Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de math�matiques - BTS},
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pdfkeywords={Math�matiques, BTS,
transform�e de Laplace, Laplace,
�quation diff�rentielle, probabilit�s}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
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\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\vspd{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\newcounter{ntheo}
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\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\newcounter{ndef}
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\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
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\stepcounter{ntheo}
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\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
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\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
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\enmp
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}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{R�visions}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
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\cfoot{\TITLE}
%\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.8cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\vspace{0.4cm}
\noindent{\large{\bf\ul{Equations diff�rentielles}}}
\bgex Soit l'�quation diff�rentielle:
\quad $(E):\ 3y'+2y=-6$.
\bgen
\item D�terminer la fonction $h$, constante sur $\R$, solution de
$(E)$.
\item Ecrire l'�quation homog�ne (sans second membre) associ�e �
$(E)$.
D�terminer sa solution g�n�rale.
\item En d�duire la solution g�n�rale de l'�quation $(E)$.
\item D�terminer la solution de $(E)$ qui v�rifie $y(0)=1$.
\enen
\enex
\bgex On consid�re l'�quation diff�rentielle:
\quad
$(E):\ y''+2y'-3y=\lp6+5t\rp e^{2t}$.
\bgen
\item Montrer que la fonction d�finie par $f(t)=te^{2t}$ est solution
de $(E)$.
\item Ecrire l'�quation homog�ne $(E_0)$ (sans second membre) associ�e
� $(E)$.
D�terminer la solution g�n�rale $f_0$ de $(E_0)$.
\item En d�duire l'expression de la solution g�n�rale de $(E)$.
\item D�terminer l'expression de la fonction $y$ solution de $(E)$
v�rifiant de plus $y(0)=0$ et $y'(0)=0$.
\enen
\enex
\vspace{0.4cm}
\noindent{\large{\bf\ul{Transform�e de Laplace}}}
\bgex
On consid�re l'�quation diff�rentielle:
\quad
$(E)\ :\ y''(t)+3y'(t)-4y(t)=e(t)$,
o� la fonction $e$ est d�finie par
$e(t)=\la\bgar{lll}
1&\text{ si } &t\geqslant 0 \\
0&\text{ si } &t<0
\enar\right.
$, et $y$ v�rifie
$y(0)=0$, $y'(0)=0$.
On admet que la fonction $y$ solution de $(E)$ admet une transform�e
de Laplace que l'on notera $Y(p)$.
\bgen
\item En appliquant la transform�e de Laplace � $(E)$,
d�terminer la fonction de transfert:
\mbox{$H(p)=\dfrac{Y(p)}{E(p)}$}.
\item Donner alors l'expression de $Y(p)$, et en d�duire $y(t)$.
\enen
\enex
\bgex
D�terminer la fonction $y(t)$ dont la transform�e de Laplace est
$Y(p)=\dfrac{3}{p^2+4p+8}$.
\enex
\vspace{0.4cm}
\noindent{\large{\bf\ul{Transform�e en z}}}
\bgex
On consid�re une suite $(y(n))$ d�finie par
l'�quation aux diff�rences (ou �quation r�currente):
\quad
$(E)\ :\ y(n+2)+3y(n+1)-4y(n)=e(n)$,
o� la suite $e(n)$ est d�finie par
$e(n)=\la\bgar{lll}
1&\text{ si } &n\geqslant 0 \\
0&\text{ si } &n<0
\enar\right.
$, et avec
$y(0)=0$, $y(1)=0$.
On admet que la suite $(y(n))$ solution de $(E)$ admet
une transform�e en $z$ que l'on notera $Y(z)$.
\bgen
\item En appliquant la transform�e en $z$ � $(E)$,
d�terminer la fonction de transfert:
\mbox{$H(z)=\dfrac{Y(z)}{E(z)}$}.
\item Donner alors l'expression de $Y(z)$,
et en d�duire $y(n)$.
\enen
\enex
\vspace{0.4cm}
\noindent{\large{\bf\ul{Probabilit�s}}}
\bgex
Une soci�t� fabrique des poutrelles m�talliques dans deux usines $A$
et $B$.
En une semaine, elle fabrique $7\,500$ poutrelles, parmi lesquelles
certaines sont d�fectueuses.
\vspd
L'usine $A$ en a fabriqu� $3\,000$, dont 1\% sont
d�fectueuses et l'usine $B$ a fabriqu� le reste, dont 6\% sont
d�fectueuses.
On prend au hasard une poutrelle dans la production.
\bgen
\item Calculer la probabilit� des �v�nements suivants:
\quad $A$: "la poutrelle provient de l'usine $A$";
$B$: "la poutrelle provient de l'usine $B$" ;
\quad
$D$: "la poutrelle est d�fectueuse"
\item Calculer la probabilit� qu'une poutrelle prise au hasard
provienne de l'usine $A$ sachant qu'elle est d�fectueuse.
\item On pr�l�ve 500 poutrelles au hasard dans la production de la
semaine afin de constituer un lot pour un client.
On assimile le tirage des 500 poutrelles � des tirages avec remise.
On note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de poutrelles
d�fectueuses dans le lot.
\bgen[a)]
\item Quelle est la loi de probabilit� de $X$ ?
\item On approxime cette loi par une loi normale.
D�terminer son esp�rance et son �cart type.
\item Le lot est consid�r� acceptable par le client lorsqu'il
contient moins de 2\% de pi�ces d�fectueuses.
D�terminer alors la probabilit� que le lot soit acceptable par le
client.
\enen
\enen
\enex
\bgex
Un archer a une probabilit� d'atteindre la cible de $4/5$ lorsqu'il
tire une fl�che.
Il tire 6 fl�ches.
Soit $X$ la variable al�atoire d�signant le nombre de fl�ches ayant
atteint la cible.
\bgen
\item D�terminer la loi de probabilit� de $X$.
\item Calculer la probabilit� pour qu'il atteigne 2 fois la cible.
\item D�terminer la probabilit� pour qu'il atteigne au moins deux fois
la cible.
\item D�terminer, et interpr�ter, $E(X)$ et $\sigma(X)$.
\enen
\enex
\bgex {\it Nouvelle Cal�donie 2009}
\textbf{Partie A :}
Une entreprise fabrique des pi�ces en grande s�rie.
Une pi�ce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre
7,495 et 7,505.
L'entreprise dispose d'une machine de contr�le des pi�ces fabriqu�es.
On pr�l�ve une pi�ce au hasard dans la production.
On note $C$ l'�v�nement : \og la pi�ce est conforme \fg,
et $A$ l'�v�nement: \og la pi�ce est accept�e par la machine
de contr�le \fg.
Une �tude statistique a �t� conduite, au terme de laquelle on a pu
estimer que :
\[
p(A) = 0,95,~ p\lp C \cap \overline{A}\rp
= 0,01 ~\text{et}~ p\lp\overline{C} \cap A\rp = 0,005.
\]
\bgen
\item
\bgen
\item � l'aide d'une phrase, donner la signification des
�v�nements $C \cap \overline{A}$ et $\overline{C} \cap A$.
Ces deux �v�nements correspondent aux cas o� la machine de
contr�le commet une erreur.
\item Calculer la probabilit� que la machine de contr�le commette une erreur.
\enen
\item Calculer la probabilit� qu'une pi�ce soit conforme, sachant
qu'elle est refus�e.
\enen
\bigskip
\textbf{Partie B :}
On appelle $X$ la variable al�atoire qui prend pour valeur la masse
d'une pi�ce en grammes.
On admet que $X$ suit une loi nonnale de moyenne 7,5 et d'�cart type
$\sigma$ o� $\sigma$ d�signe un nombre r�el strictement positif.
\begin{enumerate}
\item Apr�s une p�riode de production, la machine de fabrication a
subi un d�r�glement brutal.
L'�cart type $\sigma$ vaut alors $0,015$.
On rappelle qu'une pi�ce est confonne si sa masse, en grammes, est
comprise entre 7,495 et 7,505.
\item Calculer la probabilit� qu'une pi�ce soit conforme.
\item Calculer la valeur de $\sigma$ pour laquelle la probabilit�
qu'une pi�ce soit conforme est �gale � $0,99$.
\item Dans cette question, on suppose que $\sigma$ vaut 0,002 et qu'�
la suite d'un nouveau d�r�glement, la variable al�atoire $X$ suit la
loi normale de moyenne $7,502$ et d'�cart type $0,002$.
Calculer la probabilit� qu'une pi�ce, choisie au hasard, soit conforme.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie C :}
Les pi�ces accept�es par la machine de contr�le sont emball�es par
lots de 100. On pr�l�ve au hasard un lot. La production est
suffisamment importante pour que l'on assimile ce pr�l�vement � un
tirage avec remise de 100~pi�ces.
On consid�re la variable al�atoire $Y$ qui, � tout pr�l�vement de
100~pi�ces, associe le nombre de pi�ces non conformes.
On admet que la probabilit� qu'une pi�ce soit non conforme, sachant
qu'elle a �t� accept�e, est 0,0053.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable al�atoire $Y$ suit une loi
binomiale dont on pr�cisera les param�tres.
\item Donner l'esp�rance math�matique de la variable al�atoire $Y$.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilit� qu'un lot ne contienne que des pi�ces
conformes. On donnera une valeur approch�e du r�sultat � $10^{-2}$
pr�s.
\end{enumerate}
\enex
\bgex
On consid�re une variable al�atoire $X$ suivant une loi de Poisson de
param�tre $\lbd$ inconnu telle que:
$P(X\leqslant 1)=0,95$.
\bgen
\item D�montrer que $\lbd$ est solution de l'�quation:
$\ln(1+x)-x=\ln(0,95)$.
\item Etudier les variations de la fonction $\vphi$ d�finie sur
$[0;+\infty[$ par: $\vphi(x)=\ln(1+x)-x$.
En d�duire que l'�quation de la question 1 admet une unique solution
$\lbd$ dans $[0;+\infty[$, dont on donnera un encadrement
d'amplitude $10^{-1}$.
\item Calculer la probabilit�:\quad $P(X\leqslant2)$.
\enen
\enex
\bgex {\it (Optionnel)}
Soit $X$ la variable al�atoire �gale � la dur�e de vie d'un
composant.
On admet que $X$ suit une loi de dur�e de vie sans viellissement, ou
encore loi exponentielle dont la fonction de r�partition est celle de
la loi exponentielle: \quad
$f(t)=\lbd e^{-\lbd t}$.
Soit $a$ et $h$ deux r�els positifs.
Montrer que la probabilit�
$P_{X>a}\lp X>a+h\rp$ ne d�pend pas de $a$.
\enex
\vspace{0.4cm}
\noindent{\large{\bf\ul{S�ries de Fouriers}}}
\vspace{-0.6cm}
\bgex
Soit $f$ la fonction de p�riode $1$ d�finie par
$f(t)=\la\bgar{lll}
1 &\text{ si } &0\leqslant t <\dfrac12 \\
0 &\text{ si } &\dfrac12\leqslant t <1
\enar\right.$.
\vspace{-0.6cm}
\bgen
\item Repr�senter graphiquement $f$ sur $[-2;2]$.
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur une p�riode.
\item D�terminer les coefficients $a_n$ et $b_n$ de la s�rie de
Fourier de $f$.
\item Calculer la valeur efficace $f_{eff}$ de $f$, donn�e par
$\dsp f_{eff}^2=\int_0^1 f^2(t)\,dt$.
\item Calculer $f_{eff}$ en utilisant la formule de Parseval tronqu�e
aux deux premiers harmoniques de la s�rie de Fourier de $f$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction 2-p�riodique d�finie par
$f(t)=\la\bgar{cll}
t+1 &\text{ si } &-1\leqslant t \leqslant \\
-t+1 &\text{ si } &0\leqslant t \leqslant 1
\enar\right.$.
\vspace{-0.3cm}
\bgen
\item Repr�senter graphiquement $f$ sur $[-4;4]$.
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur une p�riode.
\item D�terminer les coefficients $a_n$ et $b_n$ de la s�rie de
Fourier de $f$.
\item Calculer la valeur efficace $f_{eff}$ de $f$, donn�e par
$\dsp f_{eff}^2=\int_0^1 f^2(t)\,dt$.
\enen
\enex
\bgex {\it (Optionnel)}
Soit $f$ la fonction paire, 2-p�riodique d�finie par
$f(t)=e^t$ pour $t\in[0;1]$.
\bgen
\item Repr�senter graphiquement $f$ sur $[-3;3]$.
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur une p�riode.
\item D�terminer les coefficients $a_n$ et $b_n$ de la s�rie de
Fourier de $f$.
\enen
\enex
\end{document}
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