@ccueil Colles

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Description
Cours de mathématiques en BTS: fonctions
Niveau
BTS
Table des matières
  • Fonctions usuelles
    • Fonctions en escalier
    • Fonctions affines
    • Fonction logarithme
    • Fonction exponentielle
    • Fonctions puissances
  • Limites
    • Interprétation graphique
    • Limites des fonctions usuelles
    • Opérations sur les limites: somme, produit, quotient et composition
    • Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées
    • Croissances comparées de l'exponentielle, du logarithme et des polynômes
    • Dérivation
      • Nombre dérivé en un point
      • Fonction dérivée
      • Opérations
      • Dérivées successives
      • Equation de la tangente
    • Etude des variations d'une fonction
      • Lien entre dérivation et sens de variation
      • Extremum d'une fonction
      • Résolution d'équations
Mots clé
fonction, étude de fonction, sens de variation, dérivée, limite, BTS
Voir aussi:

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pdficon
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\usepackage{pst-all}
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: Fonctions},
    pdftitle={Algorithmique},
    pdfkeywords={Mathématiques, BTS, MI, maintenance industrielle, 
      fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée}
}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\newcommand{\Lim}[2]{\left.\begin{array}{lcr} #1\\ #2 \end{array}\right\}}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

%\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
%\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Concernant la mise en page des algo:
\definecolor{grayp}{gray}{0.8}
\definecolor{graypc}{gray}{0.65}
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.6cm}

\nwc{\PI}{\hspace*{\ProgIndent}}
\nwc{\DPI}{\hspace*{2\ProgIndent}}
\nwc{\TPI}{\hspace*{3\ProgIndent}}
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\newlength{\lgcoin}\setlength{\lgcoin}{3ex}
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\newlength{\plgshadow}\setlength{\plgshadow}{0.5ex}
\nwc{\Prog}[3]{%
  %\par\vspd%
  \bgmp[t]{#2+0.5cm}%\linewidth}
  \hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
  \psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
    \emph{\textcolor{white}{\!\!#1}}} \\
  \vspace*{-0.5ex}\\
  \bgmp{#2}
  %\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
  \settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#2}#3\enmp}}
  \setlength{\phgn}{\phgn-2ex}
  \setlength{\plgn}{\linewidth}
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  \setlength{\phgtqg}{\phgtq}\addtolength{\phgtqg}{-\lgshadow}
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  \setlength{\phgng}{\phgnp}\addtolength{\phgng}{\lgshadow}
  \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
  (\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
  \pspolygon[linewidth=0.6pt,linecolor=graypc,fillstyle=solid,fillcolor=graypc]%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \par
  \bgmp{\linewidth}#3\enmp
  \enmp
  \enmp
  \vspd
}

% et pour les progs casio:
\nwc{\return}{
  \psset{unit=1cm,arrowsize=4pt}
  \psline{<-}(0,0.1)(0.3,0.1)(0.3,0.25)}
\nwc{\disp}{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.2,0)(0.2,0.15)}



% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions d'une variable réelle}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/BTS/}}
\rfoot{\TITLE\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\psset{arrowsize=6pt}

\vspace*{1.5cm}

\ct{\LARGE\textcolor{blue}{\TITLE}}
\smallskip
\ct{\Large\textcolor{blue}{BTS}}

\vspace*{1.5cm}

\newlength{\baselinebase}
\setlength{\baselinebase}{\baselineskip}

\setlength{\baselineskip}{0.6cm} 
\tableofcontents
\setlength{\baselineskip}{\baselinebase} 

\setlength{\parskip}{2ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm} 



\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fonctions usuelles}
\vspace{-0.5cm}

\subsection{Fonctions en escalier}

\vspace{-0.8cm}
\bgdef{
   Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles.
}


\bgex La fonction définie sur $[-8~;+\infty~[$ par $f(x)=
   \left\{\begin{array}{rcl}
          -2 & \text{si} & -8 \leq x < -2 \\
          6 & \text{si} & -2 \leq x \leq 0 \\
          3 & \text{si} & 0 < x < 4 \\
          1 & \text{si} & 4 \leq x \\
          \end{array}\right.$ \quad est une fonction en escalier.
\vspace{-0.8cm}

\begin{center}
  \psset{unit=0.5}
   \begin{pspicture}(-9,-3)(15,7)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-9,-3)(15,7)
      \psaxes[linewidth=1.3pt,Dx=2,Dy=2,arrowsize=7pt]{->}(0,0)(-9.2,-3.2)(15.5,7.5)
      \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red]{*-[}(-8,-2)(-2,-2)
      \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{*-*}(-2,6)(0,6)
      \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=orange]{]-[}(0,3)(4,3)
      \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=green]{*-}(4,1)(15.2,1)
   \end{pspicture}
\end{center}
\enex

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonctions affines}
\vspace{-0.8cm}

\bgdef{
   $a$ et $b$ sont deux réels donnés. La fonction définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est appelée \underline{fonction affine}. \\
   Sa représentation graphique est la droite d'équation $y = ax+b$, où:
   \bgit
      \item Le réel $a$ est le coefficient directeur de cette droite.
      \item Le réel $b$ est l'ordonnée à l'origine.
   \enit
}

Une fonction affine est dérivable sur $\R$ de dérivée $f'(x)=a$. 
D'où les tableaux de variation suivants :

\bgmp{8cm}
   \begin{center}
      $a>0$ \\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c|lcccr|} 
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         signe de $f'(x)$ & & & $+$ & & \\
         \hline
         variations & \psline{->}(1,-0.5)(3.5,0.1) & & & & $+\infty$ \\
         de $f$ & $-\infty$ & & & & \\
         \hline
         signe de $f$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
\enmp\hfill
\bgmp{8cm}
   \begin{center}
      $a<0$ \\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c|lcccr|} 
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         signe de $f'(x)$ & & & $-$ & & \\
         \hline
         variations & $+\infty$ \psline{->}(0,0.1)(2.6,-0.3) & & & & \\
         de $f$ & & & & & $-\infty$ \\
         \hline
         signe de $f$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
\enmp

\noindent
\bgmp{11.5cm}
\bgex
Le graphique ci-contre représente les droites d'équation: 
\vsp
   
      $d_1:y=x+1$ \\   
      $d_2:y=2$ \\     
      $d_3:y=-3x-2$ \\ 
      $d_4:x=-1$ \\    
      $d_5:y=\dfrac34x-3$ \\
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}%\vspace*{-0.8cm}
   \psset{unit=0.6cm}
   \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-4,-4)(4,4)
      \psaxes[arrowsize=6pt,labels=none]{->}(0,0)(-4,-4)(4.5,4.5)
      \rput(-0.25,-0.25){$0$}
      \rput(1,-0.3){$1$}
      \rput(-0.3,1){$1$}
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=red](-4,2)(4,2)    
      \rput(-3.3,2.3){\textcolor{red}{$d_2$}}
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](-1,-4)(-1,4)
      \rput(-0.6,3.5){\textcolor{blue}{$d_4$}}
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=orange](-4,-3)(3,4)
      \rput(-3,-1.5){\textcolor{orange}{$d_1$}}
      \psline[linewidth=0.05,linecolor=green](-2,4)(0.67,-4)
      \rput(1,-3.8){\textcolor{green}{$d_3$}}
      \psline[linewidth=0.05](-1.33,-4)(4,0)
      \rput(3,-1.2){$d_5$}
   \end{pspicture}
\enmp



\vspace{-0.6cm}

\subsection{Fonction logarithme}
\vspace{-0.8cm}

\bgdef{
   La fonction \underline{logarithme népérien}, notée $\ln$, est l'unique primitive de la fonction $x\to \dfrac1x$ définie sur $]~0~;~+\infty~[$ qui s'annule en $1$.
}


Conséquences directes :
\begin{itemize}
\item $\ln(1)=0$,
\item la fonction logarithme népérien est dérivable sur $]~0~;~+\infty~[$ et pour tout  $x>0$, $\ln'(x)=\dfrac1x$.
\end{itemize}

\bgprop{
Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs et $n$ est un entier naturel, alors : 
\bgen[$\bullet$]
\item $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$
  \quad$\bullet$\quad 
  $\ln\lp\dfrac{a}{b}\rp=\ln(a)-\ln(b)$.
\item $\ln\left(\dfrac1a\right)= -\ln(a)$
  \qquad 
  $\bullet\ \ln(a^n)=n\ln(a)$
  \qquad
  $\bullet\ \ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac12\ln(a)$.
\enen
}


\vspd

\bgex
Transformations d'expressions numériques et algébriques :
\bgit
\item $\ln\left(\dfrac{192}{108}\right) =\ln\left(\dfrac{16}{9}\right) =\ln(16)-\ln(9)=\ln(2^4)-\ln(3^2) =4\ln(2)-2\ln(3)$.
\item $\ln(\sqrt{96}) =\dfrac12\ln(96) =\dfrac12\ln(2^5\times3) =\dfrac12[5\ln(2)+\ln(3)]$.
\item $\ln(x+3)+\ln(2x+1) =\ln[(x+3)(2x+1)] =\ln(2x^2+7x+3)$ pour $x\in-\left]~\dfrac12~;~+\infty~\right[$.
\enit
\enex

\bgprop{
\qquad
$\bullet$ $\lim\limits_{x \to 0^+}\ln x=-\infty$
\qquad
$\bullet$ $\lim\limits_{x \to +\infty}\ln x=+\infty$.
}

\vspd
\textbf{Conséquence graphique:}
La droite $x=0$ est donc asymptote verticale à la courbe
représentative de la fonction $\ln$. 

\begin{minipage}{8cm}
  D'où le tableau de variations et la courbe:
   \begin{center}   
%   \renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
      \begin{tabular}{|c|lcr|}
         \hline
         $x$ & $0$ & $1$ & $+\infty$ \\
         \hline
         $f'(x)$ & & $+$ & \\
         \hline
         & & & $+\infty$ \\
         $f$ & & $\psline[arrowsize=6pt]{->}(-.8,-0.3)(.8,0.3)$ & \\
         & $-\infty$ & & \\
         \hline
         signe & ~~~~~~$-$ & $0$ & $+$~~~~~~\\
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{minipage}                                                     
\begin{minipage}{12cm}
   \psset{xunit=0.6,yunit=0.5}
   \begin{pspicture}(-2,-5.2)(9,2.4)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](-1,-5)(9,3)
      \psaxes{->}(0,0)(-1,-5)(9,3)
      \psplot[linecolor=red]{0.006}{9}{x ln}
      \rput{15}(4,2){\textcolor{red}{$y=\ln(x)$}}
      \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.7,0)(2.7,1)(0,1)
      \rput(2.6,-0.4){\textcolor{blue}{$e$}}
      \psdot[linecolor=red](1,0)
      \psdot[linecolor=red](2.7,1)
   \end{pspicture}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction exponentielle}
\vspace{-0.8cm}

\bgdef{La fonction \underline{exponentielle} est la fonction définie sur
  $\R$ par $\exp(x)=e^x$, $e^x$ étant l'unique nombre réel positif dont
  le logarithme vaut $x$. 
}


\ul{Remarque:}
\textit{
  Les fonctions exponentielle et logarithme sont réciproques l'une de
  l'autre:
  \[
  \text{Pour tous réels $x$ et $y>0$, }\qquad
    y=e^x \iff \ln(y)=x
    \quad\text{ et } \quad
    \ln\lp e^x\rp=x
    \quad\text{ et }\quad
    e^{\ln y}=y
  \]
Graphiquement, les courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice ($y=x$) dans un repère othonormal.}

 
\textbf{Conséquences directes:}
$\bullet\ \exp(x)=e^x >0$ et 
$\exp(1)=e^1=e\approx 2,718$. 

\bgprop{
Soient $a$ et $b$ deux réels et $n$ est un entier relatif, alors : 

$\bullet$
$e^a\tm e^b=e^{a+b}$
\quad$\bullet\ \dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$
\quad $\bullet\ \dfrac{1}{e^a}=e^{-a}$ \qquad
  $\bullet\ \lp e^a\rp^n=e^{an}$.
}


\bgex
  Transformations d'expressions numériques et algébriques :
  \bgit
\item $e^2\times e^3\times \dfrac{1}{e^4}\times(e^{-2})^{-3} =e^{2+3-4+6}=e^7$.
\item $e^{x+3}\times e^{2x+1} =e^{(x+3)+(2x+1)} =e^{3x+4}.$
\item $(e^{x-2})^2 =e^{2x-4}.$
\enit
\enex

\smallskip

\bgprop{
\quad $\bullet\lim\limits_{x \to -\infty}e^x=0$.
\qquad $\bullet\lim\limits_{x \to +\infty}e^x=+\infty$.
}

\textbf{Conséquence graphique:}
La droite d'équation $y=0$ est donc une asymptote horizontale à la
courbe représentative de la fonction $\exp$. 

\bgprop{
  La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ de dérivée $(e^x)'=e^x$.
}

\begin{minipage}{7cm}
  D'où le tableau de variations et la courbe:
   \begin{center}   
     %\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
      \begin{tabular}{|c|lcr|}
         \hline
         $x$ & $-\infty$ & $0$ & $+\infty$ \\
         \hline
         $f'(x)$ & & $+$ & \\
         \hline
         & & & $+\infty$ \\
         $f$ & & $\psline{->}(-0.8,-0.3)(.8,0.3)$ & \\
         & $0$ & & \\
         \hline
         signe & & $+$ & \\
         \hline
      \end{tabular}
   \end{center}
\end{minipage}                                                     
\begin{minipage}{12cm}
   \psset{xunit=0.6,yunit=0.5}
   \begin{pspicture}(-7,-1)(3,6)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-5,-1)(3,6)
      \psaxes[arrowsize=6pt,labels=none]{->}(0,0)(-5,-1)(3,6)
      \rput(-0.3,1){1}
      \rput(1,-0.5){1}
      \psplot[linecolor=red]{-5}{1.8}{2.72 x exp}
      \rput{72}(2,3.5){\textcolor{red}{$y=\exp(x)$}}
   \end{pspicture}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonctions puissance}
\vspace{-0.8cm}

\bgdef{
  Soit $\alpha$ un nombre réel, la fonction puissance (d'exposant)
  $\alpha$, notée $f_{\alpha}$ est la fonction qui, à tout nombre
  $x\in\R^*_+$ associe $$f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x}$$ 
}

\bgex
Dans le cas où $\alpha=\dfrac12$, on a $f_{\frac12}(x)=x^{\frac12}=e^{\frac12\ln x}=\sqrt{x}$.
\enex

\bgprop{
Pour tout $\alpha$, la fonction $f_{\alpha}$ est dérivable sur
$\R^*_+$ de dérivée $f'_{\alpha}(x)=\alpha x^{\alpha-1}$. 
}

\textbf{Sens de variation : }\\
Dans le cas où $\alpha=0$, la fonction $f_0(x)=x^0=1$ est constante
sur $\R_+^*$.\\ 

Dans le cas où $\alpha\not= 0$, $f'_{\alpha}(x)=\alpha x^{\alpha-1}$
est du signe de $\alpha$ sur $\R^*_+$. 

D'où les tableaux de variation suivants :

\bgmp{8cm}
   \begin{center}
      $\alpha<0$\\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c||lcr|} 
         \hline
         $x$ & $0$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         signe de $f'_{\alpha}(x)$ & & $-$ & \\
         \hline
         variations & $+\infty$ \psline{->}(0,0.1)(1.5,-0.8) & & \\
         de $f_{\alpha}$ & & & \\
         & & & $0$ \\
         \hline
         signe de $f_{\alpha}$ & & $+$ & \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
\enmp
\bgmp{8cm}
  \begin{center}
      $\alpha>0$\\
      \vspace{0.1cm}
      \begin{tabular}{|c||lcr|} 
         \hline
         $x$ & $0$ & & $+\infty$ \\ 
         \hline
         signe de $f'_{\alpha}(x)$ & & $+$ & \\
         \hline
         variations & \psline{->}(0.4,-0.8)(1.8,0) & & $+\infty$\\
         de $f_{\alpha}$ & & &  \\
         & $0$ & & \\
         \hline
         signe de $f_{\alpha}$ & & $+$ & \\
         \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
\enmp

Allure des courbes représentatives des fonctions puissance: 

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,0)(5,5)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(5,5)
      \psaxes{->}(0,0)(0,0)(5,5)
      \psplot[linecolor=red]{0.2}{5}{x -1 exp}
      \psplot[linecolor=blue]{0.04}{5}{x -0.5 exp} 
      \psplot[linecolor=green]{0.58}{5}{x -3 exp}     
      \rput(4,4){\textcolor{blue}{$y=x^{-0.5}$}}
      \rput(4,3){\textcolor{red}{$y=x^{-1}$}}
      \rput(4,2){\textcolor{green}{$y=x^{-3}$}}
      \psdot(1,1)
   \end{pspicture} \\ 
   \begin{pspicture}(0,0)(5,5)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(5,5)
      \psaxes{->}(0,0)(0,0)(5,5)
      \psplot[linecolor=red]{0}{5}{x 1 exp}
      \psplot[linecolor=blue]{0}{5}{x 0.5 exp} 
      \psplot[linecolor=green]{0}{2.24}{x 2 exp}     
      \rput{15}(4,2.3){\textcolor{blue}{$y=x^{0.5}$}}
      \rput{45}(4,3.5){\textcolor{red}{$y=x^1$}}
      \rput{75}(2.2,3.5){\textcolor{green}{$y=x^2$}}
      \psdot(1,1)
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Limites}
\vspace{-0.6cm}

\subsection{Interprétation graphique}
\vspace{-0.3cm}

\underline{Limite en un point:} 
         \psset{xunit=0.7,yunit=0.5}
     
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-3}{4}{1 3 x add sqrt add}
            \psdot[linecolor=blue](-3,1)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      \bgmp{5.4cm}
      \[\lim\limits_{x\to -3}f(x)=1\]
      Il n'y a pas d'asymptote.\\
      \enmp
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}
   \begin{minipage}{6cm}      
      \begin{flushleft}
         \begin{pspicture}(-2,-1)(6,7.)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(6,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-2,-1)(6,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2}{1.62}{1 x -2 add x -2 add mul div}
            \psplot[linecolor=red]{2.38}{6}{1 x -2 add x -2 add mul div}
            \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](2,-1)(2,7)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}   
      \bgmp{5.4cm}
      \[\lim\limits_{x\to 2}f(x)=+\infty\]
      La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=2$.
      \enmp
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}   
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \begin{pspicture}(-6,-6)(1,2.)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(1,2)
            \psaxes{->}(0,0)(-6,-6)(1,2)
            \psplot[linecolor=red]{-6}{-2.17}{1 2 x add div}
            \psplot[linecolor=red]{-1.5}{1}{1 2 x add div}
            \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-2,2)(-2,-6)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      \bgmp{5.4cm}
      \[\lim\limits_{x\to -2^-}f(x)=-\infty\]
      La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=-2$.
      \enmp
   \end{minipage}

\underline{Limite en $\infty$ :} 

   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2.8}{4}{2 1 3 x add div add}
            \psplot[linecolor=red]{-4}{-3.32}{2 1 3 x add div add}
            \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-4,2)(4,2)
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      \bgmp{5.4cm}
      \[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=2\]
      La courbe admet une asymptote horizontale d'équation $y=2$.
      \enmp
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}
   \begin{minipage}{6cm}      
      \begin{flushleft}
         \begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{x x mul}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}   
      \bgmp{5.4cm}
      \[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\]
      Il n'y a pas d'asymptote.\\
      \enmp
   \end{minipage}
\hspace{0.2cm}   
   \begin{minipage}{6cm}
      \begin{flushleft}
         \begin{pspicture}(-4,-6)(4,2.)
            \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psaxes{->}(0,0)(-4,-6)(4,2)
            \psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{1 x x mul -1 mul add}
         \end{pspicture}
      \end{flushleft}
      \bgmp{5.4cm}
      \[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty\]
      Il n'y a pas d'asymptote.\\
      \enmp
   \end{minipage}



\bgdef{
   Soit $f$ une fonction et $d$ la droite d'équation $y=ax+b$ tel que: 
   \[\lim\limits_{x \to \pm\infty}\Bigl[ f(x)-(ax+b)\Bigr]=0\] 
   on dit alors que
   la droite $d$ est une \underline{asymptote oblique} à la courbe
   représentative $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$. 
}

\bgex
   Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1$.
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
         \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(6,4)
         \psaxes{->}(0,0)(-6,-4)(6,4)
         \psplot[linecolor=red]{-6}{-0.2}{0.5 x mul 1 add 1 x div add}
         \psplot[linecolor=red]{0.35}{6}{0.5 x mul 1 add 1 x div add}
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-6,-2)(6,4)
      \end{pspicture}
   \end{center}

   On a 
   $f(x)-\left(\dfrac12x+1\right)=\dfrac1x$ 
   et donc 
   $\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(\dfrac12x+1\right)\right]
   =\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$.  

   Ainsi la courbe admet une asymptote oblique d'équation $y=\dfrac12x+1$.
\enex


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Limites des fonctions usuelles}

Voici un tableau qui résume les différentes limites des fonctions de
référence (la notation \og $*$ \fg signifie qu'il faut appliquer la
\og règle des signes \fg). 
\begin{center}
  \begin{tabular}{|c|*{8}{c|}}
    \hline\rule[-0.5cm]{0cm}{1.2cm}
   $f(x)$ & $x^n$, $n\in\N$ & $\dfrac{1}{x^n}=x^{-n}$, $n\in\N$ & $x^{\alpha}$, $\alpha>0$ & $\dfrac{1}{x^{\alpha}}$, $\alpha>0$ & $\ln x$ & $\exp x$ & $\cos x$ & $\sin x$ \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to -\infty}$ & $*\infty$ & $0^*$ &  indéfini & indéfini & indéfini & $0^+$ & aucune & aucune \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to 0^-}$ & $0^*$ & $*\infty$ & indéfini & indéfini & indéfini & $1^-$ & $1^-$ & $0^-$ \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to 0^+}$ & $0^+$ & $+\infty$ & $0^+$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $1^+$ & $1^+$ & $0^+$ \\
   \hline
   $\lim\limits_{x \to +\infty}$ & $+\infty$ & $0^+$ & $+\infty$ & $0^+$ & $+\infty$ & $+\infty$ & aucune & aucune \\
   \hline
   \end{tabular}
   \end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Opérations sur les limites}

Dans tout ce qui suit, la notation \og FI \fg{} désigne une Forme
Indéterminée, c'est à dire qu'on ne sait pas déterminer directement, 
sans autre calcul, par une règle élémentaire. 


\subsubsection{Limite d'une somme}

\vspace{-1cm}

\hspace{6cm}
\begin{tabular}{|*{6}{c|}}
   \hline  
   $\lim~f$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ \\ 
   \hline  
   $\lim~g$ & $l'$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ \\ 
   \hline  
   $\lim~(f+g)$ & $l+l'$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & FI \\ 
   \hline 
\end{tabular} 


\smallskip

\bgex
Calcul de \og sommes \fg{} de limites:

\bgen[$\bullet$]
\item 
  $\left.\bgar{lll}
  \lim\limits_{x \to 0}~e^x&=&1\\
  \lim\limits_{x \to 0}~x^3&=&0
  \enar\right\}
  \quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(e^x+x^3\right)=1$.
\item 
  $\left.\bgar{lll}
  \lim\limits_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^-\\
  \lim\limits_{x \to -\infty}~x^2&=&+\infty
  \enar\right\}
  \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{1}{x}+x^2\right)=+\infty$
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~\ln x&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to +\infty}~x^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\ln x+x^2\right)=+\infty$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~x&=&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x+x^3\right)=-\infty$.    
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x^2+x^3\right)$ \quad est une forme indéterminée du type $\infty-\infty$.
\enen
\enex

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Limite d'un produit}
\vspace{-1cm}

\hspace{6cm}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
  \hline  
  $\lim~f$ & $l$ & $l\neq 0$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
  \hline  
  $\lim~g$ &$l'$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \\ 
  \hline
  $\lim~(f\times g)$ & $l\times l'$ & $*\infty$& $*\infty$ & FI \\ 
  \hline 
\end{tabular} 


\bgex
Calcul de \og produit \fg{} de limites :
\bgen[$\bullet$]
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(e^x+3)&=&4}{\lim\limits_{x\to 0}~(e^x-2)&=&-1} \quad \lim\limits_{x \to 0}~[(e^x+3)\times(e^x-2)]=-4$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~(x-3)&=&-3}{\lim\limits_{x \to 0^+}~\dfrac{1}{x}&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left[(x-3)\times \dfrac{1}{x}\right]=-\infty$
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x-1)& =&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}[(x-1)\times x^3]=+\infty$.   
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x^2+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^-} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left[(x^2+1)\times \dfrac{1}{x}\right]$ \quad est une forme indéterminée du type $0\times\infty$.
\enen
\enex

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Limite d'un quotient}

\vspace{-1cm}

\hspace{6cm}
\begin{tabular}{|c|*{6}{c|}}
  \hline  
  $\lim~f$ & $l$ & $l$ & $l$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
  \hline  
  $\lim~g$ & $l'\neq 0$ & $\pm\infty$ & $0$ & $l'$ & $\pm\infty$ & $0$ \\ 
  \hline  
  $\lim~\left(\dfrac{f}{g}\right)$ & $\dfrac{l}{l'}$ & $0$ & $*\infty$ & $*\infty$  & FI & FI \\ 
  \hline 
\end{tabular} 


\bgex
   Calcul de \og quotients \fg{} de limites :
   \bgit
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(e^x+3)&=&4}{\lim\limits_{x\to 0}~e^x-2)&=&-1} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{e^x+3}{e^x-2}\right)=e^5$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~\left(\dfrac{1}{x}-3\right)&=&-3}{\lim\limits_{x \to +\infty}~x^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{\frac{1}{x}-3}{x^2}\right)=0^-$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~x-4&=&-4}{\lim\limits_{x \to 0^+}~x&=&0^+} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{x-4}{x}\right)=-\infty$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x&=&-\infty}{\lim\limits_{x \to 0^+}~(x-1)&=&-1} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{\ln x}{x-1}\right)=+\infty$.
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x-1)&=&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{x-1}{x^3}\right)$ \quad est une forme indéterminée.   
      \item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~x^2&=&0}{\lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x}&=&0} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}\right)$ \quad est une forme indéterminée .
   \enit
\enex

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Compositions}
\vspace{-0.8cm}

\bgprop{
  Soient deux fonctions : $f$ définie de $I$ dans $J$ et $g$ de $J$
  dans $\R$. \\ 
  Si $\Lim{\lim\limits_{x \to a}f(x)=b}{\lim\limits_{x \to b}g(x)=c}$
  \quad alors \quad 
  $\lim\limits_{x \to a}~(g\circ f)(x)=\lim\limits_{x \to a}g[f(x)]=c$. 
}

\bgex
Calcul de "composition" de limites :
\bgen[$\bullet$]
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x+3)&=&-\infty}{\lim\limits_{X\to -\infty}~e^X&=&0} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}~e^{x+3}=0$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~(2x+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to +\infty}~\ln X&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}~\ln(2x+1)=+\infty$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(x+4)&=&4}{\lim\limits_{X\to 4}~\sqrt{X}&=&2} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x+4}=2$.
\enen
\enex


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées}

Dans ce cas, toutes les situations sont {\it a priori} possibles :
existence d'une limite finie, nulle ou non ; existence d'une limite
infinie ; absence de limite. 

Les quatre cas d'indétermination des limites sont:

\begin{center}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    $\lim f(x)$ & $\lim g(x)$ & Limite indéterminée & type d'indétermination \\
    \hline
    $+\infty$ & $-\infty$ & $f(x)+g(x)$ & $\infty - \infty$ \\
    \hline
    $0$ & $\pm \infty$ & $f(x) \times g(x)$ & $0 \times  \infty$ \\
    \hline
    $0$ & $0$ & $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ & $\dfrac{0}{0}$ \\
    \hline
    $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ & $\dfrac{\infty}{\infty}$ \\
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}


\bgex
Indétermination du type \og $\infty-\infty$ \fg{}, par exemple: 
$\lim\limits_{x\to +\infty}~(3x^2-x)$

En effet, 
$\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~3x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to
    +\infty}~x&=&+\infty} \quad \text{ donc }\lim\limits_{x\to +\infty}~(3x^2-x)$ est une forme indéterminée du type $\infty-\infty$. 

Le terme prépondérant est $x^2$ que l'on met donc en facteur: 
  $f(x)=3x^2-x=x^2\left(3-\dfrac{1}{x}\right)$.

$\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(3-\dfrac{1}{x}\right)&=&1}$ d'où $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.	  
\enex

\bgsk

\ul{Remarques:}
\textit{De manière générale, le comportement d'une fonction polynomiale en $\pm \infty$ est dicté par le comportement
de son terme de plus haut degré en $\pm \infty$.\\[0.3cm]
De manière tout aussi générale, pour lever l'indétermination dans une
somme ou soustraction de termes, on factorise par le terme
prépondérant (le terme de plus haut degré dans une expression polynômiale\dots)
}


\smallskip

\bgex
Indétermination du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{} :    
\bgit
\item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~(x^2+2x+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~(2x^2-3)&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~\left(\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3}\right)$ est une forme indéterminée du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{} . 
\item Pour $x\not= 0$, on factorise par la puissance de $x$ maximale et on simplifie : \\
  \hspace*{0.3cm} $f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3} =\dfrac{x^2\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\dfrac{3}{x^2}\right)} =\dfrac{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{2-\dfrac{3}{x^2}}$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)&=&1}{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(2-\frac{3}{x^2}\right)&=&2} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~f(x)=\dfrac12$.     
\enit
\enex
  
\vspq

\ul{Remarque:}
\textit{De manière générale, le comportement d'une fraction rationnelle en $\pm \infty$ est dictée par le comportement
du quotient des deux termes de plus haut degré.}


\smallskip

\bgex
Indétermination du type \og $0\times \infty$ \fg{} :
\bgit
\item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~\dfrac{1}{x}& =&0}{\lim\limits_{x\to +\infty}~(x^2+1)&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~\left[\dfrac{1}{x}(x^2+1)\right]$ est une forme indéterminée du type \og $0\times\infty$ \fg{}. 
\item On développe : $f(x)=\dfrac{1}{x}(x^2+1)=x+\dfrac{1}{x}$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~x&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^+}$ d'où $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.	  
\enit
\enex

\smallskip

\bgex
Indétermination du type \og $\dfrac00$ \fg{} :
\bgit
\item $\Lim{\lim\limits_{x\to 1}~(x^2-1)&=&0}{\lim\limits_{x\to 1}~(x-1)&=&0} \quad \lim\limits_{x\to 1}~\left(\dfrac{x^2-1}{x-1}\right)$ est une forme indéterminée du type $\dfrac00$. 
\item On factorise : $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$.
\item $\lim\limits_{x\to 1}~(x-1)=0$ \quad donc : \quad $\lim\limits_{x\to 1}~f(x)=0$.
\enit
\enex

\smallskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Croissance comparée de l'exponentielle, du logarithme et des fonctions puissance}

\bgprop{
  Pour tout nombre réel $\alpha>0$:
  $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^{\alpha}}=0$ 
  et, 
  $\dsp\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^{\alpha}}=+\infty$, 

  \vspd
  En particulier, pour $\alpha=1$, 
  $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$, 
  et 
  $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$.
}


\vspq
\textbf{L'idée à retenir :}
En $+\infty$, on a l'ordre de prépondérance: 
"\ $\ln x<\!\!\!<x^\alpha<\!\!\!<e^x$\ "

\bgcorol{
  Pour tout $\alpha>0$, 
  $\dsp\lim_{x\to0}\ x^\alpha\ln x=0$ 
  et 
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}\ x^\alpha e^x=0$. 

  \vspd
  En particulier, pour $\alpha=1$, 
  $\dsp\lim_{x\to0}\ x\ln x=0$ 
  et 
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}\ x e^x=0$. 
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Dérivation}

Dans cette partie, $f$ est une fonction numérique définie sur un intervalle $I$, $C$ sa courbe représentative dans un repère. $a$ et $x$ sont deux réels distincts de $I$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Nombre dérivé en un point} 

On souhaite trouver une fonction affine (droite) qui réalise une bonne approximation de la fonction $f$ au voisinage d'un point d'une courbe.

\medskip

\bgex
Pour $h$ voisin de $0$, on a :
\bgit
\item $(1+h)^2=1+2h+h^2$ \hspace{2cm} donc, quand $h$ tend vers $0$ : $(1+h)^2 \approx 1+2h$. \\
\item $(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3$ \hspace{1cm} donc,  quand $h$ tend vers $0$ : $(1+h)^3 \approx 1+3h$. \\ 
\item $\dfrac{1}{1+h}=1-h+\dfrac{h^2}{1+h}$ \hspace{2cm} donc, quand $h$ tend vers $0$ : $\dfrac{1}{1+h} \approx 1-h$.
\enit
\enex

\bgdef{
  Soit $f$ une fonction définie en $a$ et au voisinage de $a$, on dit que $f$ est \underline{dérivable en $a$} s'il existe un réel $A$ est une fonction $\epsilon$ tels que, au voisinage de $h=0$, on a :
  $$f(a+h)=f(a)+Ah+h\epsi(h), \text{ avec } \lim_{h\to 0}~\epsilon(h)=0.$$
  A est appelé \underline{nombre dérivé} de $f$ en $a$, 
  et est noté $f'(a)$. 
}

\smallskip

\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$. 

\[\bgar{llrcc}
f(a+h)=(a+h)^2=a^2+2ah+h^2
&=f(a)+&(2a)h&+&h\tm h \\[0.3cm]
&=f(a)+&Ah&+&h\,\epsi(h)
\enar\]

Donc, $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $A=2a$: 
$f'(a)=2a$.  
\enex

\smallskip

\bgdef{
 \bgit
 \item Le \underline{taux de variation} de la fonction $f$ entre $a$ et $x$ est le quotient :
$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
 \item Avec $x=a+h\iff x-a=h$, 
   ce quotient s'écrit aussi : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
 \item $f$ est \underline{dérivable} en $a$ et on note cette dérivée $f'(a)$ si la limite suivante existe :
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
\enit
}

\smallskip

\bgex
Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$.
\bgit
\item  le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : \\
  \hspace*{0.3cm} $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h} =\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} =\dfrac{2ah+h^2}{h} =2a+h$.
\item donc, $f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}~(2a+h)=2a$.
\item En particulier, $f'(3)=6$, $f'(0)=0$ ...
\enit
\enex

\vspd
\begin{minipage}{10.5cm}
  \textbf{Interprétation graphique :}\\
   Lorsque $h$ se rapproche de $0$, le point $M$ se rapproche du point~$A$. \\
   Ainsi, la droite $(AM)$ se rapproche de la tangente $\mathcal{T}$
   au point~$A$ \\ 
   $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ au point d'abscisse $a$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
  \psset{unit=0.8cm}
   \begin{center}
   \begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
      \psaxes[labels=non]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
      \psplot[linewidth=0.05]{0.55}{5.46}{x x mul -1 mul 6 x mul add -4 add}
      \psdot(1,1)
      \rput(1.3,1){$A$}
      \rput(1,-0.6){$a$}
      \rput(-0.6,1){$f(a)$}
      \psdot(4,4)
      \rput(4,4.3){$M$}
      \rput(4,-0.6){$a+h$}
      \rput(-1,4){$f(a+h)$}
      \rput(1.6,4.6){\textcolor{red}{$\mathcal{T}$}}
      \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
      \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
      \psline[linecolor=blue](-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
      \psline[linecolor=blue](-0.33,-1)(4,5.5)
      \psline[linecolor=blue](0.33,-1)(2.5,5.5)
      \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red]{<->}(0.5,-1)(2,5)
   \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction dérivée} 
\vspace{-0.8cm}

\bgdef{
  Soit $f$ une fonction dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $I$, alors la fonction qui à $x$ associe $f'(x)$ est appelé \underline{fonction dérivée} de $f$ sur $I$.
}

On obtient le tableau de dérivation suivant :
\begin{center}
   \begin{tabular}{|c|c|c|}
      \hline 
      Fonction $f$ & Fonction $f'$ & Ensemble de définition de $f$ \\ 
      \hline  
      $k$ & $0$ & $\R$ \\ 
      \hline  
      $ax+b$ & $a$ & $\R$ \\ 
      \hline   
      $\dfrac{1}{x}$ & $ -\dfrac{1}{x^2}$ & $\R^*$ \\ 
      \hline
      $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ &$\R_+^*$ \\ 
      \hline
      $x^{\alpha}$ & $\alpha x^{\alpha-1}$ & $\R$ si $\alpha\in\N^*$ ou $\R^*$ si $\alpha\in\Z_-^*$  ou $\R_+^*$ si $\alpha\in\R$\\
      \hline 
      $\ln(x)$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\R_+^*$ \\
      \hline
      $e^x$ & $e^x$ & $\R$ \\
      \hline      
      $\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $\R$ \\
      \hline
      $\cos(x)$ & $ -\sin(x)$ & $\R$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center}
 
\smallskip

\bgex
Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$\bullet\ f(x)=3x-2$ 
\qquad
$\bullet f(x)=x^3$ 
\qquad
$\bullet\ f(x)=x^{\frac23}$
\qquad
$\bullet\ f(x)=x^{4321}$
\enex




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Opérations}
\vspace{-0.5cm}

$u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur un même
intervalle $I$. 

\begin{center}
   \begin{tabular}{|c|c|c|}
      \hline 
      Opération & Fonction & Dérivée \\ 
      \hline  
      Addition & $u+v$ & $u'+v'$\\ 
      \hline  
      Multiplication par un nombre & $k\times u$ avec $k\in\R$ & $k\times u'$\\
      \hline  
      Multiplication &  $u\times v$ & $u'\times v+u\times v'$\\
      \hline 
      Puissance & $u^n$ & $n\times u'\times u^{n-1}$ \\
      \hline 
      Division & $\dfrac{u}{v}$ & $ \dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2} $\\
      \hline 
      Inverse & $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$\\
      \hline 
      Fonction composée & $f\circ g$ & $f'\circ g\times g'$ \\
      \hline 
      exponentielle & $e^u$ & $u'~e^u$ \\
      \hline 
      logarithme & $\ln(u)$ & $\dfrac{u'}{u}$ \\
      \hline 
      sinus & $\sin(u)$ & $u'~\cos(u)$  \\
      \hline
      cosinus & $\cos(u)$ & $-u'~\sin(u)$ \\
      \hline
   \end{tabular}
\end{center} 

\smallskip

\bgex
Calcul de dérivées :
\bgen[$\bullet$]
\item $f(x)=x^3+x+3$: On utilise la formule $(u+v)'=u'+v'$ avec $u(x)=x^3$ et $v(x)=x+3$. \\[0.2cm]
  On obtient $f'(x)=3x^2+1$. 
\item $f(x)=3(x^2+4)$ : on utilise la formule $(ku)'=ku'$ avec $k=3$ et $u(x)=x^2+4$. \\
  On obtient $f'(x)=6x$. 
\item $f(x)=(-2x+3)(5x-3)$: On utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=-2x+3$ et $v(x)=5x-3$. \\  
  On obtient $f'(x)=-20x+21$.

\item $f(x)=(2x-7)^2$: on utilise la formule $(u^2)'=2uu'$ avec $u(x)=2x-7$. \\  
  \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=4(2x-7)$. \\
\item $f(x)=\dfrac{3x-4}{x^2+3}$ : On utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u(x)=3x-4$ et $v(x)=x^2+3$. \\
  \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{-3x^2+8x+9}{(x^2+3)^2}$. \\
\item $f(x)=\dfrac{1}{-3x+1}$ : On utilise la formule $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ avec  $v(x)=-3x+1$. \\
  \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{3}{(-3x+1)^2}$. \\
\item $f(x)=e^{3x+1}$ : On utilise la formule $(e^u)'=u'~e^u$ avec $u(x)=3x+1$. \\
  \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=3~e^{3x+1}$. \\
\item $f(x)=ln(-2x+5)$ : On utilise la formule $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=-2x+5$. \\
  \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{-2}{-2x+5}$. \\
\item $f(x)=\cos(2x+1)$ : On utilise la formule $\cos'(u)=-u'\sin(u)$ avec $u(x)=2x+1$. \\
  \hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=-2\sin(2x+1)$.
\enen
\enex

\subsection{Dérivées successives}
\vspace{-0.8cm}

\bgdef{
   Soit $f$ une fonction dérivable. Lorsque cela est possible, on définit les \underline{dérivées successives} de $f$ notées :
\[
f' \quad , \quad f'' \quad , \quad f''' \quad , \quad f^{(4)}\quad , 
\quad \dots \quad , \quad f^{(n)}.
\]
}

\smallskip

\bgex
   Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-x^2+x+3$,
   alors 

   $\bullet\ f'(x)=\ \dots$
   \qquad 
   $\bullet \ f''(x)=\ \dots$
   \qquad 
   $\bullet \ f'''(x)=\ \dots$ 
   \quad 
   $\bullet\ f^{(4)}=\ \dots$
   \qquad
   $\bullet\ f^{(5)}=\dots$
   \qquad
   $\bullet\ f^{(107)}=\dots$
\enex

En physique et en mécanique, on utilise la notation différentielle : \qquad $\dfrac{df}{dx}=f'$ \qquad et \qquad $\dfrac{d^2f}{dx^2}=f''$

\smallskip

\begin{minipage}{9cm}
   \bgex
      Dans un circuit R, L, C en série, on a :
      \bgit
         \item $i=\dfrac{dq}{dt}$.
         \item $e=-L\dfrac{di}{dt}$.
         \item donc : $e=-L\dfrac{d^2q}{dt^2}$.
      \enit
   \enex
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
   \begin{pspicture}(0,0)(5.5,3)
      \psdot(2.5,0)
      \psline(2.5,0)(0,0)(0,2)(0.5,2)
      \psframe(0.5,1.6)(2,2.4)
      \psline(2,2)(2.5,2)
      \pscurve(2.5,2)(2.75,2.4)(3,2)
      \pscurve(3,2)(3.25,2.4)(3.5,2)  
      \pscurve(3.5,2)(3.75,2.4)(4,2)       
      \psline(4,2)(4.5,2)
      \psline(4.5,1.6)(4.5,2.4)
      \psline(5,1.6)(5,2.4)
      \psline(5,2)(5.5,2)(5.5,0)(3,0)
      \psdot(3,0)
      \rput(1.25,2.7){R}
      \rput(3.25,2.7){L}
      \rput(4.75,2.7){C}     
   \end{pspicture}
\end{minipage}

Si par exemple, $q=5\cos(t)$, alors 
$i=-5\sin(t)$ et $e=-5L\cos(t)$. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{\'Equation de la tangente} 
\vspace{-0.6cm}

\bgprop{
   Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et dérivable en $a\in I$.\\
   La \underline{tangente} $\mathcal{T}_a$ en $a$ à la courbe $C_f$ a pour équation : $$\mathcal{T}_a : y=f'(a)(x-a)+f(a).$$
}

\smallskip

\bgex
   Soit $f(x)=x^2+2$. Les équations des tangentes $T_0$ en $0$ et
   $T_{-1}$ en $-1$ sont :
   \bgit
      \item $f'(x)=2x$
      \item $f'(0)=0$ donc $T_0 : y=0\times(x-0)+f(0)=2$.
      \item $f'(-1)=-2$ donc $T_{-1} : y=-2\times(x+1)+f(-1)=-2x+1$.
   \enit
\enex


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\'Etude des variations d'une fonction}
\vspace{-0.4cm}

\subsection{Lien entre dérivation et sens de variation d'une fonction}
\vspace{-0.3cm}

Le nombre dérivé $f'(x)$ de la fonction en $x$ est le coefficient
directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x$. 

Ainsi, si ce coefficient directeur $f'(x)$ est positif, la tangente
est une droite croissante, donc la courbe et la fonction aussi, 
"au voisinage de $x$". 

Si $f'(x)$ est négatif, la fonction est donc décroissante au voisinage
de $x$. 

\vspd
Plus précisément: 

\vspace{-0.7cm}
\bgprop{
  On suppose que $f$ est dérivable sur $I$.
 \bgit
 \item $f$ est croissante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)\geqslant0$ pour tout $x\in I$.
 \item $f$ est décroissante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)\leqslant0$ pour tout $x\in I$.
 \item $f$ est constante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)=0$ pour tout $x\in I$.
\enit
}

Il est donc possible de déterminer les variations d'une fonction à
partir du signe de sa dérivée. 

\medskip

\bgex
\textbf{\'Etude d'une fonction polynôme :} $f(x)=2x^3-3x^2-12x-1$.

Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)$.

On détermine le signe du trinôme du $2^{\text{nd}}$ degré $x^2-x-2$ en
cherchant ses racines et on trouve $-1$ et $2$. 

On connaît alors le signe de la dérivée et on en déduit immédiatement
les variations de la fonction $f$: 

  \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|ccccccc|}
      \hline
      $x$ & $-\infty$ & & $-1$ & & $2$ & & $+\infty$\\
      \hline
      signe de $f'(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ &\\
      \hline
      & &  & $6$ & & & & $+\infty$\\
      variations de $f$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &\\
      & $-\infty$ & & & & $-21$ & &\\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}

$f$ est croissante sur $]-\infty~;-1~]$ et sur $[~2~;+\infty~[$ et décroissante sur $[~-1~;~2~]$.
\enex

\smallskip

\bgex
  \textbf{Etude d'une fonction logarithme:} $g(x)=2x^2+1-\ln x$. 

  $g$ est définie et dérivable sur $\R_+^*$ avec,  
  pour tout réel $x>0$, 
  $g'(x)=4x-\dfrac1x= \dfrac{4x^2-1}{x} =\dfrac{(2x+1)(2x-1)}{x}$.

  Le trinôme du second degré du numérateur $4x^2-1$ admet 2 racines 
  $-\dfrac12$ et $\dfrac12$. 

   \begin{center}
     \begin{tabular}{|c||lcccr|}
       \hline
       $x$ & $0$ & & $\frac12$ & & $+\infty$\\
       \hline
       $4x^2-1$ & & $-$ & 0 & $+$ & \\
       \hline
       $x$ & & $+$ &  & $+$ & \\
       \hline
       signe de $g'(x)$ & & $-$ & $0$ & $+$ &\\
       \hline
       & $+\infty$ & & & & $+\infty$ \\
       variations de $g$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &\\
       & & & $\frac32+\ln 2$ & & \\
                    \hline
     \end{tabular}
   \end{center}
\enex

\smallskip

\bgex
\textbf{Etude d'une fonction exponentielle:} $h(x)=(x+2)~e^{-x}$. 

$h$ est définie et dérivable sur $\R$. 

Pour tout réel $x$ on a 
$h'(x)=1\times e^{-x}+(x+2)\times (-e^{-x})=(1-x-2)~e^{-x}=(-x-1)~e^{-x}$.

\vspace{-0.3cm}

  \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|lcccr|}
      \hline
      $x$ & $-\infty$ & & $-1$ & & $+\infty$\\
      \hline
      $-x-1$ & & $+$ & | & $-$ & \\
      \hline
      $e^{-x}$ & & $+$ & | & $+$ & \\
      \hline
      signe de $h'(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & \\
      \hline
      & & & $e$ & & \\
      variations de $h$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ &\\
      & $-\infty$ & & & & $0$ \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
\enex


\subsection{Extremum d'une fonction}
\vspace{-0.6cm}

\bgprop{
   $f$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $I$. \\
   Si $f$ admet un extremum (minimum ou maximum) en $a$ distinct des extrémités de $I$, alors $f'(a)=0$.
}



\begin{minipage}{12.8cm}
\smallskip

\ul{Remarque:}
\textit{Attention, la réciproque n'est pas vraie : le fait que $f'(a)=0$ n'implique pas forcément qu'il existe un extremum en $a$.}

\bgex
La fonction $f(x)=x^3$ est définie et dérivable sur $\R$.

$f'(x)=3x^2$ donc, $f'(0)=0$ mais $f$ n'admet ni minimum,
ni maximum en~$0$. 

\vspt
\ul{Remarque:}
\textit{La tangente à la courbe en un point $a$ où $f'(a)=0$ est parallèle à l'axe des abscisses.}
\enex
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}  
\begin{center}
   \psset{unit=1.6}
   \begin{pspicture}(-1,-1.5)(1,1)
      \psaxes{->}(0,0)(-1,-1.1)(1,1.1)
      \uput{0}[0](0.6,0.8){$y=x^3$}
      \psplot[linecolor=red]{-1}{1}{x x mul x mul}
      \psline[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{<->}(-0.5,0)(0.5,0)
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


\subsection{Résolution de l'équation $f(x)=\lambda$} 
\vspace{-1.6cm}

\bgmp{11cm}
\bgprop{
   Si $f$ est une fonction continue, dérivable et strictement
   croissante [resp. décroissante] sur un intervalle $[\,a;b\,]$
   alors, pour tout $\lambda \in [\,f(a);f(b)\,]$
   [resp. $[\,f(b);f(a)\,]$], l'équation $f(x)=\lambda$ admet une
   solution unique sur l'intervalle $[\,a;b\,]$. 
}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{7cm}
  \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.7cm}
  \begin{pspicture}(-1,-1.2)(6,6)
      \psaxes[labels=non]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
      \pscurve[linecolor=red](-1,-1)(1,1)(2,3)(4,4)(6,4.5)
      \psdot(1,1)
      \psdot(4,4)
      \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
      \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
      \psline[linecolor=blue]{->}(0,3)(2,3)(2,0)
      \rput(-0.6,3){\textcolor{blue}{$\lambda$}}
      \rput(2,-0.6){\textcolor{blue}{$x$}}
      \rput(1.3,1){$A$}
      \rput(1,-0.6){$a$}
      \rput(-0.6,1){$f(a)$}
      \rput(4,4.3){$B$}
      \rput(4,-0.6){$b$}
      \rput(-0.6,4){$f(b)$}
   \end{pspicture}
\enmp

\bgex
 Soit $f(x)=x^3+x+1=0$. 
On cherche à résoudre l'équation $f(x)=0$ à $10^{-1}$ près.

   \bgit
   \item $f$ est définie et dérivable sur $\R$, 
   avec pour tout réel $x$, $f'(x)=3x^2+1$.
      \item $f'$ est strictement positive sur $\R$, on en déduit que $f$ est strictement croissante sur $\R$.
      \item on calcule $f(-1)=-1$ et $f(0)=1$.
      \item D'après le théorème, $0 \in [\,f(-1);f(0)\,]=[\,-1;1\,]$, l'équation 
$f(x)=0$ admet donc une solution unique dans l'intervalle $[-1;1\,]$.
      \item A la calculatrice, on trouve $f(-0,7)=-0,043<0$ et $f(-0,6)=0,184>0$.
      \item La racine vaut donc $-0,7$ à $10^{-1}$ près.
   \enit
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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