{8}}{z-1}
+\dfrac{\dfrac{3}{8}}{z+3}$, 

soit 
$X(z)=
-\dfrac{1}{2}\dfrac{z}{(z-1)^2}
+\dfrac{5}{8}\dfrac{z}{z-1}
+\dfrac{3}{8}\dfrac{z}{z+3}$, 

d'o�, 
$x(n)=-\dfrac{1}{2}nu(n)+\dfrac{5}{8}u(n)+\dfrac{3}{8}(-3)^nu(n)
=\lp-\dfrac{1}{2}n+\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}(-3)^n\rp u(n)
$


\bgex
Trouver l'original de $F(z)=\dfrac{z}{z^2-1}$ ($|z|>1$). 
(D�composer en �l�ments simples $F(z)$). 
\enex

\bgex En utilisant une d�composition en �l�ments simples 
de $F(z)$ ou de $\dfrac{F(z)}{z}$, trouver les originaux de: 

$\bullet$\ $F(z)=\dfrac{z-1}{z+3}$ 
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $G(z)=\dfrac{z}{(z-1)(z-2)}$ 
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $H(z)=\dfrac{z^2}{z^2-3z+2}$ 

\vspd
$\bullet$\ $K(z)=\dfrac{3z^2}{z^2-z-2}$ 
\hspace{1cm}
$\bullet$\ $L(z)=\dfrac{z^3}{(z-1)^2(z+4)}$ 


\enex

\subsection{Th�or�me de la valeur initiale et finale}

\bgth{Lorsque les limites consid�r�es existent: 

  \[
  \lim_{n\to0}f(n)=f(0)=\lim_{|z|\to+\infty}\lp Zf\rp(z)
  \quad\text{(th�or�me de la valeur initiale)}
  \]
  \vspd
  \[
  \lim_{n\to+\infty}f(n)=\lim_{|z|\to1}(z-1)\lp Zf\rp(z)
  \quad\text{(th�or�me de la valeur initiale)}
  \]
}

\vspd
\bgex
On donne $X(z)=\dfrac{2z}{(z-1)(2z-1)}$. 

\bgen
\item A l'aide des th�or�mes de la valeur initiale et de la valeur
  finale, d�terminer $x(0)$ et $\dsp\lim_{n\to+\infty}x(n)$. 

\item D�terminer l'original $x(n)$ de $X(z)$ et retrouver � partir de
  $x(n)$ les r�sultats pr�c�dents. 

\enen
\enex

\section{Equations r�currentes} 

Les �quations r�currentes, aussi appel�es �quations aux diff�rences
(voir plus bas), sont les relations reliant les signaux discrets en
entr�e et sortie d'un syst�me. 
Elles apparaissent aussi lors de la discr�tisation d'�quations
diff�rentielles ou �quations aux d�riv�es partielles. 


\vspd
\bgmp[m]{7.8cm}
Soit le syst�me num�rique "entr�e / sortie": 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(6,2)
  \psline[arrowsize=6pt]{->}(0,1)(1,1)
  \psline(1,1)(2,1)\rput(1,1.3){$e(n)$}
  \pspolygon(2,0.5)(4,0.5)(4,1.5)(2,1.5)\rput(3,1){Syst�me}
  \psline[arrowsize=6pt]{->}(4,1)(5,1)
  \psline(5,1)(6,1)\rput(5,1.3){$s(n)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[t]{10cm}
La {\bf\ul{fonction de transfert $H(z)$}} d'un tel syst�me,
initialement au repos, est donn�e par la relation: 
\[
S(z)=H(z)\,E(z) 
\iff 
\text{\fbox{ $H(z)=\dfrac{S(z)}{E(z)}$ }}
\]
\enmp

\bgex
Soit le syst�me "entr�e / sortie" d�fini par la relation de
r�currence: 
\[
s(n)=\dfrac{1}{2}\,e(n)+\dfrac{1}{2}\,s(n-1)u(n-1)\ ,
\]
o� $u$ est l'�chelon unit�. 

On suppose que les signaux $e$ et $s$ admettent des transform�es en
$z$. 

\vspd
Montrer que la fonction de transfert de ce syst�me est: 
$\dsp H(z)=\dfrac{z}{2z-1}$. 
\enex

\subsection{Equations r�currentes d'ordre 1}

\bgex
On consid�re la suite $(x(n))$ d�finie par la relation de r�currence: 
\[\la\bgar{ll}
x(n+1)-2x(n)=2nu(n) \\[0.3cm]
x(0)=1
\enar\right.\]

On suppose que la suite $(x(n))$ admet une transform�e en $z$, 
que l'on notera $X(z)$. 
\bgen
\item Calculer $x(1)$ et $x(2)$. 
\item En appliquant la transformation en $z$ � l'�quation de
  r�currence, d�terminer $X(z)$. 
  
\item D�terminer alors $x(n)$, et montrer que 
  $x(n)=\lp-2-2n+3.2^n\rp u(n)$.
\enen
\enex

\bgex
R�soudre l'�quation  aux diff�rences: 
\[\la\bgar{ll}
y(n+1)-y(n)=(2n+1)u(n)\\[0.3cm]
y(0)=0
\enar\right.\]
\enex

\subsection{Equations r�currentes d'ordre 2}

\bgex
On consid�re la suite $(x(n))$ d�finie par la relation de r�currence: 
\[\la\bgar{ll}
x(n)-3x(n-1)+2x(n-2)=d(n) \\[0.3cm]
x(-1)=x(-2)=0
\enar\right.\]

On suppose que la suite $(x(n))$ admet une transform�e $z$, 
que l'on notera $X(z)$. 
\bgen
\item Calculer $x(0)$ et $x(1)$. 
\item En appliquant la transformation en $z$ � l'�quation de
  r�currence, d�terminer $X(z)$. 
  
\item D�terminer alors $x(n)$, et montrer que 
  $(x(n))$ est la suite causale telle que 
  $u(n)=-1+2^{n+1}$.
\enen
\enex

\bgex
On consid�re la suite causale $(y(n))$ d�finie par la relation de
r�currence:  
\[\la\bgar{ll}
y(n+2)-3y(n+1)+2y(n)=d(n) \\[0.3cm]
y(0)=y(1)=0
\enar\right.\]

On suppose que la suite $(y(n))$ admet une transform�e $z$, 
que l'on notera $Y(z)$. 
\bgen
\item En appliquant la transformation en $z$ � l'�quation de
  r�currence, d�terminer $Y(z)$. 
  
\item En d�duire que $y(n)=\lp -1+2^{n-1}\rp u(n-1)$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit l'�quation aux diff�rences: 
\[\la\bgar{ll}
y(n)-2y(n-1)+y(n-2)=u(n)\\[0.3cm]
y(0)=0
\enar\right.\]
o� $y$ est un signal causal discret, et $u$ l'�chelon unit�. 

\bgen
\item Calculer $y(0)$, $y(1)$ et $y(2)$. 
\item On pose $Y(z)=Z(y(n))$. 

  En appliquant la transform�e en $z$ aux 2 membres de l'�quation, 
  montrer que 
  $\dsp Y(z)=\dfrac{z^3}{(z-1)^3}$. 
\item D�terminer les r�els $a$, $b$ et $c$ tels que 
  $z^2=a(z+1)+b(z-1)+c(z-1)^2$. 
\item En d�duire $y(n)$. 
\enen
\enex

\subsection{Equations r�currentes coupl�es} 

\bgex
On consid�re les suites causales de nombres r�els $(u_n)_{n\in\Z}$ et 
$(v_n)_{n\in\Z}$ d�finies ainsi: 
\[\la\bgar{ll}
u(0)=1 \\[0.3cm]
v(0)=-1 
\enar\right.
\text{ et, pour tout entier } n\geqslant 0,\ 
(S)\la\bgar{ll}
u(n+1)=\dfrac{4}{3}u(n)-\dfrac{5}{3}v(n) \\[0.3cm]
v(n+1)=\dfrac{5}{6}u(n)-\dfrac{7}{6}v(n) 
\enar\right.
\]
{\sl le but de l'exercice est de d�terminer les expressions de $u(n)$
  et $v(n)$ en fonction de $n$, et d'�tudier la convergence des suites
  $(u_n)$ et $(v_n)$. }

\bgen
\item Calculer les trois premiers termes de chaque suite. 
\item On notera respectivement $U(z)$ et $V(z)$ les transform�es en
  $z$ de $u(n)$ et $v(n)$. 

  Appliquer la transform�e en $z$ au syst�me $(S)$. 
\item R�soudre ce syst�me et montrer que 
  \[
  U(z)=\dfrac{z(6z+17)}{(2z-1)(3z+1)} 
  \quad\text{ et }\quad
  V(z)=\dfrac{z(13-6z)}{(2z-1)(3z+1)}\ .
  \]
\item D�composer en �l�ments simples $\dfrac{U(z)}{z}$ 
  et $\dfrac{V(z)}{z}$. 
\item D�terminer alors les expressions de $u(n)$ et de $(v(n)$ en
  ofnction de $n$. 

  Retrouver les r�sultats de la question 1. 
\item D�terminer la limite de chacune de ces suites quand $n$ tend
  vers $+\infty$. 
\enen
\enex

\section{Discr�tisation d'�quations diff�rentielle}

\ul{Rappel} Le taux d'accroissement d'une fonction en $t_0$ est 
$\tau(h)=\dfrac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h}$. 

A la limite $h\to0$, on obtient le nombre d�riv� de $f$ en $t_0$ (s'il
existe): 
$\dsp f'(t_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h}$.


On �chantillonne la fonction $f$ � la p�riode $T$, 
et on pose $y(n)=f(nT)$. 

On a alors, 
$f'(nT)\simeq \dfrac{f(nT+T)-f(nT)}{T}
=\dfrac{f((n+1)T)-f(nT)}{T}
=\dfrac{y(n+1)-y(n)}{T}$, 
l'approximation �tant d'autant meilleure que $T\to0$. 

\vspd
De la m�me fa�on, on peut approximer la d�riv�e seconde: 
\[
f''(nT)\simeq \dfrac{f'((n+1)T)-f'(nT)}{T}
\simeq \dfrac{y(n+2)-2y(n+1)+y(n)}{T^2}
\]

Ces m�thodes d'approximations, tr�s utilis�es de nos jours, sont aussi
connues sous le nom de m�thode des "diff�rences finies". 

\bgex
Soit l'�quation diff�rentielle 
$(E) \la\bgar{ll}
y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0 \\[0.3cm]
y(0)=0\ ;\ y'(0)=1
\enar\right.$

dans laquelle $y$ est une fonction causale. 

\bgen
\item R�soudre cette �quation, et montrer que 
  $y(t)=\lp e^{-t}-e^{-2t}\rp\mathcal{U}(t)$. 

\item 
  \bgen[a)] 
  \item On discr�tise cette �quation � la p�riode d'�chantillonnage
    $T$. On utilise alors les approximations des d�riv�es: 
    \[
    y'(nT)\simeq \dfrac{y(n+1)-y(n)}{T}
    \quad \text{ et }\quad 
    y''(nT)\simeq \dfrac{y(n+2)-2y(n+1)+y(n)}{T^2} \ .
    \]
    Montrer que l'on obtient la relation de r�currence: 
    \[
    y(n+2)+(3T-2)y(n+1)+(2T^2-3T+1)y(n)=0
    \]
    
    \item Montrer que les deux premi�res termes de la suite sont
      $y(0)=0$ et $y(1)=T$. 

    \item D�terminer l'expression de la transform�e en $z$, que l'on
      notera $Y(z)$ de $y(n)$. 

      Montrer que 
      $Y(z)=\dfrac{zT}{z^2+z(-2+3T)+(1-3T+2T^2)}$

    \item Montrer que les p�les (racines du d�dnominateur) de $Y(z)$
      sont $1-T$ et $1-2T$. 

      En d�duire l'expression de $Y(z)$: 
      \[
      Y(z)=z^{-1}\dfrac{(1-T)z}{z-(1-T)}+z^{-1}\dfrac{(2T-1)z}{z-(1-2T)}
      \]
      
    \item Montrer alors que l'originale $y(n)$ de $Y(z)$ est: 
      $y(n)=\lp (1-T)^n-(1-2T)^n\rp u(n)$.

      Compl�ter le tableau suivant en arrondissant les valeurs �
      $10^{-3}$ pr�s:  
      \[
      \begin{tabular}{|c|c|*4{p{1.5cm}|}}\hline
        \multicolumn{2}{|c|}{$t$} & 0 & $0,1$ & $0,5$ & $1$ \\\hline
        \multicolumn{2}{|c|}{\rule[-0.5cm]{0cm}{1.3cm}$y(t)$} & &&& \\\hline
        \raisebox{-0.4cm}[0cm]{$T=0,1$ }
        & \rule[-0.5cm]{0cm}{1.3cm}$n$ &&&& \\\cline{2-6}
                & \rule[-0.5cm]{0cm}{1.3cm}$y(n)$ &&&& \\\hline
        \raisebox{-0.4cm}[0cm]{$T=0,01$ }
        & \rule[-0.5cm]{0cm}{1.3cm}$n$ &&&& \\\cline{2-6}
                & \rule[-0.5cm]{0cm}{1.3cm}$y(n)$ &&&& \\\hline
      \end{tabular}
      \]

    \enen
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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