Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices mathématiques: Fonctions},
pdftitle={Algorithmique},
pdfkeywords={Mathématiques, BTS,
exercices, fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\newcommand{\Lim}[2]{\left.\begin{array}{lcr} #1\\ #2 \end{array}\right\}}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Concernant la mise en page des algo:
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\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.6cm}
\nwc{\PI}{\hspace*{\ProgIndent}}
\nwc{\DPI}{\hspace*{2\ProgIndent}}
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\nwc{\Prog}[3]{%
%\par\vspd%
\bgmp[t]{#2+0.5cm}%\linewidth}
\hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
\emph{\textcolor{white}{\!\!#1}}} \\
\vspace*{-0.5ex}\\
\bgmp{#2}
%\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
\settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#2}#3\enmp}}
\setlength{\phgn}{\phgn-2ex}
\setlength{\plgn}{\linewidth}
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\pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
(\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
\pspolygon[linewidth=0.6pt,linecolor=graypc,fillstyle=solid,fillcolor=graypc]%
(\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
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(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
(\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
\par
\bgmp{\linewidth}#3\enmp
\enmp
\enmp
\vspd
}
% et pour les progs casio:
\nwc{\return}{
\psset{unit=1cm,arrowsize=4pt}
\psline{<-}(0,0.1)(0.3,0.1)(0.3,0.25)}
\nwc{\disp}{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.2,0)(0.2,0.15)}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{\TITLE\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\psset{arrowsize=6pt}
\vspace*{0cm}
\ct{\LARGE\textcolor{blue}{\TITLE}}
\vspt
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Courbe représentative d'une fonction}}
\noindent
\bgmp{9.2cm}
\bgex Soit $f$ une fonction dont le tableau de varation est donné
ci-contre.
%On donne le tableau de variation d'une fonction $f$:
Tracer, dans un repère orthogonal, l'allure de la courbe
$\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$.
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{8cm}
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-4$ && \quad\,$2$\quad\, && $5$ && $+\infty$ \\\hline
&$2$&&&&$+\infty$\qquad\,&&$1$&& \\
$f(x)$&&\psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)&&
\psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)&
\psline(-0.05,.8)(-0.05,-.6)\psline(.05,.8)(.05,-.6)&
\psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)&&
\psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)& \\
&&&$-3$&&\qquad\,$-\infty$&&&&$-5$ \\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp
%\enex
\noindent
\bgmp{8cm}
\bgex
On donne ci-contre le tableau de variation d'une fonction $g$.
Tracer, dans un repère orthogonal, l'allure de la courbe
$\mathcal{C}_g$ représentative de la fonction $g$.
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{9cm}
\[
\begin{tabular}{|c|*{9}{c}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && \quad\,$-2$\quad\, && $0$ && \quad\,$4$\quad\, && $+\infty$ \\\hline
&$-3$&&&&$1$&&&&$+\infty$ \\
$g(x)$&&\psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)&
\psline(-0.05,.8)(-0.05,-.6)\psline(.05,.8)(.05,-.6)&
\psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)&&
\psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)&
\psline(-0.05,.8)(-0.05,-.6)\psline(.05,.8)(.05,-.6)&
\psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)& \\
&&&$-\infty$\quad$-\infty$&&&&$-\infty$\quad$-\infty$&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp
\newcounter{cpt}
\nwc{\cptp}{\stepcounter{cpt}\thecpt}
\bgex
Pour chacune des fonctions, tracer la courbe représentative
et donner le tableau de signes:
\vspd\noindent
\cptp)\quad $f(x)=2x+3$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=2x-3$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=-2x+1$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=x^2$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=x^2-4$
\vspd\noindent
\cptp)\quad $f(x)=x^2-x-2$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=x^2+x-6$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=x^3$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=\dfrac{1}{x}$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=\ln(x)$
\vspd\noindent
\cptp)\quad $f(x)=e^x$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=\cos(x)$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=\sin(x)$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=\sin(2\pi x)$
\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=
\la\bgar{llr}
0&\text{si } x<0 \\
1&\text{si } x\geqslant 0 \\
\enar\right.$
\quad
\cptp) $f(x)=
\la\bgar{clrcl}
0 &\text{si } &&x&<0 \\
1 &\text{si } &0\leqslant &x&<2 \\
-2 &\text{si } &2\leqslant &x&<5 \\
0 &\text{si } &&x&\geqslant 5
\enar\right.$
\quad
\cptp) $f(x)=
\la\bgar{llrcl}
0 &\text{si } &&x&<0 \\
x &\text{si } &0\leqslant &x&<1 \\
-2x+3 &\text{si } &1\leqslant &x&<3 \\
x-6 &\text{si } &3\leqslant &x&< 6 \\
0 &\text{si } &&x&\geqslant 6
\enar\right.$
\enex
\vspq
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Logarithme et exponentielle}}
\bgex
Simplifier l'écriture des expressions suivantes:
\setcounter{cpt}{0}
\vspd\noindent
\cptp) $\ln\lp e^{-1}\rp$
\qquad
\cptp) $\ln\lp e^{12}\rp$
\qquad
\cptp) $\ln\lp \dfrac{1}{3}\rp$
\qquad
\cptp) $\ln\lp \dfrac{1}{e^{3}}\rp$
\qquad
\cptp) $\ln\lp \sqrt{e}\rp$
\qquad
\cptp) $\ln\lp\dfrac{e^{3}}{e^{2}}\rp$
\vspd\noindent
\cptp) $e^{\ln 2}$
\qquad
\cptp) $e^{-\ln 3}$
\qquad
\cptp) $e^{2\ln 3}$
\qquad
\cptp) $e^{-2\ln 3}$
\qquad
\cptp) $e^{\frac12\ln 3}$
\qquad
\cptp) $e^{\ln 3+\ln 5}$
\qquad
\cptp) $e^{x-1}e^{-x+2}$
\enex
\vspq
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Signe d'une expression algébrique}}
\bgex
Déterminer le signe des expressions suivantes:
\vspd\noindent
$\bullet\ A(x)=3x-1$
\qquad
$\bullet\ B(x)=2x+12$
\qquad
$\bullet\ C(x)=x^2-4$
\qquad
$\bullet\ D(x)=x^2-7x+12$
\qquad
$\bullet\ E(x)=2x^2-3x+1$
\vspd\noindent
$\bullet\ F(x)=\ln(x)$
\qquad
$\bullet\ G(x)=2\ln(x)+4$
\qquad
$\bullet\ H(x)=e^x$
\qquad
$\bullet\ I(x)=3e^x-6$
\qquad
$\bullet\ J(x)=(2x+1)(x-3)$
\vspd\noindent
$\bullet\ K(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$
\qquad
$\bullet\ L(x)=(2x-1)(3x+6)(-x+2)$
\qquad
$\bullet\ M(x)=\dfrac{e^x-2}{x+3}$
\qquad
$\bullet\ N(x)=\dfrac{\ln(x)-1}{x^2-9}$
\enex
\vspq
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Dérivées}}
\bgex
Calculer la dérivée des fonctions suivantes:
\vspd
\setcounter{cpt}{0}
\noindent
\cptp) $f(x)=3x^2-2$
\qquad
\cptp) $f(x)=2x^5-6x^3+3x-2$
\qquad
\cptp) $f(x)=-x^3+\dfrac1x$
\qquad
\cptp) $f(x)=\dfrac32 x^2+\ln x$
\qquad
\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}$
\qquad
\cptp) $f(x)=\dfrac{x^2-3}{2x+1}$
\qquad
\cptp) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$
\qquad
\cptp) $f(x)=xe^x$
\qquad
\cptp) $f(x)=(x^2+2)\ln x$
\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=\lp x^2+3\rp^2$
\qquad
\cptp) $f(x)=\lp x^2+3\rp^5$
\qquad
\cptp) $f(x)=e^{3x+2}$
\qquad
\cptp) $f(x)=3xe^{x^2+1}$
\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=\cos(2x+1)$
\qquad
\cptp) $f(x)=x\,\sin\lp x^2\rp$
\qquad
\cptp) $f(x)=(2x+1)e^{-2x}$
\qquad
\cptp) $f(x)=\dfrac{2x\ln x}{e^{-5x}+1}$
\enex
\vspq
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Limites et asymptotes}}
\bgex
Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ de la fonction $f$.
Interpréter graphiquement le résultat.
\setcounter{cpt}{0}
\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=3x-125$
\qquad
\cptp) $f(x)=-3x^2+12$
\qquad
\cptp) $f(x)=-3x^2+17x-36$
\qquad
\cptp) $f(x)=x^3-x+1$
\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=\dfrac{3x^2+x+1}{x^2-12}$
\qquad
\cptp) $f(t)=\dfrac{t^2+31}{(t+3)(t-3)}$
\qquad
\cptp) $f(t)=e^t$
\qquad
\cptp) $f(t)=\ln(t)$
\quad
\cptp) $f(t)=\dfrac{1}{t}+e^{-t}$
\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=\dfrac{150}{1+e^{1-x}}$
\quad
\cptp) $f(x)=xe^x$
\quad
\cptp) $f(x)=\lp x^2+3x-5\rp e^x$
\quad
\cptp) $f(x)=t\ln(t)$
\quad
\cptp) $f(x)=\dfrac{\ln(t)}{t}$
\enex
\bgex
Déterminer les limites, et interpréter graphiquement.
\setcounter{cpt}{0}
\vspd\noindent
\cptp) $\dsp\lim_{x\to 3} \dfrac{2x^2+1}{\lp x-3\rp^2}$
\qquad
\cptp) $\dsp\lim_{x\to 2} \dfrac{2x-6}{\lp x-2\rp\lp x+2\rp}$
\qquad
\cptp) $\dsp\lim_{x\to -3} \dfrac{x+5}{\lp x^2-9\rp}$
\qquad
\cptp) $\dsp\lim_{x\to -3} \ln(x+3)$
\qquad
\cptp) $\dsp\lim_{x\to 1} e^{\frac{1}{x-1}}$
\enex
\vspq
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Etude de fonctions}}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $]-2;+\infty[$
par $f(x)=x-2+\dfrac{4}{x+2}$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
\bgen
\item Calculer $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp f(x)-(x-2)\rp$
et interpréter graphiquement ce résultat.
\item Calculer $\dsp\lim_{x\to-2} f(x)$
et interpréter graphiquement ce résultat.
\item Déterminer la dérivée $f'$ de la $f$ et en déduire le tableau de
variation de $f$.
\item En utilisant tous les résultats précédents
(en particulier en traçant les asymptotes),
tracer l'allure de~$\mathcal{C}$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=4-6te^{-3t}$.
\bgen
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et déterminer son signe.
En déduire le tableau de variation de $f$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par
$f(t)=t+1-10e^{-0,5t}$
et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
\bgen
\item Caculer la dérivée $f'$ de $f$.
En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$.
\item %Déterminer la limite $\dsp\lim_{t\to+\infty}\lp f(t)-(t+1)\rp$.
Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote
oblique $\Delta$ dont on donnera une équation.
\item Tracer l'allure de $\mathcal{C}$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par
$g(x)=x^2-2+2\ln x$.
\bgen[a)]
\item Déterminer les limites en $0$ et $+\infty$ de $g$.
\item Calculer la dérivée $g'$ de $g$ et en déduire le tableau de
variation de $g$.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution
sur $]0;+\infty[$.
On note $\alpha$ cette solution.
Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
\item Donner le signe de $g(x)$ sur $]0;+\infty[$.
\enen
\item On considère maintenant la fonction $f$ définie sur
$]0;+\infty[$ par $f(x)=x+1-2\dfrac{\ln x}{x}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.
\bgen[a)]
\item Déterminer la limite en $0$ de $f$ et interpréter
graphiquement.
\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote
oblique $\Delta$ dont on donnera une équation.
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer que pour tout
$x>0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.
En déduire le tableau de variation de $f$.
\item En utilisant tous les résultats précédents
tracer l'allure de~$\mathcal{C}$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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