Source Latex
du cours de mathématiques
\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pstricks-add}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-circ,pstricks-add}
%\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Compl�ment de cours de math�matiques - BTS},
pdftitle={Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson},
pdfkeywords={Math�matiques, BTS,
probabilit�s, loi binomiale, loi de Poisson}
}
\hypersetup{
colorlinks = true,
linkcolor = red,
anchorcolor = red,
citecolor = blue,
filecolor = red,
pagecolor = red,
urlcolor = red
}
\voffset=-2.2cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\vspd{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.4cm
\topmargin=-1.9cm
\footskip=1.2cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{nlem}
\setcounter{nlem}{1}
\newlength{\llem}
\nwc{\bglem}[1]{
\settowidth{\llem}{Lemme \arabic{nlem}}
\noindent
\paragraph{Lemme}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\llem-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel \\ \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}
%\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.8cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\vspace{0.4cm}
Soit $X$ une variable al�atoire discr�te suivant la loi binomiale
$\mathcal{B}(n;p)$.
On se place dans le cas o� $n\to+\infty$, $p\to0$ et le produit
$np=a>0$.
On a alors, pour $0\leqslant k\leqslant n$,
\[\bgar{ll}
P(X=k)
&\dsp=
C_n^k\ p^k (1-p)^{n-k} \\[0.3cm]
&\dsp=
\dfrac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!}\ p^k (1-p)^{n-k} \\[0.3cm]
\enar
\]
soit, en posant $np=a\iff p=\dfrac{a}{n}$,
\[\bgar{ll}
P(X=k)
&\dsp=
\dfrac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!}\ p^k \lp1-\dfrac{a}{n}\rp^{n-k} \\[0.6cm]
&\dsp=
\dfrac{n^k\lp1-\dfrac{1}{n}\rp\lp1-\dfrac{2}{n}\rp\dots\lp1-\dfrac{k-1}{n}\rp}
{k!}
p^k(1-p)^{n-k}\\[0.6cm]
&\dsp=
\dfrac{(np)^k}{k!}
\lp1-\dfrac{1}{n}\rp\lp1-\dfrac{2}{n}\rp\dots\lp1-\dfrac{k-1}{n}\rp
p^k(1-p)^{n-k}\\[0.6cm]
\enar
\]
Lorsque $n\to+\infty$, tous les facteurs $\lp1-\dfrac{i}{n}\rp$,
$1\leqslant i\leqslant k-1$,
tendent vers 1, et donc,
\[\bgar{ll}
P(X=k)
&\dsp \underset{n\to+\infty}{\sim}
\dfrac{(np)^k}{k!}\ p^k(1-p)^{n-k}\\[0.6cm]
\enar\]
De plus,
\[(1-p)^{n-k}=\lp1-\dfrac{a}{n}\rp^{n-k}
=\lp1-\dfrac{a}{n}\rp^{n}\lp1-\dfrac{a}{n}\rp^{-k}
\]
avec, pour $k$ un entier fix�,
\[
\lim_{n\to+\infty}\lp1-\dfrac{a}{n}\rp^{-k}=1
\]
Pour le deuxi�me terme, on utilise le lemme suivant:
\bglem{
Soit $a\in\R$, alors,
\[
\lim_{n\to+\infty} \lp1-\dfrac{a}{n}\rp^n=e^{-a}
\]
}
\bgproof{
On �crit
$\lp1-\dfrac{a}{n}\rp^{n}=
e^{n\ln\lp1-\dfrac{a}{n}\rp}
$.
Lorsque $n\to+\infty$, $\dfrac{a}{n}\to0$, et alors on a \ \
$\ln\lp1-\dfrac{a}{n}\rp
\underset{n\to+\infty}{\sim}
-\dfrac{a}{n}$.
Ainsi,
\[
\lp1-\dfrac{a}{n}\rp^{n}=
e^{n\ln\lp1-\dfrac{a}{n}\rp}
\underset{n\to+\infty}{\sim}
e^{n\lp-\dfrac{a}{n}\rp}
=e^{-a}
\]
}
On aboutit alors �:
\[
(1-p)^{n-k}
\underset{n\to+\infty}{\sim}
e^{-a}
\]
ce qui nous permet d'affirmer que:
\[
P(X=k)
\underset{n\to+\infty}{\sim}
\dfrac{(np)^k}{k!}e^{-a}
=\dfrac{a^k}{k!}e^{-a}
\]
qui est la probabilit� de l'�v�nement $"X=k"$ lorsque la variable
al�atoire $X$ suit la loi de Poisson $\mathcal{P}(a)$ de param�tre
$\lbd=a=np$.
\vspace{0.6cm}
En pratique, on applique cette approximation d�s que
$n\geqslant 50$ et $p<0,1$,
ou encore d�s que $n>30$ et $np<5$.
\end{document}
Télécharger le fichier source 
