Source Latex
du cours de mathématiques
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\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de math�matiques - BTS},
pdftitle={Exercices de math�matiques - BTS},
pdfkeywords={Math�matiques, BTS,
Transform�e en z}
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\voffset=-.8cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=25.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.2cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Transform�es de Laplace et en z - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/BTS/Groupe-A/Mathematiques-BTS.php}{xymaths.fr - BTS}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}
%\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.8cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\vspace{0.4cm}
\bgex On consid�re le signal causal $x$ d�fini par la
repr�sentation graphique suivante:
\begin{center}
\psset{arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.8)
\psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
\psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(7,-0.1){$n$}
\psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
\psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
\multido{\i=-2+1}{9}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](0,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](-2.2,0)(0,0)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](1,0)(6.2,0)
\rput(5.5,1){$x(t)=0$ pour $t>1$}
\psline[linestyle=dashed](1,1)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\bgen
\item Compl�ter: \qquad
$
x(t)=\la\bgar{ll}
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } t<0 \\[0.3cm]
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad
\text{si } 0\leqslant t< 1 \\[0.3cm]
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad
\text{si } t\geqslant 1 \\[0.3cm]
\enar\right.
$
\item Donner alors une expression de $x(t)$ en fonction de $t$ et de
l'�chelon unit� $u(t)$ et de ses retard�s.
\item D�terminer alors la transform�e de Laplace, $X(p)$,
du signal $x$.
\item Retrouver le r�sultat pr�c�dent en utilisant directement la
d�finition de la transform�e de Laplace du signal causal $x$.
\enen
\enex
\vspace{0.8cm}
\bgex On consid�re le signal causal $x$ d�fini par la
repr�sentation graphique suivante:
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(6.8,3.8)
\psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
\psline{->}(0,-1.5)(0,3.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(7,-0.1){$n$}
\psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
\psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
\psline(-0.1,3)(0.1,3)\rput(-0.2,3){$3$}
\psline(-0.1,-1)(0.1,-1)\rput(-0.2,-1){-$1$}
\multido{\i=-2+1}{9}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\rput(5.5,1){$x(t)=0$ pour $t\geqslant 3$}
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](-2.2,0)(0,0)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](0,3)(3,0)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](3,0)(6.2,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\bgen
\item Compl�ter: \qquad
$
x(t)=\la\bgar{ll}
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } t<0 \\[0.3cm]
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad
\text{si } 0\leqslant t\leqslant 3 \\[0.3cm]
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } t\geqslant 3 \\[0.3cm]
\enar\right.
$
\item Donner alors une expression de $x(t)$ en fonction de $t$ et de
l'�chelon unit� $u(t)$ et de ses retard�s.
\item D�terminer alors la transform�e de Laplace, $X(p)$,
du signal $x$.
\item Retrouver le r�sultat pr�c�dent en utilisant directement la
d�finition de la transform�e de Laplace du signal causal $x$.
\enen
\enex
\clearpage
\bgex On consid�re le signal discret et causal $(x(n))$ d�fini par la
repr�sentation graphique suivante:
\begin{center}
\psset{arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.4)
\psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
\psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(7,-0.1){$n$}
\psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
\psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
\multido{\i=-2+1}{9}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(0,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(1,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(3,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5.5,1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 2$}
\psline[linestyle=dashed](0,1)(1,1)(1,0)(4,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\bgen
\item Compl�ter: \qquad
$
x(n)=\la\bgar{ll}
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } n<0 \\[0.3cm]
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad
\text{si } 0\leqslant n\leqslant 1 \\[0.3cm]
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad
\text{si } n\geqslant 2 \\[0.3cm]
\enar\right.
$
\item Donner alors une expression de $x(n)$ en fonction de $n$ et de
l'�chelon unit� discret $u(n)$ et de ses retard�s.
\item D�terminer alors la transform�e en $z$, $X(z)$, du signal
discret $(x(n))$.
\item Retrouver le r�sultat pr�c�dent en utilisant directement la
d�finition de la transform�e en $z$.
\enen
\enex
\vspq
\bgex On consid�re le signal discret et causal $(x(n))$ d�fini par la
repr�sentation graphique suivante:
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.6)(6.8,3.4)
\psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
\psline{->}(0,-1.5)(0,3.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(7,-0.1){$n$}
\psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
\psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
\psline(-0.1,3)(0.1,3)\rput(-0.2,3){$3$}
\psline(-0.1,-1)(0.1,-1)\rput(-0.2,-1){-$1$}
\multido{\i=-2+1}{9}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(0,3){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(1,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(2,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(3,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
\rput(5.5,1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 3$}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\bgen[I.]
\item En utilisant la d�finition de la transform�e en $z$, d�terminer
la transform�e en $z$, $X(z)$, de $(x(n))$.
\item
\bgen[1.]
\item Soit le polyn�me $P(z)=3z^4-4z^3+1$.
\bgen[a)]
\item Montrer que $1$ est une racine de $P$.
En d�duire une factorisation de $P$ sous la forme
$P(z)=(z-1)Q(z)$,
o� $Q(z)$ est un polyn�me que l'on d�terminera.
\item Montrer que $Q(1)=0$.
En d�duire une factorisation de $Q$, puis de $P$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Compl�ter:
\[
x(n)=\la\bgar{ll}
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } n<0 \\[0.3cm]
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad
\text{si } 0\leqslant n\leqslant 3 \\[0.3cm]
\qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } n\geqslant 3 \\[0.3cm]
\enar\right.
\]
\item Donner alors une expression de $x(n)$ en fonction de
$n$, en utilisant l'�chelon unit� $u(n)$ et ses retard�s.
\item D�terminer alors la transform�e en $z$, $X(z)$, du
signal $(x(n))$.
Montrer que $X(z)=\dfrac{P(z)}{z^2(z-1)}$,
et retrouver alors l'expression du I.
\enen
\enen
\enen
\enex
\end{document}
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