Source Latex: Cours de mathématiques en BTS


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Description
Cours de mathématiques en BTS: Probabilités, variables aléatoires discrètes et lois binomiale et de Poisson
Niveau
BTS
Table des matières
  • Variable aléatoire discrète et loi de probabilité
  • Espérance mathématique et écart type
  • Loi binomiale
  • Loi de Poisson
  • Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
  • Exercices
Mots clé
probabilités continues, variable aléatoire continue, espérance, variance, écart type, loi normale, Cours de mathématiques
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Probabilit�s},
    pdftitle={Variables al�atoires discr�tes},
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      loi de probabilit�, sch�ma de Bernoulli, loi binomiale, loi de
      Poisson } 
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
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\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Variables al�atoires discr�tes}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}
\title{\TITLE}

\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\ct{\LARGE{\bf \TITLE}}

\section{Variable al�atoire et loi de probabilit�}

\bgdef{
  Soit une exp�rience al�atoire et soit $\Omega$ l'univers et $P$ une
  probabilit� sur cet univers.\\ 
  On appelle variable al�atoire r�elle (v.a.r) d�finie sur $\Omega$
  toute fonction $X$ de $\Omega$ sur $\mathbb{R}$ 
}

\vspq\noindent
\ul{Remarque:} La terminologie est des plus malheureuses! \vspd
\bgit
\item une \ul{variable} al�atoire \ul{n'est pas une variable}, 
  mais une fonction 
  \vspd
\item une variable \ul{al�atoire} \ul{n'est pas al�atoire}, mais
  compl�tement d�termin�e. 
\enit


\bgdef{
  La loi de probabilit� de la v.a.r $X$ est la fonction qui, � chaque
  valeur $x_i$ prise par $X$, associe la probabilit� de l'�v�nement
  ($X=x_i$), �v�nement compos� de tous les ant�c�dents de $x_i$ par
  $X$. 
}


\bgex
Marouane et Fernando jouent au jeu suivant: 
Fernando lance une pi�ce de monnaie "normale" et Marouane gagne 10
euros si le r�sultat est pile et perd
5 euros si le r�sultat est face. Soit X la variable al�atoire donnant le gain
alg�brique (gain ou perte) de Marouane apr�s le lancer.\\ 
Donner la loi de probabilit� de X. 
\enex


\section{Esp�rance math�matique et �cart-type} 

\bgdef{
  Soit X une variable al�atoire prenant n valeurs $x_i$ avec la
  probabilit� $p_i=p(X=x_i)$. 
  L'esp�rance math�matique de la variable al�atoire r�elle X est le
  nombre not� E(X) tel que: 
  \[
  E(X)=\sum_{i=1}^{n} p_i\times x_i=\sum_{i=1}^{n} p(X=x_i)\times x_i
  \]
  C'est une sorte de moyenne esp�r�e de la v.a.r.\\
  Lorsque $E(X)=0$, on dit que le jeu est �quitable.
}

\bgex
Calculer l'esp�rance math�matique de la variable al�atoire du jeu
pr�c�demment d�crit. 
\enex


\vspd
\bgex
Une urne contient six boules, trois noires et trois rouges. 
On tire au hasard deux boules simultan�ment et on note leur couleur. 

$X$ est la variable al�atoire associant � chaque tirage le nombre de
boules rouges obtenues. 

\vspd
\bgit
\item[1.] Montrer qu'il y a 15 tirages possibles. 
\item[2.] Etablir la loi de probabilit� de $X$ et calculer son
  esp�rance. 
\enit
\enex


\vspd
\bgex
Une machine � sous au casino se compose de 3 tambours cylindriques. 
Sur chacun d'eux peut appara�tre de fa�on al�atoire et �quiprobable
l'un des quatres symboles: un 7, un citron, un kiwi, ou une banane. 

\bgit
\item[1.] Quel est le nombre total de combinaisons que l'on peut
  obtenir ? 

  \vspd
  On mise au d�part 5 \euro: 
  \bgit
  \item si trois 7 apparaissent, on gagne vingt fois la mise de d�part;
  \item si trois fruits identiques apparaissent, on gagne dix fois la
    mise d�part; 
  \item si deux 7 seulement apparaissent, on gagne deux fois la mise
    de d�part; 
    \item dans tous les autres cas, on ne gagne rien.
  \enit

  \vspd
\item[2.] On dispose d'une somme de d�part de 200 \euro. 
  Combien peut-on esp�rer gagner ? 
\enit
\enex


\bgprop{
  Si on ajoute un m�me nombre � toutes les valeurs prises par X, la
  moyenne esp�r�e sera augment�e de ce nombre.\\ 
  Si on multiplie par un m�me nombre toutes les valeurs prises par X,
  la moyenne esp�r�e sera multipli�e par ce nombre.\\ 
  En d'autres termes, pour $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$, 
  \quad $E(aX+b)=aE(X)+b$.
}

\bgdef{
  Soit X une variable al�atoire prenant n valeurs $x_i$ avec la
  probabilit� $p_i$. 
  La variance de la variable al�atoire r�elle X est le nombre not�
  V(X) tel que: 
  \[
  V(X)
  =E\Big( \big( X-E(X)\big)^2\Big)  
  =\sum^{n}_{i=1} (x_i-E(X))^2p_i
  \]
  Et l'�cart type de X est le nombre not� $\sigma(X)$ tel que:
  \[
  \sigma(X)=\sqrt{V(X)}
  \]
  Ce sont deux notions qui servent � appr�cier la dispersion des
  valeurs prises par la variable al�atoire.\\ 
  Dans un jeu cela mesure les "risques" (en gain ou en perte) pris par
  le joueur. 
}

\bgprop{\quad  $V(X)=E(X^2)-\lp E(X)\rp^2$. 
}

\bgex
La loi de probabilit� d'une variable al�atoire $X$ est donn�e par le
tableau:

\vsp\ct{
\begin{tabular}{|c|*6{p{1.4cm}|}}\hline
  $x_i$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\\hline
  $p(X=x_i)$ & $0,1$ & $0,2$ & $0,25$ & $0,05$ &  & $0,15$\\\hline
\end{tabular}
}

\vspd
1) Calculer $p(X>0)$

\vspd
2) Calculer l'esp�rance math�matique de $X$, sa variance et son �cart
type.  
\enex


\bgex
On consid�re les deux jeux suivants:
\begin{enumerate}[a)]
\item On lance une pi�ce et on gagne 1 euro si on obtient face et on
  perd 1 euro si on obtient pile. 
\item On lance une pi�ce et on gagne 1 000 000 euro si on obtient face
  et on perd 1 000 000 euro si on obtient pile. 
\end{enumerate}
Ces jeux sont-ils �quitables? Lequel des deux est le plus "risqu�"?
\enex


\bgprop{
  Soit $a \in \mathbb{R}$, alors 
  \quad  $V(aX+b)=a^2V(X)$, 
  et donc, 
  $\sigma(aX)=|a|\,\sigma(X)$. 
}

\section{Loi binomiale} 
\subsection{Sch�ma de Bernoulli et loi binomiale}

\bgdef{{\bf Loi de Bernoulli\footnotemark[1]} 

  Une �preuve de Bernoulli est une exp�rience al�toire qui ne comporte
  que deux issues, l'une appel�e succ�s et de probabilit� $p$, 
  l'autre appel�e �chec et de probabilit� $1-p$. 

  \bgmp{10.2cm}
  La loi de probabilit� est alors appel�e loi de Bernoulli de
  param�tre $p$. 
  \enmp\hspace{0.7cm}
  \bgmp{4cm}
  \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
    issue & succ�s & �chec \\\hline
    probabilit� & $p$ & $1-p$ \\\hline
  \end{tabular}
  \enmp
}

\vspd\noindent
\bgmp{12.4cm}
\ul{Exemple:} On lance un d� cubique �quilibr�. 
On appelle succ�s l'�v�nement: $S$ "un six est obtenu". 
Sa probabilit� est $p=\dfrac{1}{6}$. 

On obtient la loi de Bernouilli de param�tre 
$p=\dfrac{1}{6}$. 
\enmp\hspace{0.7cm}
\bgmp{4cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
  issue & succ�s & �chec \\\hline
  probabilit� & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{5}{6}$ 
  \rule[0.8cm]{0.cm}{0.cm}\\\hline
\end{tabular}
\enmp

\bgdef{{\bf Sch�ma de Bernouilli}

  Un sch�ma de Bernouilli est la r�p�tition d'�preuves de
  Bernoulli identiques et ind�pendantes 
  (c'est-�-dire que l'issue d'une �preuve ne d�pend pas des issues des
  �preuves pr�c�dentes).
}

\vspd
\footnotetext[1]{Jacques ou Jakob
  Bernoulli (27 d�cembre 1654, B�le - 16 ao�t 1705) est un
  math�maticien et physicien suisse, fr�re de Jean Bernoulli et oncle
  de Daniel Bernoulli et Nicolas Bernoulli.\\ 
  N� � B�le en 1654, il rencontre Robert Boyle et Robert Hooke lors
  d'un voyage en Angleterre en 1676. Apr�s cela, il se consacre � la
  physique et aux math�matiques. Il enseigne � l'universit� de B�le �
  partir de 1682, devenant professeur de math�matiques en 1687. Il
  m�rita par ses travaux et ses d�couvertes d'�tre nomm� associ� de
  l'Acad�mie des sciences de Paris (1699) et de celle de Berlin
  (1701).\\ 
  Sa correspondance avec Gottfried Leibniz le conduit � �tudier le
  calcul infinit�simal en collaboration avec son fr�re Jean. Il fut un
  des premiers � comprendre et � appliquer le calcul diff�rentiel et
  int�gral, propos� par Leibniz, d�couvrit les propri�t�s des nombres
  dits depuis nombres de Bernoulli et donna la solution de probl�mes
  regard�s jusque-l� comme insolubles.}. 

\bgex
On lance un d� cubique �quilibr� 3 fois de suite. 
On note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de fois que
l'�v�nement $S$: "obtenir un six" est r�alis�. 

\bgit
\item[1.] Dresser un arbre pond�r� et d�terminer la loi de probabilit�
  de $X$.  

\item[2.] M�mes questions si on lance cette fois 4 fois de suite le
  d�. 

\item[2.] M�mes questions si on lance cette fois 5 fois de suite le
  d�. 
\enit
\enex

\bgprop{{\bf Loi binomiale}

  On consid�re un sch�ma de Bernouilli constitu� de $n$ �preuves
  ind�pendantes, et on note $X$ la variable al�atoire qui, � chaque
  liste de $n$ r�sultats associe le nombre de succ�s. 

  \vspd
  Alors, pour tout entier $k$, avec $0\leqslant k\leqslant n$, 
  $\dsp P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$.

  \vspd
  La loi de probabilit� de la variable al�atoire $X$ est appel�e 
  {\bf loi binomiale de param�tres $n$ et $p$}, et est not�e 
  $\mathcal{B}(n;p)$.
}

\vspq\noindent
\bgproof{
  Chaque liste form�e de $n$ succ�s, et donc de $n-k$ �checs, a pour
  probabilit�: 
  $p^k(1-p)^{n-k}$. 

  \vspd
  Il y a $C_n^k$ telles listes, 
  le nombre de fa�ons diff�rentes de choisir la position 
  des $k$ succ�s. 
}

\vspq\noindent
\ul{Remarque:} 
La probabilit� d'obtenir un nombre quelconque de succ�s est: 

$\dsp\sum_{k=0}^n P(X=k)=P(X=0)+P(X=1)+\ldots+P(X=n)
=\sum_{k=0}^n C_n^k p^k(1-p)^{n-k} 
=(p+(1-p))^n=1
$
d'apr�s la formule du bin�me.

\bgprop{
  Si $X$ suit une loi binomiale de param�tres $n$ et $p$, 
  alors 
  
  \ct{$E(X)=np$ \ \ \ et\ \ \  $V(X)=npq=np(1-p)$.}
}

\vspd
\bgex
Un �l�ve r�pond au hasard aux 10 questions d'un QCM. 
Pour chaque question, 5 r�ponses sont propos�es dont une seule est
exacte. 
$X$ est la variable al�atoire �gale au nombre de bonnes r�ponses. 

\vspd
\bgen
\item Montrer que la loi de probabilit� de $X$ est une loi binomiale. 
\item Calculer la probabilit� d'avoir au moins 5 bonnes r�ponses. 
\item Calculer l'esp�rance math�matique du nombre de bonnes r�ponses. 
\enen
\enex

\clearpage
\bgex
Dans chacun des cas suivants, la variable al�atoire $X$ suit-elle une loi
binomiale ?
Donner le cas �ch�ant les valeurs des param�tres de la loi
binomiale associ�e.
\bgit
\item[1.] On lance 5 fois successivement un d� � jouer non truqu�, et on
  note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de 2 obtenus parmi
  ces lancers. 

\item[2.] On lance 5 fois successivement un d� � jouer non truqu�, et on
  note $X$ la variable al�atoire �gale au num�ro du premier lancer pour
  lequel on obtient le chiffre 6. 

\item[3.] On lance 10 fois successivement 2 d�s � jouer non pip�s, et on
  note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de fois o� une somme
  de 10 est obtenue en ajoutant les chiffres des 2 d�s. 

\item[4.] Une branche pr�sente 10 fleurs blanches ou roses r�parties au
  hasard. 
  On compte au total 2 fleurs blanches et 8 fleurs roses. 

  On cueille successivement et au hasard 3 fleurs, et on note $X$ la
  variable al�atoire �gale au nombre de fleurs blanches cueillies. 
\enit
\enex

\bgex 

Des �tudes statistiques montrent que lors d'une naissance, la
probabilit� d'avoir un gar�on est d'environ 0,51. 
On choisit au hasard une famille de quatre enfants o� les f�condations
sont suppos�es ind�pendantes et on s'int�resse au nombre de gar�ons. 

\vsp
\bgit
\item[1.] Justifier que cette situation peut-�tre mod�lis�e par une
  loi de binomiale. 
\item[2.] Calculer la probabilit� que cette famille compte au moins un
  gar�on. 
\enit
\enex

\bgex
Les deux questions sont ind�pendantes. 
Les r�sultats seront donn�s sous forme de fractions.  

\vsp
Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges et 2 boules
vertes, indiscernables au toucher. 

\vsp
\bgit
\item[1.] On tire simultan�ment et au hasard 3 boules de l'urne. 
  \bgit
  \item[a)] Calculer la probabilit� de chacun des �v�nements suivants: 
    
    $E_1$: "Les boules sont toutes de couleurs diff�rentes"; 

    $E_2$: "Les boules sont toutes de la m�me couleurs". 
    
  \item[b)] On appelle $X$ la variable al�atoire qui, � tout tirage de
    trois boules, associe le nombre de boules bleues tir�es. 

    Etablir la loi de probabilit� de $X$, et calculer son esp�rance
    math�matique.
  \enit
  \vspd
\item[2.] Soit $k$ un entier sup�rieur ou �gal � 2. 
  
  On proc�de cette fois de la fa�on suivante: on tire au hasard une
  boule de l'urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l'urne
  avant de proc�der au tirage suivant. 
  On effectue ainsi $k$ tirages successifs. 

  \vsp
  Quelle est la valeur minimale de $k$ pour que la probabilit� de ne
  tirer que des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que
  la probabilit� de ne tirer que des rouges ?
\enit
\enex

%\bgex
%Une urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires. On tire au
%hasard une boule, on note sa couleur et on la remet dans l'urne. On
%r�p�te 5 fois l'op�ration.\\ 
%Quelle est la probabilit� d'obtenir 2 boules blanches en 5 tirage?
%\enex
%
%\bgdef{
%  Soit $E$ une ensemble � $n$ �l�ments. On appelle combinaison de $p$
%  (avec $p \leq n$) �l�ments de $E$ tout sous-ensemble de $E$.\\ 
%  Ce sont des sous ensembles donc l'ordre n'a pas d'importance
%  $(\{a;b;c\}=\{a;c;b\})$ 
%}
%
%\bgprop{
%  Le nombre de combinaisons de $p$ �l�ments pris parmi n est not� $C^p_n$ et 
%  \[
%  C^p_n=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}
%  \] 
%}
%
%\bgex
%Soit une urne contenant 4 boules (V,R,B et J). On tire trois boules
%simultan�ment. 
%Quel est le nombre de tirages possibles? 
%\enex
%
%\subsection{D�finition}
%
%\bgdef{
%  Une variable al�atoire $X$ suit une loi binomiale de param�tre $n$
%  et $p$ ($n\in \mathbb{N}^*$ et $0 \leq p \leq 1$) lorsque pour tout
%  $k\in \{0;1;...;n\}$ 
%  \[
%  P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k} \qquad \textrm{avec~} q=1-p
%  \]
%  On note alors que la v.a.r suit la loi $\mathcal{B}(n;p)$
%}


\subsection{Loi binomiale: domaine d'application}

Soit A un �v�nement li� � une �preuve al�atoire ne donnant que deux
r�sultats possibles: 
\begin{itemize}
    \item[$\bullet$] succ�s de probabilit� p
    \item [$\bullet$] �chec de probabilit� 1-p
\end{itemize}

On a alors un sch�ma de Bernoulli. 
Si on r�alise n fois cette �preuve de mani�re ind�pendante alors la
v.a.r $X$ donnant le nombre de succ�s suit la loi binomiale
$\mathcal{B}(n;p)$. 

\vspt\noindent
\ul{Remarque:} 
Lorsque les tirages sont avec remise, les tirages sont ind�pendants,
mais lorsqu'il n'y a pas remise, les tirages sont d�pendants.\\ 
Cependant, lorsque la population de base est tr�s grande, les
r�sultats sont quasiment les m�mes que l'on consid�re les tirages avec
remise ou sans.\\ 
On consid�re alors que la loi binomiale s'applique. 



%\subsection{Variable al�atoire de Bernoulli}
%
%\bgdef{
%  Une v.a.r qui suit la loi $\mathcal{B}(1;p)$ est aussi appel�e
%  variable de Bernoulli.  
%}
%
%\bgex
%Calculer esp�rance et la variance d'une variable de Bernoulli.
%\enex
%
%\bgprop{
%  Une variable al�atoire qui suit une loi binomiale peut-�tre
%  consid�r�e comme la somme de n variables de Bernoulli ind�pendantes
%  de m�me loi. 
%}
%
%\bgex
%Une urne contient 12 boules: 7 vertes et 5 rouges.
%On effectue 5 tirages avec remise.\\
%Soit $X$ v.a.r repr�sentant le nombre de boules rouges obtenues.\\
%Soit $X_i$ v.a.r valant 1 si le i$^{\mbox{�me}}$ tirage donne rouge et 0 sinon.%\\
%\enex
%
%
%\subsection{Esp�rance math�matique et �cart type}
%
%\bgprop{
%  Si X suit une loi binomiale $\mathcal{B}(1;p)$ alors
%  \[
%  E(X)=np \qquad \sigma(X)=\sqrt{npq}
%  \] 
%}
%

\section{Loi de Poisson \protect \footnote{Sim�on Denis Poisson (21
    juin 1781 � Pithiviers - 25 avril 1840 � Sceaux) est un
    math�maticien, g�om�tre et physicien fran�ais, 
    �l�ve de Laplace.}}  

\subsection{D�finition}

\vspace{-0.6cm}
\bgdef{
  Une v.a.r X suit une loi de Poisson de param�tre $\lambda$ 
  ($\lambda>0$) si pour tout entier naturel k, sa loi de probabilit� est donn�e
  par 
  \[
  P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}
  \]
}

\bgex
On consid�re le nombre d'appels t�l�phoniques re�us par un standard
pendant une heure.\\ 
On a remarqu� que:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Il est rare de recevoir deux appels en m�me temps.
\item[$\bullet$] Le nombre moyen d'appels pendant une p�riode de temps
  $T$ ne d�pend que de la dur�e $T$. 
\item[$\bullet$]Les appels sont ind�pendants les uns des autres.
\end{itemize}

\vspd
Ces conditions permettent de dire que le nombre d'appels t�l�phoniques
re�us au standard durant une heure est donn� par une loi de
Poisson de param�tre $\lbd=10$.\\ 
Calculer la probabilit� que le nombre d'appels soit de 3;7;10;16;29;
inf�rieur � 3; inf�rieur � 10. 
\enex


\subsection{Domaine d'application}
Les conditions requises sont celles de l'exemple pr�c�dent:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Il est tr�s rare d'avoir deux succ�s simultan�ment.
\item[$\bullet$] Le nombre moyen de succ�s pendant une p�riode de
  temps $T$ ne d�pend que de la dur�e $T$. 
\item[$\bullet$]L'arriv�e d'un succ�s est ind�pendante du pr�c�dent.
\end{itemize}

\subsection{Esp�rance math�matique et �cart type}

\vspace{-0.6cm}
\bgprop{
  Si X suit une loi de Poisson de param�tre $\lambda$ alors
  \[
  E(X)=\lambda \qquad \sigma(X)=\sqrt{\lambda}
  \] 
}




\section{Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson} 


\bgth{
  Si on pose $np=m$, on a alors 
  \[
  C_n^kp^k(1-p)^{n-k}
  =C_n^k \left(\dfrac{m}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{m}{n}\right)^{n-k}
  \]
  \[
  \lim_{n \rightarrow+\infty}C_n^k\lp\dfrac{m}{n}\rp^k\lp1-\dfrac{m}{n}\rp^{n-k}
  =e^{-m}\dfrac{m^k}{k!}
  \]
  La loi de Poisson apparait comme la loi limite de la loi binomiale
  dans les conditions d�finies ci-dessus. 
}


\vspq\noindent
\bgmp{\linewidth}
{\bf Cons�quence}\\
Lorsque $p$ est petit ($p \leq 0,1$), $n$ grand ($n \geq 30$) et le
produit $np$ pas trop grand ($np \leq 10$), on peut approcher les
probabilit�s associ�es � la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ par
celles obtenues avec la loi de Poisson $\mathcal{P}(np)$\\ 
\enmp



\bgex
Une machine produit en moyenne 2 \% de pi�ces d�fectueuses. On pr�l�ve
50 pi�ces au hasard.\\ 
Le nombre de pi�ces dans le stock est assez important pour que l'on
puisse consid�rer le tirage comme �tant avec remise.\\ 
Soit X la variable al�atoire donnant le nombre de pi�ces
d�fectueuses.\\ 
Calculer la probabilit� d'obtenir 1; 2;...;7 pi�ces d�fectueuses avec
d'une part la loi binomiale et d'autre par la loi de Poisson.  
\enex


\bgex
La probabilit� qu'un voyageur oublie ses bagages dans le train est de
0,005. 
Un train transporte 850 voyageurs. 
On admet que ces voyageurs se comportent, vis-�-vis de leurs bagages,
ind�pendamment les uns des autres. 

On d�signe par $X$ la variable al�atoire qui prend pour valeur le
nombre de voyageurs ayant oubli� leurs bagages dans le train. 

\bgen
\item Quelle est la loi de probabilit� de la variable al�atoire $X$ ? 
  Calculer son esp�rance math�matique et sa variance. 

\item Donner une loi de probabilit� permettant d'approcher cette loi, 
  et calculer alors une valeur approch�e de la probabilit� des
  �v�nements suivants: 
  \bgen[a)] 
  \item aucun voyageur n'a oubli� ses bagages.
  \item cinq voyageurs au moins ont oubli� leurs bagages.
  \enen
\enen
\enex

%\clearpage
%\section{Exercices}

\bgex
\bgen
\item Une grande enveloppe contient les douze figures d'un jeu de
  carte: 
  les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets. 
  On tire, au hasard et simultan�ment, cinq cartes de l'enveloppe. 

  Soit $X$ la variable al�atoire qui, � chaque tirage, associe le
  nombre de rois obtenus. 

  \vsp
  D�terminer la loi de probabilit� de $X$ et calculer son esp�rance
  math�matique. Interpr�ter. 

\item Dans la m�me enveloppe, on effectue successivement cinq fois le
  tirage d'une carte que l'on remet � chaque fois dans l'enveloppe. 

  Soit $Y$ la variable al�atoire dont la valeur est �gale au nombre de
  rois obtenus au cours des cinq tirages. 

  \vsp
  D�terminer la loi de probabilit� de $Y$ et calculer son esp�rance
  math�matique. Interpr�ter. 
\enen
\enex

\bgex
Un fournisseur livre deux cat�gories de c�bles $C_1$ et $C_2$. 
Dans chaque livraison figurent 20\% de c�bles $C_1$ et 80\% de c�bles
$C_2$. 

Les parties A et B sont ind�pendantes. 

\noindent
{\bf Partie A.} 
On pr�l�ve, au hasard, 4 c�bles dans une livraison de 50 c�bles. 

\bgen
\item Pr�ciser la probabilit� de l'�v�nement 
  $E$:"les 4 c�bles sont du type $C_1$". 
\item Pr�ciser la probabilit� de l'�v�nement 
  $F$:"1 c�ble est du type $C_1$ et 3 c�bles sont du type $C_2$". 
\item Pr�ciser la probabilit� de l'�v�nement 
  $G$:"au moins un c�ble est du type $C_1$". 
\enen

\noindent
{\bf Partie B.} 

Dans cette partie, on pr�l�ve un c�ble dans une livraison, on note son
type et on le remet dans le lot. 
On r�alise $n$ fois cette exp�rience $\mathcal{E}$ et on note $X$ le
nombre de c�bles $C_1$ obtenus. 

\bgen
\item On suppose que $n=4$. Les r�sultats seront donn�s � $10^{-4}$
  pr�s. 

  \bgen[a)] 
  \item Calculer la probabilit� d'obtenir 2 c�bles de type $C_1$. 
  \item Calculer la probabilit� d'obtenir au moins un c�ble du type
    $C_1$. 
  \item Calculer l'esp�rance $E(X)$. 
  \enen
\item Dans cette question, $n$ est inconnu. 
  \bgen[a)] 
  \item Exprimer $P(X\geqslant 1)$ en fonction de $n$. 
  \item Combien de fois faut-il r�aliser l'exp�rience $\mathcal{E}$
    pour �tre s�r � 90\% d'obtenir au moins un c�ble $C_1$ ?
  \enen
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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