Source Latex: Cours de mathématiques en BTS


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Description
Exercices (non corrigés) de mathématiques en BTS: transformée en Z
Niveau
BTS
Mots clé
transformée en Z, transformation en Z, BTS
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de math�matiques - BTS},
    pdftitle={Exercices de math�matiques - BTS},
    pdfkeywords={Math�matiques, BTS, 
      Transform�e en z}
}
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\voffset=-.8cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=25.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.2cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm

\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Transform�es de Laplace et en z - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/BTS/Groupe-A/Mathematiques-BTS.php}{xymaths.fr - BTS}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}
%\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.8cm}


\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\vspace{0.4cm}

\bgex On consid�re le signal causal $x$ d�fini par la
repr�sentation graphique suivante: 

\begin{center}
\psset{arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.8)
  \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
  \psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(7,-0.1){$n$}
  \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
  \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
  \multido{\i=-2+1}{9}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
  }
  \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](0,1)(1,1)
  \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](-2.2,0)(0,0)
  \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](1,0)(6.2,0)
  \rput(5.5,1){$x(t)=0$ pour $t>1$}
  \psline[linestyle=dashed](1,1)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\bgen
\item Compl�ter: \qquad
        $
        x(t)=\la\bgar{ll}
        \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } t<0 \\[0.3cm]
        \qquad\qquad\dots\qquad\qquad 
        \text{si } 0\leqslant  t< 1 \\[0.3cm]
        \qquad\qquad\dots\qquad\qquad 
        \text{si } t\geqslant 1 \\[0.3cm]
        \enar\right.
        $

\item Donner alors une expression de $x(t)$ en fonction de $t$ et de
  l'�chelon unit� $u(t)$ et de ses retard�s. 

\item D�terminer alors la transform�e de Laplace, $X(p)$, 
  du signal $x$. 

\item Retrouver le r�sultat pr�c�dent en utilisant directement la
  d�finition de la transform�e de Laplace du signal causal $x$.
\enen
\enex


\vspace{0.8cm}
\bgex On consid�re le signal causal $x$ d�fini par la
repr�sentation graphique suivante: 

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(6.8,3.8)
  \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
  \psline{->}(0,-1.5)(0,3.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(7,-0.1){$n$}
  \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
  \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
  \psline(-0.1,3)(0.1,3)\rput(-0.2,3){$3$}
  \psline(-0.1,-1)(0.1,-1)\rput(-0.2,-1){-$1$}
  \multido{\i=-2+1}{9}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
  }
  \rput(5.5,1){$x(t)=0$ pour $t\geqslant 3$}
  \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](-2.2,0)(0,0)
  \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](0,3)(3,0)
  \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](3,0)(6.2,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\bgen
\item Compl�ter: \qquad
  $
  x(t)=\la\bgar{ll}
  \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } t<0 \\[0.3cm]
  \qquad\qquad\dots\qquad\qquad 
  \text{si } 0\leqslant t\leqslant 3 \\[0.3cm]
  \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } t\geqslant 3 \\[0.3cm]
  \enar\right.
  $
\item Donner alors une expression de $x(t)$ en fonction de $t$ et de
  l'�chelon unit� $u(t)$ et de ses retard�s. 

\item D�terminer alors la transform�e de Laplace, $X(p)$, 
  du signal $x$. 

\item Retrouver le r�sultat pr�c�dent en utilisant directement la
  d�finition de la transform�e de Laplace du signal causal $x$.

\enen
\enex


\clearpage
\bgex On consid�re le signal discret et causal $(x(n))$ d�fini par la
repr�sentation graphique suivante: 

\begin{center}
\psset{arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.4)
  \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
  \psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(7,-0.1){$n$}
  \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
  \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
  \multido{\i=-2+1}{9}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
  }
  \rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(0,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(1,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(3,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5.5,1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 2$}
  \psline[linestyle=dashed](0,1)(1,1)(1,0)(4,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\bgen
\item Compl�ter: \qquad
        $
        x(n)=\la\bgar{ll}
        \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } n<0 \\[0.3cm]
        \qquad\qquad\dots\qquad\qquad 
        \text{si } 0\leqslant  n\leqslant 1 \\[0.3cm]
        \qquad\qquad\dots\qquad\qquad 
        \text{si } n\geqslant 2 \\[0.3cm]
        \enar\right.
        $

\item Donner alors une expression de $x(n)$ en fonction de $n$ et de
  l'�chelon unit� discret $u(n)$ et de ses retard�s. 

\item D�terminer alors la transform�e en $z$, $X(z)$, du signal
  discret $(x(n))$. 

\item Retrouver le r�sultat pr�c�dent en utilisant directement la
  d�finition de la transform�e en $z$. 
\enen
\enex


\vspq
\bgex On consid�re le signal discret et causal $(x(n))$ d�fini par la
repr�sentation graphique suivante: 

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.6)(6.8,3.4)
  \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0)
  \psline{->}(0,-1.5)(0,3.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(7,-0.1){$n$}
  \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$}
  \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$}
  \psline(-0.1,3)(0.1,3)\rput(-0.2,3){$3$}
  \psline(-0.1,-1)(0.1,-1)\rput(-0.2,-1){-$1$}
  \multido{\i=-2+1}{9}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
  }
  \rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(0,3){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(1,2){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(2,1){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(3,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}}
  \rput(5.5,1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 3$}
  \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\bgen[I.]
\item En utilisant la d�finition de la transform�e en $z$, d�terminer
  la transform�e en $z$, $X(z)$, de $(x(n))$. 
 
\item 
  \bgen[1.] 
  \item Soit le polyn�me $P(z)=3z^4-4z^3+1$. 
    \bgen[a)] 
    \item Montrer que $1$ est une racine de $P$. 

      En d�duire une factorisation de $P$ sous la forme 
      $P(z)=(z-1)Q(z)$, 
      o� $Q(z)$ est un polyn�me que l'on d�terminera. 

      \item Montrer que $Q(1)=0$. 

        En d�duire une factorisation de $Q$, puis de $P$. 
    \enen

    \item 
      \bgen[a)] 
      \item Compl�ter: 
        \[
        x(n)=\la\bgar{ll}
        \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } n<0 \\[0.3cm]
        \qquad\qquad\dots\qquad\qquad 
        \text{si } 0\leqslant n\leqslant 3 \\[0.3cm]
        \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } n\geqslant 3 \\[0.3cm]
        \enar\right.
        \]

        \item Donner alors une expression de $x(n)$ en fonction de
          $n$, en utilisant l'�chelon unit� $u(n)$ et ses retard�s. 

        \item D�terminer alors la transform�e en $z$, $X(z)$, du
          signal $(x(n))$. 

          Montrer que $X(z)=\dfrac{P(z)}{z^2(z-1)}$, 
          et retrouver alors l'expression du I.

      \enen
  \enen
\enen
\enex

\end{document}

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