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Type: Cours
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Description
Exercices (non corrigés) de mathématiques en BTS: Probabilités
Niveau
BTS
Mots clé
probabilités, exercices de mathématiques
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{enumerate}

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\usepackage{pst-all}
\usepackage{pstricks-add}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathmatiques: probabilits},
    pdftitle={Exercices de dnombrement},
    pdfkeywords={Mathmatiques, BTS, probabilits, dnombrement, 
      arrangement, combinaison}
}
\hypersetup{
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    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
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}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\nwc{\scp}[1]{\scriptstyle#1}
\nwc{\scpp}[1]{\scriptscriptstyle#1}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\Cnp}[2]{\mbox{$\dsp C_{#1}^{#2}$}}


\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=27.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1cm
\textwidth=19.2cm
\oddsidemargin=-1.6cm
\voffset=-2.6cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Thorme \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Thorme}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Proprit \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Proprit}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Dfinition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Dfinition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\defstitle}{Dfinitions}
\newlength{\ldefs}\settowidth{\ldefs}{\defstitle:}
\nwc{\bgdefs}[1]{\paragraph{\ul{\defstitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldefs-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Dmonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Exercices de dnombrement et probabilit}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{0.2cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill
\vspq



\bgex
Calculer: 

a) $A_4^1$ et \Cnp{4}{1} \hspace{0.5cm}
b) $A_4^3$ et \Cnp{4}{3} \hspace{0.5cm}
c) \Cnp{8}{3} \hspace{0.5cm}
d) \Cnp{n}{1} \hspace{0.5cm}
e) \Cnp{n}{n-1} \hspace{0.5cm}
f) $\dfrac{\Cnp{12}{3}}{\Cnp{12}{5}}$ 
\enex


\bgex
Montrer que: 
$\dsp \sum_{k=0}^n \Cnp{n}{k}\,4^k=5^n$.
\enex

\vspd
\bgex Dvelopper: 
a) $(3+x)^4$ \hspace{1cm} 
b) $(3x-2)^5$ \hspace{1cm} 
c) $(1+i)^5$ \hspace{1cm} 
d) $(2-i)^4$
\enex


\vspt
\bgex
Dans une classe de 30 lves, on doit choisir 2 dlgus. 
Combien de faons y a-t-il de les choisir ? 

\vspd
On suppose maintenant que parmi les dlgus, il doit y avoir un
garon et une fille. 
Sachant qu'il y a 18 garons dans cette classe, 
combien de faons y a-t-il alors de choisir un tel couple de dlgus ? 
\enex



\vspt
\bgex
 Un domino est une petite planchette dont la face suprieure est
 divise en deux parties portant chacune un chiffre de 0  6. 

 L'ordre de ces chiffres n'intervient pas et il y a donc, par exemple
 qu'un seul domino comportant les chiffres 1 et 3. 

 \vspd
 \bgit
 \item[a)] Une bote de dominos contient toutes les associations
   possibles des chiffres entre 0 et 6 (y compris les doubles). 
   Montrer qu'une telle bote contient 28 dominos. 

   \emph{(Indication: on pourra traiter sparment les doubles)}

   \vspd
 \item[b)] Quelle est la probabilit de tirer au hasard un double dans
   la bote ?
 \enit
\enex

\vspt
\bgex
Dans un quipe de basket, 8 joueurs ont t slectionns. 
Pour un match, l'entraneur choisit au hasard 5 joueurs parmi ceux
slectionns. 

\vspd
\bgit
\item[a)] Combien l'entraneur peut-il faire d'quipes diffrentes ? 
  \vsp
\item[b)] Je suis un des 8 slectionns. 

  Montrer que la probabilit que je fasse partie de l'quipe
  finalement retenue est $\dfrac{5}{8}$. 
\enit
\enex



\vspt
\bgex
On tire au hasard une main de cinq cartes dans un jeu de 32 cartes. 
Calculer la probabilit des vnements suivants: 

\vspd
\begin{enumerate}[a)]
\item $A$: "la main contient exactement deux as"
  \vsp
\item $B$: "la main contient deux as"
  \vsp
\item $C$: "la main contient au moins un roi"
  \vsp
\item $D$: "la main contient 3 figures" 
  (les figures sont les rois, dames et valets)
  \vsp
\item $E$: "la main contient un as, 2 rois et 2 dames"
\end{enumerate}
\enex


\vspt
\bgex
On jette simultanment deux ds non truqus et on considre les
vnements : 

\noindent\hspace{1.5cm}
$A:$ "La somme des chiffres obtenus est $7$"\\
\hspace*{1.5cm}
$B:$ "On a obtenu au moins une fois le chiffre $3$"

Les vnements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? 
indpendants ?
\enex


\vspt
\bgex
Une socit de 90 employs compte 60 hommes, parmi lesquels 40 sont
des cadres. 
Dans cette socit, il y a en tout 58 cadres. 

\vsp
Quelle est la probabilit d'tre un cadre sachant qu'on est un homme
dans cette socit ?

\vsp
Les vnements tre un cadre et tre un homme sont-ils 
indpendants dans cette socit ?
\enex


\vspt
\bgex
Une agence de sondage effectue auprs de 10\,000 personnes une enqute
sur le recyclage du verre. Dans cet chantillon, 40\,\% sont des
jeunes (moins de 30 ans) et 60\,\% d'entre eux dclarent recycler le
verre. 
En revanche, seulement 30\,\% des personnes de plus de 30 ans
dclarent recycler le verre. 

On choisit au hasard une personne dans l'chantillon. 
On note $J$ l'vnement: "la personne choisie est un jeune" et 
$T$ l'vnement: "la personne recycle le verre". 
\vsp

\bgmp{10cm}
\bgit
\item[1.] Complter l'arbre ci-contre. 
\vspd
\item[2.] Calculer $P(J\cap T)$, $P(J\cap\overline{T})$, 
  $P(\overline{J}\cap T)$ et $P(\overline{J}\cap\overline{T})$. 

  En dduire $P(T)$.
\enit
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(4,1.4)
  \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.8,1){$J$}\rput(.7,.7){$\scp 0,4$}
  \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.8,1.5){$T$}
  \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.8,0.5){$\overline{T}$}

  \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.8,-1){$\overline{J}$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$T$}
  \psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$\overline{T}$}

  
\end{pspicture}
\enmp

\bgmp{10cm}
\bgit
\item[3.] 
  \bgit 
  \item[a)] Calculer la probabilit que la personne ait moins de 30 ans
    sachant qu'elle recycle le verre. 
    \vspd
  \item[b)] Complter l'arbre ci-contre.
  \enit
\enit
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(4,2)
  \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.8,1){$T$}
  \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.8,1.5){$J$}
  \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.8,0.5){$\overline{J}$}

  \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.8,-1){$\overline{T}$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$J$}
  \psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$\overline{J}$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex


\vspt
\bgex
Sur une machine, deux types de panne sont possibles:
la panne d'origine mcanique et la panne d'origine lectronique. 
Un jour donn, la probabilit q'une panne mcanique survienne est de
0,005 et celle d'une panne lectronique est 0,003. 
D'autre part, la probabilit qu'une panne mcanique apparaisse sachant
qu'une panne lectronique a eu lieu ce jour l est 0,002. 

\noindent
On note $E$ l'vnement: "la machine a une panne lectronique" et 
$M$: "la machine a une panne mcanique".

\vspd
\bgit
\item[1.] Calculer la probabilit qu'une machine ait les deux types de
  pannes un jour donn. 
  \vsp
\item[2.] Calculer la probabilit qu'une machine n'ait aucune panne un
  jour donn. 
  \vsp
\item[3.] 
  \bgit
  \item[a)] Calculer $P_{\overline{E}}(M)$. 
    \vsp
  \item[b)] Comparer $P_E(M)$ et $P_{\overline{E}}(M)$. 
    Interprter cette comparaison.
  \enit
\enit
\enex


\end{document}

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