Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices math�matiques - BTS},
pdftitle={Exercices math�matiques - BTS},
pdfkeywords={Math�matiques, exercices, BTS,
fonction, fonctions, �tude de fonction, s�rie de Fourier, Fourier}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
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\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{ndef}
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\nwc{\bgdef}[1]{
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\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
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\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Etudes de fonctions - S�ries de Fourier}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\vspace{0.4cm}
%\bgex
%Etudier les fonctions $f$ et $g$ suivantes:
%\[
%f(t)=12t^2-12t+3
%\qquad
%g(t)=8t^3-12t^2+4t
%\]
%\enex
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par
$f(x)=xe^x-1$.
\bgen
\item Etudier les variations de $f$ (pr�ciser les limites).
\item D�montrer que l'�quation $f(x)=0$ admet une solution unique
$\alpha$ dans $[0;1]$.
Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
\item Tracer la repr�sentation graphique de $f$.
\enen
\enex
\bgex
\noindent
{\bf Partie A.}
Soit $g$ la fonction num�rique d�finie sur $I=]0;+\infty[$ par
$g(x)=-x^2+1-\ln x$.
\bgen
\item Etudier le sens de variation de $g$ sur $I$ (pr�ciser les limites).
\item Calculer $g(1)$. En d�duire le signe de $g(x)$ sur $I$.
\enen
\noindent
{\bf Partie B.} Soit $f$ la fonction num�rique d�finie sur $I$ par
$f(x)=-x+2+\dfrac{\ln x}{x}$.
On d�signe par $\mathcal{C}$ sa courbe repr�sentative.
\bgen
\item Etudier les limites de $f$ aux bornes de $I$.
\item Calculer $f'(x)$ et, � l'aide la partie A, donner le signe de
$f'(x)$.
En d�duire le sens de variation de~$f$.
\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'�quation $y=-x+2$ est
asymptote � $\mathcal{C}$.
D�terminer la position de $\mathcal{C}$ par rapport �
$\mathcal{D}$.
\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en
deux points, l'un ayant une abscisse $a$ sup�rieure � 2.
Donner une valeur approch�e de $a$ � $10^{-2}$ pr�s en indiquant la
m�thode employ�e.
\item Tracer $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $]2;+\infty[$ par
$f(x)=x-1+\ln\lp\dfrac{x-2}{x}\rp$.
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe repr�sentative.
\bgen
\item Etudier la limite de $f$ en $2$.
Interpr�ter graphiquement ce r�sultat.
\item Etudier la limite de $f$ en $+\infty$.
Monter que la droite d'�quation $y=x-1$ est asymptote oblique � la
courbe $\mathcal{C}$, et �tudier la position relative de
$\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x(x-2)}$, puis dresser le
tableau de variation de $f$.
\item Montrer que l'�quation $f(x)=0$ admet une unique solution dont
on donnera une valeur approch�e � $0,1$ pr�s.
\item Tracer $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$.
\enen
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ d�finie sur $\R$, paire et
$\pi$-p�riodique, par:
$
f(t)=\dfrac{\pi}{2}t$, pour $t\in\lb0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\rb
$.
\bgen
\item Tracer la repr�sentation graphique de $f$ dans un rep�re
orthonormal sur $\lb-\pi\,;\,\pi\rb$.
\item Calculer les coefficients de la s�rie de Fourier $S$ de $f$.
\item Calculer la valeur efficace $f_e$ de la fonction $f$.
\item Ecrire la formule de Parseval pour la fonction $f$ et sa s�rie
de Fourier.
Calculer une valeur approch�e de la valeur efficace de la fonction
$f$ en ne conservant que les 3 premiers harmoniques de la s�rie de
Fourier.
\enen
\enex
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$, impaire et p�riodique
de p�riode 2$\pi$, d�finie sur $[0;1]$ par:
\[
f(t)=t^2\ ,\quad{pour}\ 0\leqslant t\leqslant1
\]
\bgen
\item Tracer la repr�sentation graphique de $f$ dans un rep�re
orthonormal sur $\lb-5\,;\,5\rb$.
\item Calculer la valeur moyenne de $f$.
\item Calculer les coefficients de la s�rie de Fourier $S$ de $f$, et
�crire la s�rie de Fourier $S$.
A-t-on $S(t)=f(t)$ ?
\enen
\enex
\end{document}
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