Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Probabilit�s},
pdftitle={Variables al�atoires continues},
pdfkeywords={Probabilit�s, Variables al�atoires continues,
loi de probabilit�, loi continue, densit� de probabilit�,
fonction de r�parition, loi normale, gaussienne,
gauss, loi normale centr�e r�duite, loi exponentielle}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Variables al�atoires continues}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}
\title{\TITLE}
\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\LARGE{\bf \TITLE}}
\section{Variable al�atoire continue et loi de probabilit�}
Dans un ensemble de possibilit�s, ou univers,
$\Omega=\la e_1;e_2;\dots;e_n\ra$
une variable al�atoire (v.a.) $X$ prenant les valeurs
$x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$
est d�finie par la donn�e des
probabilit�s:
\[
p_1=\text{Prob}(X=x_1)\ ;\quad
p_2=\text{Prob}\lp X=x_2\rp;\dots\ ;\quad
p_n=\text{Prob}(X=x_n)\ ,
\]
qui v�rifient les relations:
\[
\text{pour tout entier } i \text{ tel que }1\leqslant i\leqslant n\ ,\
0\leqslant p_i\leqslant 1
\quad\text{et }\quad
\sum_{i=1}^n p_i=1
\]
\bgmp{10cm}
La correspondance $\la x_i;p_i\ra$ est la
{\sl loi de probabilit�} de $X$, que l'on pr�sente g�n�ralement dans
un tableau:
\enmp\hfill
\begin{tabular}{*6{|c}|}\hline
$x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$& \dots & $x_n$ \\\hline
$\text{Prob}(X=x_i)$ & $p_1$ & $p_2$ & $p_3$ & \dots & $p_n$ \\\hline
\end{tabular}
\vspd
Si les valeurs possibles de $X$ sont r�parties de fa�on continue sur
un intervalle fini ou infini, $X$ est appel�e variable al�atoire
continue.
Une telle variable est d�finie lorsque l'on conna�t la probabilit�
pour que $X$ prenne une valeur dans tout intervalle du type $[a;b]$.
On se donne pour cela la fonction dite de {\sl r�partition} de $X$:
$F(x)=\text{Prob}(X<x)$,
qui permet de calculer pour tout intervalle:
\[\text{Prob}(a<X<b)=\text{Prob}(X<b)-\text{Prob}(X<a)
=F(b)-F(a)
\]
Si la fonction de r�partition $F$ est continue, cas que nous allons
particuli�rement �tudier dans toute la suite,
alors $F$ peut s'�crire sous la forme
\[
F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt \ .
\]
La fonction $f$ s'appelle alors la densit� de probabilit� de $X$, et
se doit de v�rifier:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt=1
\]
\bgdef{
Une variable al�atoire continue r�elle est une v.a.r qui peut
prendre une infinit� de valeurs et non plus
un nombre fini de valeurs comme les v.a.r discr�tes.
}
\vspt
\ul{Exemple:}
Une v.a.r continue peut repr�senter par exemple le tirage al�atoire
d'un nombre r�el dans l'intervalle $[0;1]$, ou encore la dur�e de vie
d'une machine ou d'un composant.
\section{Fonction de r�partition}
\bgdef{
Soit $X$ une variable al�atoire r�elle. On appelle fonction de
r�partition de $X$, la fonction num�rique $F$ d�finie sur
$\mathbb{R}$ par $F(t)=P(X \leq t)$
}
\vspd\noindent
\ul{Remarque:} On s'int�resse � cette fonction de r�partition car pour
une v.a.r continue, $P(X=t)$ est nulle (voir plus bas).
\bgprop{\vspace{-0.4cm}
\bgen[a)]
\item $F$ est une fonction croissante
\item $P(X>t)=1-P(X\leqslant t)=1-F(t)$
\item $P(a<t \leq b)=F(b)-F(a) $
\item $\lim\limits_{t \to -\infty} F(t)=0$
et $\lim\limits_{t \to +\infty} F(t)=1$
\enen
}
\vspq\noindent
\ul{Remarque:}
La notion de fonction de r�partition existe aussi pour les v.a.r
discr�tes, c'est alors une fonction en escalier.
\section{Densit� de probabilit�}
\bgdef{
Une v.a.r continue $X$ est d�finie par une fonction $f$, appel�e
densit� de probabilit� de la v.a.r continue $X$, fonction qui est
telle que:
$f$ est d�finie et positive sur $\R$
(pour tout r�el $x$, $f(x)\geqslant 0$), \ et \ \
$\dsp \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt=1$.
}
\bgprop{Soit $P$ une probabilit� de densit� $f$, alors \ \
$\dsp P(X \leqslant t)=\int_{-\infty}^{t} f(t) dt$\,.
}
\bgprop{\vspace{-0.7cm}
\bgen[a)]
\item $\dsp P(a<X\leq b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx$
\item Pour tout $t$ r�el,
$\dsp P(X=t)=P(t\leqslant X\leqslant t)
=\int_t^t f(x)\,dx=0$,
\vspd
et donc,
$P(a<X \leq b)=P(a \leq X <b)=P(a \leq X \leq b)=P(a < X < b)$
\enen
}
\bgex
Soit la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par
$f(x)=\la\bgar{ll}
xe^{-x^2/2}\quad\text{si}\ x\geqslant 0 \\
0\quad\text{sinon}
\enar\right.$.
V�rifier que la fonction $f$ d�finit une densit� de probabilit�.
\enex
\bgex
Soit $\lbd=\dfrac{1}{10}$ et $f$ la fonction d�finie par
$f(x)=\lbd e^{-\lbd x}$ pour $x \geq 0$ et $f (x)=0$
si $x<0$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que $f$ est une densit� de probabilit�. C'est la densit�
de la \flqq loi exponentielle\frqq~de param�tre
$\lbd=\dfrac{1}{10}$.
\item Tracer la courbe repr�sentative de la fonction $f$.
\item Une standardiste vient de prendre son travail et attend son
premier appel. Nous admettrons que le temps d'attente, exprim� en
secondes, du premier appel suit une loi exponentielle de param�tre
$\dfrac{1}{10}$. Donner la probabilit� que la standardiste attende
moins de 10 secondes, plus de 30 secondes et entre 20 et 30
secondes.
\end{enumerate}
\enex
\section{Esp�rance math�matique et Variance}
\bgprop{
Dans le cas d'une variable al�atoire continue, si les int�grales
g�n�ralis�es existent alors:
\[
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} tf(t)\,dt
\qquad
V(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(E(X)-t)^2f(t)\,dt
\qquad
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}
\]
}
\bgex
En reprenant l'exemple pr�c�dent, calculer l'esp�rance de la v.a.r continue.
\enex
\section{Loi normale}
\subsection{D�finition}
\bgdef{
Une v.a.r continue $X$ suit une loi normale de param�tres $m$ et
$\sigma$ ($\sigma >0$) si sa densit� de probabilit� est la fonction
$f$ d�finie sur $\mathbb{R}$ par :\\
\[
f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi }}\,e^{-\dfrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}
\]
La loi de probabilit� est not�e $\mathcal{N}(m;\sigma)$.
}
\bgex
�tude de la fonction $f$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Comparer $f(m+x)$ et $f(m-x)$. En d�duire une caract�ristique de
la courbe repr�sentative.
\item Donner le tableau de variations de $f$
\item Donner dans un m�me rep�re une repr�sentation graphique de $f$
pour les couples $(m;\sigma)$ suivants
\[(-2.5;0.5)\ ;\quad (0;0.5)\ ;\quad (2;0.5)\ .\]
\item Donner dans un m�me rep�re une repr�sentation graphique de $f$
pour les couples $(m;\sigma)$ suivants
\[(0;0.5)\ ;\quad (0;1)\ ;\quad(0;2)\ ;\quad (0;3) \ .\]
\end{enumerate}
\enex
\subsection{Esp�rance math�matique et �cart type}
\bgprop{
Si $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(m;\sigma)$ alors
\[
E(X)=m \qquad \sigma(X)=\sigma \qquad V(X)=\sigma^2
\]
}
%\hspace{-1cm}
\bgmp[b]{9cm}
\bgit
\item[$\bullet$] $\sim 68\%$ des valeurs sont dans
$[m-\sigma\,;\,m+\sigma]$
\vspd
\item[$\bullet$] $\sim 95\%$ des valeurs sont dans
$[m-2\sigma\,;\,m+2\sigma]$
\vspd
\item[$\bullet$] $\sim 99,7\%$ des valeurs sont dans
$[m-3\sigma\,;\,m+3\sigma]$
\enit
\enmp
\bgmp[m]{10cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=10cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.1)(5,0.5)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!40]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-1}{1}
\psline(1,0)(-1,0)
}
\rput(1,-0.04){$\sigma$}\psline(1,-0.01)(1,0.01)
\rput(2,-0.04){$2\sigma$}\psline(2,-0.01)(2,0.01)
\rput(3,-0.04){$3\sigma$}\psline(3,-0.01)(3,0.01)
\rput(-1,-0.04){$-\sigma$}\psline(-1,-0.01)(-1,0.01)
\rput(-2,-0.04){$-2\sigma$}\psline(-2,-0.01)(-2,0.01)
\rput(-3,-0.04){$-3\sigma$}\psline(-3,-0.01)(-3,0.01)
%\uput{0}[0]{90}(0.5,0.2){$P(0<X<\sigma)\simeq 34,1\%$}
\rput(0.5,0.15){$34,1\%$}\rput(-0.5,0.15){$34,1\%$}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-2}{-1}
\psline(-1,0)(-2,0)
}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{2}{1}
\psline(1,0)(2,0)
}
\rput(-1.45,0.04){$14\%$}\rput(1.45,0.04){$14\%$}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!20]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-3}{-2}
\psline(-2,0)(-3,0)
}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!20]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{3}{2}
\psline(2,0)(3,0)
}
\rput(-2.22,0.012){\scriptsize$2\%$}\rput(2.22,0.012){\scriptsize$2\%$}
\rput(-3.8,0.011){\scriptsize$0,1\%$}\rput(3.8,0.011){\scriptsize$0,1\%$}
\psaxes[Dx=10,Dy=10.5,dy=10.5](0,0)(-5,0)(5,0.45)
\rput(0,-0.04){$m$}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-5}{5}
\end{pspicture}
\enmp
\subsection{Loi normale centr�e r�duite}
\bgdef{On appelle loi normale centr�e r�duite la loi normale
$\mathcal{N}(0;1)$ .
}
\bgex
Donner la fonction de densit� d'une v.a.r continue qui
suit une loi normale centr�e r�duite.
\enex
%\bgprop{
% $X$ v.a.r continue qui suit une loi normale centr�e r�duite.
% \[
% \Pi(-t)=P(X\leq -t)=1-P(X \leq t)=1-\Pi(t)
% \]
%}
\vspt
La fonction de r�partition de la loi normale r�duite se note
g�n�ralement $\Pi$.
Ses valeurs peuvent se lire dans une table ou sur une calculatrice.
La table ne donne que les valeurs de $P(X\leqslant x)=\Pi(x)$ pour
$x$ positif.
Pour les autres calculs de probabilit�, on proc�de comme ci-dessus,
pour \ul{\ul{$a>0$ et $b>0$}}.
\psset{xunit=1.3cm,yunit=8cm}
\begin{pspicture}(-6,-0.1)(5,0.6)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-5}{0.7}
\psline(0.7,0)(-5.2,0)
}
\psaxes[Dx=1,Dy=0.5,dy=0.5](0,0)(-5,0)(5,0.55)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-5}{5}
\rput(0.7,-0.03){$a$}
\rput(-0.3,0.1){$P(X\leqslant a)$}
\rput(3,0.25){\ul{$P(X\leqslant a)=\Pi(a)$}}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-6,-0.1)(5,0.6)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{0.7}{5}
\psline(5,0)(0.7,0)
}
\psaxes[Dx=1,Dy=0.5,dy=0.5](0,0)(-5,0)(5,0.55)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-5}{5}
\rput(0.7,-0.03){$a$}
\rput(1.35,0.05){$P(X> a)$}
\rput(3,0.25){\ul{$P(X> a)=1-\Pi(a)$}}
\end{pspicture}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=8cm}
\begin{pspicture}(-6,-0.1)(5,0.6)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-5}{-0.7}
\psline(-0.7,0)(-5.2,0)
}
\psaxes[Dx=1,Dy=0.5,dy=0.5](0,0)(-5,0)(5,0.55)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-5}{5}
\rput(-0.7,-0.03){$-a$}
\rput(-1.3,0.08){$P(X\leqslant -a)$}
\rput(4,0.25){\ul{$P(X\leqslant -a)=\Pi(-a)=1-\Pi(a)$}}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-6,-0.1)(5,0.6)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{0.7}{1.8}
\psline(1.8,0)(0.7,0)
}
\psaxes[Dx=1,Dy=0.5,dy=0.5](0,0)(-5,0)(5,0.55)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-5}{5}
\rput(0.7,-0.03){$a$}
\rput(1.8,-0.03){$b$}
\rput(1.35,0.1){$P(a<X\leqslant b)$}
\rput(3.2,0.3){\ul{$P(a<X\leqslant b)=\Pi(b)-\Pi(a)$}}
\end{pspicture}
\bgex Exprimer, en utilisant la fonction de r�partition $\Pi$ de la
loi normale, la probabilit�
$P(-a<X\leqslant a)$.
\begin{pspicture}(-6,-0.1)(5,0.5)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-0.7}{0.7}
\psline(0.7,0)(-0.7,0)
}
\psaxes[Dx=1,Dy=0.5,dy=0.5](0,0)(-5,0)(5,0.55)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-5}{5}
\rput(0.7,-0.03){$a$}
\rput(1.8,-0.03){$b$}
\rput(-0.1,0.1){$P(-a<X\leqslant a)$}
\rput(3.2,0.3){\ul{$P(a<X\leqslant b)=\ \cdots$}}
\end{pspicture}
\enex
\bgex
$X$ est une v.a. suivant la loi normale centr�e r�duite
$\mathcal{N}(0;1)$.
D�terminer les probabilit�s:
\vsp\noindent
a)\ $P(X<1,71)$
\hspace{1cm}
b)\ $P(X\leqslant -0,9)$
\hspace{1cm}
c)\ $P(0,61< X\leqslant 1,2)$
\hspace{1cm}
d)\ $P(-1\leqslant X< 1)$
\enex
\bgth{
Si la variable al�atoire X suit une loi normale
$\mathcal{N}(m;\sigma)$, alors la variable al�atoire
\[T=\dfrac{X-m}{\sigma}\] suit la loi normale centr�e r�duite
$\mathcal{N}(0;1)$.
}
\vspd
\bgex
$X$ est une v.a. dont la loi de probabilit� est la loi normale
$\mathcal{N}(15;2)$.
En utilisant la v.a.\ \ $T=\dfrac{X-15}{2}$ et la table de la loi normale
centr�e r�duite $\mathcal{N}(0;1)$, calculer:
\vspt\noindent
a) $P(X<16)$
\hspace{1.5cm}
b) $P(X>17)$
\hspace{1.5cm}
c) $P(X\geqslant 14)$
d) $P(10<X<20)$
\hspace{1.cm}
\vspt\noindent
e) $P(-10<X\leqslant 20)$
\hspace{1.cm}
f) $P(13\leqslant X\leqslant 17)$
\hspace{1.cm}
g) $P(-25\leqslant X\leqslant -20)$
\enex
\vspd
\bgex Une machine produit des objets de masse $m$ en grammes.
Soit $X$ la variable al�atoire prenant pour valeur la masse des objets
produits, $X$ suit une loi normale de moyenne 250 et d'�cart
type 2.
Calculer les probabilit�s qu'un objet p�se:
\vsp
a) moins de 251 g
\hspace{1.5cm}
b) plus de 252 g
\hspace{1.5cm}
c) entre 246 et 254 g
\enex
\bgex
Une machine fabrique des condensateurs de capacit� 5$\mu$F en tr�s
grande s�rie.
La variable al�atoire $X$ mesurant leur capacit� suit la loi normale
de moyenne $m=4,96$$\mu$F et d'�cart type $\sigma=0,05\mu$F.
On consid�re qu'un condensateur est acceptable si sa capacit� est
comprise entre $4,85\mu$F et $5,15\mu$F.
\bgen
\item Calculer la probabilit� pour qu'un condensateur soit
acceptable.
\item La machine est bien r�gl�e si 99\% de sa production est
acceptable.
La machine est-elle bien r�gl�e ?
\enen
\enex
\bgex
Une machine fabrique des pi�ces circulaires en s�rie.
A chaque pi�ce tir�e au hasard, on associe son diam�tre $x$ exprim� en
millim�tre.
On d�finit ainsi une variable al�atoire $X$.
On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=32$ et d'�cart
type $\sigma=1$ (en mm).
Pour �tre utilisable, une pi�ce doit satisfaire � la norme suivante:
$31\leqslant x\leqslant 33$.
\bgen
\item Quelle est la probabilit� $p$ qu'une pi�ce soit utilisable ?
\item Le co�t de fabrication d'une pi�ce est not� $f$.
Dans un lot de 100 pi�ces fabriqu�es, le co�t de fabrication est
donc de $100f$, tandis que le nombre de pi�ces utilisables est
seulement de $100p$.
Ainsi, le prix moyen de fabrication est:
$M=\dfrac{100f}{100p}=\dfrac{f}{p}$.
\bgen[a.]
\item Calculer le prix moyen de fabrication avec la machine
pr�c�dente si $f=10,80$\euro.
\vspt
Pour diminuer le pourcentage de pi�ces d�fectueuses, on pourrait
utiliser une machine plus moderne:
son �cart type serait de 0,5 mm,
et $X$ suivrait alors la loi normale $\mathcal{N}(32;0,5)$,
mais le co�t de fabrication serait alors de $f_2=12$\euro\, avec
cette nouvelle machine.
\item Calculer pour cette nouvelle machine la probabilit� $p_2$
qu'une pi�ce soit utilisable.
\item D�terminer le prix de revient moyen $M_2$ pour cette nouvelle
machine.
Commenter.
\enen
\enen
\enex
\bgex
Une entreprise dispose d'un parc de 25 machines du m�me type,
fonctionnant ind�pendamment les unes des autres.
Au cours d'une journ�e une machine peut-�tre en panne ou fonctionner
correctement, la probabilit� qu'elle tombe en panne �tant de 0,035.
\bgen
\item Soit $X$ la variable al�atoire prenant pour valeur le nombre de
machines tomb�es en panne un jour donn� parmi les 25 utilis�es.
On admettra que cette variable al�atoire suit une loi binomiale de
param�tres $n=25$ et $p=0,035$.
\bgen[a.]
\item Donner l'esp�rance math�matique et la variance de $X$.
\item D�terminer � $10^{-3}$ pr�s les probabilit�s des �v�nements
suivants:
$\bullet$ aucune machine ne tombe en panne un jour donn�e;
$\bullet$ au moins 2 machines tombent en panne un jour donn�.
\enen
\item Si une machine tombe en panne au cours d'une journ�e, on fait
appel au service de d�pannage qui effectue la r�paration pour que
la machine soit en service le lendemain.
Soit $Y$ la variable al�atoire prenant pour valeur le temps de
r�paration en heures.
On admet que $Y$ suit la loi normale de moyenne 3 heures et
d'�cart type 1,5 heures.
D�terminer les probabilit�s des �v�nements suivants:
$\bullet$ la r�paration d'une machine d�passe 6 heures;
$\bullet$ la r�paration d'une machine dure moins de 1,5 heures.
\enen
\enex
\bgex {\it D'apr�s BTS}
Une entreprise fabrique des brioches en grande quantit�.
On p�se les boules de p�te avant cuisson.
On note $X$ la variable al�atoire qui, � chaque boule de p�te, associe
sa masse.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 700 g et d'�cart type
20 g.
\bgen
\item Seules les boules dont la masse est comprise entre 666 g et 732
g sont accept�es � la cuisson.
Quelle est la probabilit� qu'une boule, prise au hasard dans la
production, soit accept�e � la cuisson ?
\item D�terminer le r�el positif $h$ afin que l'on
ait:
$P(700-h\leqslant X\leqslant 700+h)\geqslant 0,95$.
\item On admet que 8\% des boules sont refus�es � la cuisson.
On pr�l�ve au hasard, successivement et avec remise, $n$ boules dans
la production.
On note $Y_n$ la variable al�atoire qui, � chaque pr�l�vement de $n$
boules, associe le nombre de boules qui seront refus�es � la
cuisson.
Cette variable al�atoire $Y_n$ suit une loi binomiale.
\bgen[a.]
\item Dans le cas $n=10$, calculer la probabilit� d'avoir, parmi les
10 boules pr�lev�es, exactement 3 boules refus�es � la cuisson.
\item Dans le cas $n=50$, on admet que l'on peut approcher la loi de
probabilit� de la variable al�atoire $Y_{50}$ par une loi de
Poisson.
Pr�ciser le param�tre de cette loi de Poisson.
Calculer alors la probabilit� d'avoir, parmi les 50 boules
pr�lev�es, exactement 4 boules refus�es � la cuisson, puis la
probabilit� d'avoir au moins 45 boules accept�es � la cuisson.
\enen
\enen
\enex
\clearpage
\section{Approximation d'une loi binomiale par une loi Normale}
\vspace{-0.4cm}
\bgth{
Pour $n$ suffisamment grand, on peut remplacer la probabilit�s
associ�es � la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ par celles de la loi
normale $\mathcal{N}(m;\sigma)$ avec $m=np$ et $\sigma=\sqrt{npq}$
}
\vspq
En pratique, on approche les probabilit�s de la loi binomiale par
celles de la loi normale lorsque
\ct{\fbox{$n\geqslant 50$,\quad $np\geqslant 5$\quad et\quad $nq\geqslant 5$}}.
\bgmp[t]{8cm}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=18cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-4,-0.03)(25,0.34)
\rput(12,0.22){$\mathcal{B}(10;0,6)$}
\rput(12,0.19){et}
\rput(12,0.16){$\mathcal{N}(6;1,549)$}
\psaxes[Dx=4,Dy=0.05,dy=0.05\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(15,0.33)
\psBinomial[linewidth=1.2pt]{10}{0.6}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=6,sigma=1.549]{-2}{14}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[t]{8cm}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=20cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-7,-0.03)(25,0.15)
\rput(16,0.13){$\mathcal{B}(30;0,2)$}
\rput(16,0.1){et}
\rput(16,0.07){$\mathcal{N}(6;2,19)$}
\psaxes[Dx=4,Dy=0.05,dy=0.05\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(24,0.25)
\psBinomial[linewidth=1.2pt]{30}{0.2}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=6,sigma=2.19]{-2}{20}
\end{pspicture}
\enmp
\psset{xunit=0.3cm,yunit=40cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-5.2,-0.02)(52,0.16)
\rput(10,0.1){$\mathcal{B}(50;0,5)$ et $\mathcal{N}(25;3,54)$}
\psaxes[Dx=4,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(52,0.15)
\psBinomial[linewidth=1.2pt]{50}{0.5}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=25,sigma=3.54]{-2}{42}
\end{pspicture}
\psset{xunit=0.15cm,yunit=80cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-10.1,-0.01)(105,0.092)
\rput(25,0.06){$\mathcal{B}(100;0,5)$ et $\mathcal{N}(50;5)$}
\psaxes[Dx=10,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(105,0.09)
\psBinomial[linewidth=1.2pt]{100}{0.5}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=50,sigma=5]{-2}{100}
\end{pspicture}
Pour corriger le fait de remplacer une loi discr�te par une loi
continue, on fait "une correction de continuit�" en rempla�ant une
valeur $k$ de la loi discr�te par l'intervalle
$[k-0,5\,;\,k+0,5]$ de la loi continue.
\vsp
Par exemple, pour calculer $P(X\leqslant a)$, o� $X$ suit une loi
binomiale, on pourra utiliser la valeur approch�e
$P(X<a+0,5)$ donn�e par la loi normale.
\vspd
\bgex
Avec la loi $\mathcal{B}(50;0,5)$, $P(X\leqslant 20)\simeq 0,1013$.
Avec la loi $\dsp\mathcal{N}\lp25;\sqrt{\frac{25}{2}}\rp$,
$P(X\leqslant 20)= \ \cdots$
et, avec la correction de continuit�
$P(X\leqslant 20,5)=\ \cdots$
\enex
\newlength{\llexemple}
\settowidth{\llexemple}{{\bf\ul{Exemple:}}}
\vspq\noindent
{\bf\ul{Exemple:}}
\bgmp[t]{\linewidth-\llexemple}
On estime que la probabilit� pour qu'une graine ait perdu son pouvoir
germinatif apr�s 3 ans de conservation est de 70\%.
Sur un �chantillon de 100 graines conserv�es depuis 3~ans, quelle est
la probabilit� pour que moins de 25 germent ?
\enmp
\vspd
La probabilit� pour qu'une graine germe est $p=0,3$.
On suppose que l'�chantillon est pr�lev� al�atoirement, et en
particulier que le pouvoir germinatif de chaque graine est ind�pendant
des autres graines.
On note $X$ la v.a. �gale au nombre de graines qui germent parmi les
100.
\vsp
$X$ suit alors une loi binomiale $\mathcal{B}(100;0,3)$,
et la probabilit� recherch�e est:
\[\bgar{ll}
P(X<25)&=P(X\leqslant 24)
=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+\dots+P(X=23)+P(X=24)\\
&\dsp=\sum_{k=0}^k P(X=k)
\quad\text{avec } P(X=k)=C_{100}^k p^k(1-p)^{100-k}
\enar\]
Le calcul exact est facile � effectuer mais (tr�s) fastidieux.
On peut alors, soit utiliser un logiciel de calcul (ou le programmer
dans un langage quelconque),
qui nous donne $P(X\leqslant 24)\simeq0,114$,
soit en calculer une valeur approch�e en utilisant les valeurs
tabul�es de la loi normale.
On peut ici utiliser la loi normale car les param�tres $n=100$,
$np=30$ et $nq=n(1-p)=70$ sont assez grands.
On approxime alors les r�sultats � l'aide de la loi normale
$\mathcal{N}(m;\sigma)$, avec les param�tres:
\[m=np=30
\quad\text{et} \quad
\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{100\tm0,3\tm0,7}\simeq 4,5826\]
On remplace ainsi la v.a. discr�te
$X\sim\mathcal{B}(n;p)$ par la v.a. continue
$X_c\sim\mathcal{N}(m;\sigma)$.
Derni�re question: on cherche � calculer
$P(X<25)=P(X\leqslant 24)$.
Mais, pour la v.a. continue, les probabilit�s
$P(X_c<25)$ et $P(X_c\leqslant 24)$ sont diff�rentes.
La meilleur approximation sera obtenue en utilisant une correction de
continuit� et en prenant la valeur interm�diaire 24,5.
On calcule alors:
\[\bgar{ll}
P(X<25)=P(X\leqslant 24)&\simeq P(X_c\leqslant 24,5)\vspd\\
&=\Pi\lp\dfrac{24,5-30}{4,5826}\rp=\Pi(-1,20)
=1-\Pi(1,20)\simeq 1-0,8849
\simeq 0,115\ .
\enar
\]
\noindent
L'erreur relative commise lors de cette approximation est de \
$\dfrac{|0,114-0,115|}{0,114}\simeq 8.10^{-3}=0,8\%$.
\bgex {\it D'apr�s BTS}
Une ligne de transmission entre un �metteur et un r�cepteur transporte
des pages de texte, chaque page �tant repr�sent�e par 100\,000 bits.
La probabilit� pour qu'un bit soit erron� est estim� � 0,0001 et on
admet que les erreurs sont ind�pendantes les unes des autres.
\vspd\noindent
{\bf Partie A.} Soit $X$ la variable al�atoire donnant le nombre
d'erreurs lors de la transmission d'une page.
\bgen
\item Quelle est la loi de probabilit� suivie par $X$ ?
Calculer la moyenne et l'�cart type de $X$.
\item On admet que cette loi peut �tre approch�e par une loi normale
de param�tres $m=10$ et $\sigma=\sqrt{10}$.
Dans ces conditions, d�terminer la probabilit� pour qu'une page
comporte au plus 15 erreurs.
\enen
\vspd\noindent
{\bf Partie B.} Pour corriger les erreurs commises � la suite de la
transmission d'une page, on transmet cette page autant de fois qu'il
le faut jusqu'� l'obtention d'une page sans erreur.
Soit $Y$ la variable al�atoire �gale au nombre de transmissions (d'une
m�me page) n�cessaires pour obtenir une page sans erreur.
Soit $p=0,05$ la probabilit� de transmission d'une page sans erreur et
$q=1-p$ le probabilit� de transmission d'une page avec erreur.
On admet que $Y$ suit la loi de probabilit� $P$ d�finie par
$P(Y=n)=pq^{n-1}$; $n$ entier naturel non nul.
\bgen[a.]
\item Calculer $P(Y\leqslant 5)$.
\item Montrer que $P(Y\leqslant n)=1-q^n$.
\enen
\enex
\bgex {\it Surr�servation d'une compagnie a�rienne}
Une compagnie utilise des avions d'une capacit� de 320 passagers.
Une �tude statistique montre que 5 passagers sur 100 ayant r�serv� ne
se pr�sente pas � l'embarquement.
On consid�rera ainsi que la probabilit� qu'un passager ayant r�serv�
ne se pr�sente pas � l'embarquement est de 0,05.
\bgen
\item La compagnie accepte 327 r�servations sur un vol.
Soit $X$ la variable al�atoire indiquant le nombre de passagers se
pr�sentant � l'embarquement.
\bgen[a.]
\item Quelle est la loi suivie par $X$ ?
\item Par quelle loi normale peut-on approcher la loi de $X$ ?
Les param�tres de la loi seront d�termin�s � $10^{-2}$ pr�s.
\item En utilisant l'approximation par la loi normale,
calculer $P(X\leqslant 320,5)$.
Penser vous que le risque pris par la compagnie en acceptant 327
r�servations soit important ?
\enen
\item Serait-il raisonnable pour la compagnie d'accepter sur ce m�me
vol 330 r�servations ? 335 r�servations ?
\enen
\enex
\bgex
Dans une fabrication automatique d'un grand nombre de pi�ces,
on consid�re que la proportion de pi�ces d�fectueuses est constante.
Une �tude statistique permet de consid�rer qu'une pi�ce prise au
hasard dans la production a une probabilit� de $6.10^{-4}$ d'�tre
d�fectueuse.
\bgen
\item Les pi�ces sont livr�es par bo�te de 30.
On assimile le pr�l�vement de 30 pi�ces � 30 tirages avec remise.
On appelle $X$ la variable al�atoire qui associe � toute bo�te le
nombre pi�ces d�fectueuses contenues dans cette bo�te.
\bgen[a.]
\item Donner la loi de probabilit� de $X$.
\item Donner � $10^{-4}$ pr�s les probabilit�s
$P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X=2)$, $P(X=3)$.
\item Une bo�te �tant prise au hasard, quelle est la probabilit� que
cette bo�te contienne au moins 29 pi�ces d�fectueuses ?
\enen
\item On consid�re une livraison de 1\,000 bo�tes.
On admet que la probabilit� d'avoir une bo�te parfaite (sans pi�ce
d�fectueuse) est de 0,982.
On assimile cette livraison de 1\,000 bo�tes � 1\,000 tirages avec
remise.
On d�signe par $Y$ la variable al�atoire qui associe � toute
livraison de 1\,000 bo�tes le nombre de bo�tes parfaites.
\bgen[a.]
\item Donner la loi de probabilit� de $Y$.
Pr�ciser son esp�rance math�matique et son �cart type.
\item On admet que la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ peut �tre
approch�e par la loi normale de moyenne $np$ et d'�cart type
$\sqrt{np(1-p)}$ lorsque $n\geqslant 50$, $np>5$ et $n(1-p)>5$.
Montrer que ces conditions sont v�rifi�es.
\vsp
Quelle est la probabilit� d'avoir au moins 975 bo�tes parfaites ?
\enen
\enen
\enex
\bgex {\it D'apr�s BTS}
Les parties A et B sont ind�pendantes.
\vsp\noindent
{\bf Partie A.} Une collectivit� utilise des machines de type $M$.
On a observ� que, au cours d'un mois de service, une machine de ce
type:
\bgit
\item soit ne tombe pas en panne;
\item soit tombe en panne une et une seule fois avec la probabilit�
$p=0,04$.
\enit
On note $X$ la variable al�atoire prenant pour valeur le nombre de
machines de type $M$ qui tombent en panne au cours d'un mois de
service.
\bgen
\item Soit $N$ le nombre de machines de type $M$ utilis�es par la
collectivit�.
Quelle est la loi de probabilit� de la variable al�atoire $X$ ?
Donner l'expression de $P(X=k)$ en fonction de $N$ et $k$
($k$ entier naturel, $0\leqslant k\leqslant N$).
Calculer l'esp�rance et la variance de $X$.
\item On suppose, dans cette question, que $N=100$ et que la loi de
probabilit� de $X$ peut �tre approch�e par une loi de Poisson dont
on d�terminera le param�tre $\lbd$.
Calculer, dans ces conditions, la probabilit� que, au cours d'un
mois de service, au moins cinq machines tombent en panne.
\enen
\vspd\noindent
{\bf Partie B.} Soit $Y$ la variable al�atoire mesurant la dur�e de
vie, en nombre d'ann�es, d'une machine de type $M$.
On suppose que $Y$ suit une loi normale de moyenne $m=12$ et d'�cart
type $\sigma=1,5$.
\bgen
\item Calculer la probabilit� $p'$ qu'une machine ait une dur�e de vie
d'au moins 14 ans.
\item Dans cette question, on prend $p'=0,09$
(on rappelle que $p'$ est la probabilit� qu'une machine ait une
dur�e de vie d'au moins 14 ans).
Une collectivit� utilise 1\,000 machines de type $M$.
Quelle est la probabilit� qu'il y ait au moins 100 de ces machines
dont la dur�e de vie soit sup�rieure � 14 ans ?
(On admet que la loi de probabilit� de la variable al�atoire $Z$,
prenant pour valeur le nombre de machines dont la dur�e de vie est
sup�rieure � 14 ans, peut �tre approch�e par une loi normale dont on
d�terminera les param�tres).
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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