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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques en BTS: équations différentielles
Niveau
BTS
Table des matières
  • Nombres complexes
    • Résolution d'équations et ensembles de nombres
    • Forme algébrique d'un nombre complexe
    • Calcul algébrique avec les nombres complexes
    • Equation du second degré à coefficients réels
  • Equations différentielles
    • Généralités et exemples
    • Equations différentielles linéraires du premier ordre
      • Recherche d'une solution particulière
      • Solution vérifiant une condition initiale donnée
    • Equations différentielles linéaires du second ordre
      • Recherche d'une solution particulière
      • Solution vérifiant une condition initiale donnée
  • Problèmes complets
Mots clé
équations différentielles, premier ordre, second ordre, nombre complexes, BTS
Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours de mathématiques: Equations différentielles},
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      équations différentielles}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
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\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\vphi{\varphi}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\newcounter{ntheo}
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\nwc{\bgth}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{ndef}
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  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
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\newcommand{\Obj}[1]{%
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  \enmp
  \end{flushright}
}

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% Concernant la mise en page des algo:
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  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \par
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  \enmp
  \vspd
}

% et pour les progs casio:
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  \psset{unit=1cm,arrowsize=4pt}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Equations différentielles}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/BTS/}}
\rfoot{\TITLE\ - $BTS$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
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\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

%\vspace*{-0.9cm}


\ct{\LARGE \bf \TITLE}

\vspace{-0.6cm}


\section{Nombres complexes}

{\sl\flushright{
"La voie la plus courte et la meilleure entre deux vérités du domaine
    réel\\  
    passe souvent par le domaine de l'imaginaire."\\[0.3cm] 
    Jacques Hadamard, mathématicien fran\c cais (1865-1963)
    
}}

\paragraph{Résolution d'équation et ensembles de nombres}\ \\

L'ensemble des entiers naturels, noté $\N$, permet de résoudre des
problèmes simples de décompte comme: 
"5 personnes viennent d'entrer  
de la salle. Il y a maintenant maintenant 22 personnes présentes. 
Combien y en avait-il initialement ?" 

Si on note $n$ le nombre de personnes initialement, 
on aboutit à l'équation $n+5=22$, 
qui se résout facilement en $n=27$. 

\vspd
Par contre, pour résoudre le problème 
"5 personnes viennent d'entrer dans la salle, 
il y en a maintenant 3", ces nombres ne suffisent pas: 
l'équation $n+5=3$ n'a pas de solution dans $\N$. 

L'ensemble des nombres entiers relatifs, noté $\Z$, permet de résoudre
ce genre de problème, ou des problèmes économiques ou commerciaux 
(principe du prêt, de l'avoir,\dots)

\vspd
Pour des problèmes géométriques, les nombres entiers s'avèrent
insuffisants. 
Par exemple, le milieu de $[1;4]$ n'est pas un nombre entier, 
c'est $x=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac{5}{2}$. 

L'ensemble des nombres rationnels, noté $\Q$, 
quotients de deux nombres entiers,
permettant ainsi de diviser les entiers, et de résoudre de nombreux
autres problèmes. 

\vspd
Parmi les problèmes géométriques, un type de problème simple aura à
son tour occupé les esprit: 
"On considère un triangle rectangle dont les deux côtés adjacents à
l'angle droit mesurent chacun 1 mètre. 
Quelle fraction de cette longueur mesure l'hypothénuse ?" 

Le théorème de Pythagore nous permet d'écrire que, si on note $x$ la
longueur de cette hypothénuse, on a 
$x^2=1^1+1^2=2$. 

Cette équation n'a pas de solution qui soit un nombre rationnel, donc
n'a pas de solution dans $\Q$. 

Cette équation se résout, facilement maintenant, à notre époque, 
par $x=\sqrt{2}$ qui est un nombre réel, et irrationnel. 

L'ensemble de tous les nombres réels est noté $\R$. 

\vspd
Malheureusement encore, des équations telles que $x^2=-1$ n'ont pas
encore de solution réelle: pour n'importe quel nombre réel $x$,
$x^2\geqslant0$, et donc il est impossible de trouver un nombre réel
$x$ tel que $x^2=-1$ soit négatif. 

\vspd
Les nombres complexes ont été introduits à cette fin, pour compléter
les nombres réels. 

Avec les nombres complexes, toutes les équations algébriques (avec des
polynômes) ont des solutions. 
On dit que $\C$ est algébriquement clos. 

\vspd
\noindent{\bf\ul{Remarque:}} On a 
$\N\subset\Z\subset\Q\subset\R\subset\C$

\subsection{Forme algébrique d'un nombre complexe} 

On admet l'existence d'un ensemble de nombre, noté $\C$, appelé
ensemble des nombres complexes. 

Les nombres complexes sont de la forme 
$a+bi$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels et 
$i$ et le nombre imaginaire tel que $i^2=-1$. 

\vspd
\noindent{\bf\ul{Remarques:}} 
$\bullet$ $i$ n'est donc pas un nombre réel. 

$\bullet$ On note parfois $j$ le nombre $i$, notamment en électricité
où $i$ est habituellement le courant...

\vspd
\noindent{\bf\ul{Exemple:}} 
$z=1+3i$; \quad 
$z=-5+2i$;\ \quad
$z=1,71-12i$;\quad 
$z=3$; \quad 
$z=5i$; \quad 
$z=\sqrt{2}$; \quad 
$z=\sqrt{2}i$;\dots 


Dans l'écriture $z=a+bi$ d'un nombre complexe, 

$\bullet$ le réel $a$ est la partie réel du nombre complexe $z$ 

$\bullet$ le réel $b$ est sa partie imaginaire

\vspd
Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est donc un
nombre réel 
($z=3=3+0\times i$). 

Ainis tous les nombres réels sont aussi des nombres complexes: 
$\R\subset\C$, et l'ensemble des nombres complexes est plus grand que
celui des nombres réels. 

\subsection{Calcul algébrique avec les nombres complexes}

Toutes les opérations usuelles (addition, multiplication,...) 
et règles de calcul (factorisation, développement, identité
remarquable,...) s'étendent aux nombres complexes. 

\bgex
$2(1-3i)=\quad\dots$
\qquad\quad
$\lp 3+2i\rp\lp2-i\rp=\quad\dots$ 
\qquad\quad
$\lp 1+i\rp^2= \quad\dots $ 
\enex

\subsection{Equation du second degré à coefficients réels}

\bgth{L'équation $ax^2+bx+c=0$, pour $a\not=0$, $b$ et $c$ trois
  nombres réels, admet: 
  \hspace*{-1cm}\bgmp{17cm}\bgen[$\bullet$]
  \item si $\Delta>0$, deux solutions réelles 
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ 
    et 
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ 
  \item si $\Delta=0$, une solution réelle double 
    $x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}$
  \item si $\Delta<0$, deux solutions complexes conjuguées: 
    $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ 
    et 
    $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ 
  \enen\enmp
}


\bgex
Résoudre l'équation 
$x^2+2x+2=0$. 

Vérifier que les deux nombres complexes trouvés sont bien solutions de
l'équation. 
\enex

\bgex
Résoudre les équations: 

a) $x^2+2x+65=0$ 
\qquad
b) $r^2+4r+4=0$ 
\qquad
c) $z^2-3z-4=0$
\qquad
d) $z^2=-4$ 
\qquad
e) $z^2=7$

f) $z^2-4z+8=0$
\qquad
g) $r^2-\dfrac12r+\dfrac18=0$
\qquad
h) $r^2-3r+3=0$
\qquad
i) $r^2+8r-20=0$
\enex


\section{Equations différentielles}

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une
fonction. 

\subsection{Généralités et exemples}

On note en général $t\mapsto y(t)$ cette fonction 
(historiquement pour des équations de la physique, $t$~étant le
temps et $y(t)$ l'altitude à l'instant $t$ de l'objet considéré). 

Par exemple, $y'-3y=8t$ est une équation différentielle du
$1^\text{er}$ ordre: on cherche la fonction $y$ telle que, à tout
instant $t$, $y'(t)-3y(t)=8t$. 

\bgex
On considère l'équation 
$y'-3y=8t$. 

Vérifier que la fonction $y$ définie par 
$y(x)=e^{3t}+4t^2$ est une solution de cette équation. 
\enex

\bgex
On considère l'équation 
$y"-y'-6y=0$

\bgen
\item Vérifier que la fonction $f$ définie par 
  $f(x)=e^{-2x}$ est une solution de cette équation. 

\item Vérifier que la fonction $g$ définie par 
  $g(x)=e^{3x}$ est une autre solution de cette équation. 
\item Montrer que la fonction $h=f+g$ est alors aussi solution. 
\enen
\enex

\bgex
On considère l'équation $y'-y=x-1$. 

Montrer que la fonction $y$ définie par 
$y(x)=-x$ est une solution de cette équation. 

Montrer que la fonction $f$ définie par 
$f(x)=e^{-x}-x$ est aussi solution de cette équation. 
\enex


\bgex
On considère l'équation $y'-2y=-2x^2-2x$ 

Montrer que la fonction $y$ définie par 
$y(x)=(x+1)^2$ est solution de cette équation. 

Montrer que la fonction $f$ définie par 
$f(x)=e^{2x}+(x+1)^2$ est aussi solution de cette équation. 
\enex

\subsection{Equations différentielles linéaires du premier ordre}

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une
équation, dont l'inconnue est une fonction $y$ de la variable $t$, 
de la forme 
\[
(E):\quad ay'(t)+by(t)=f(t)
\]
où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, et $f$ est une fonction. 

\vspd
Supposons que l'on connaisse une solution particulière $y_p$ de
l'équation $(E)$, 
c'est-à-dire que $ay_p'+by_p=c$. 

Alors, une fonction $y$ est une solution de $(E)$ si et seulement si 
$ay'+by=c$, 
soit 
\[\bgar{ll}
&ay'+by=ay_p'+by_p \\[0.2cm]
\iff & ay'-ay_p'+by-by_p'=0\\[0.2cm]
\iff & a\lp y'-y_p'\rp+b\lp y-y_p\rp=0\\[0.2cm]
\iff & a\lp y-y_p\rp'+b\lp y-y_p\rp=0
\enar\]
Ainsi, si on pose $Y=y-y_p$, $y$ est solution si et seulement si 
$Y$ est solution de 
$aY'+bY=0$. 

Cette équation s'appelle l'équation sans second membre associée à
$(E)$. 

\bgth{
La solution générale de l'équation différentielle 
$(E):\quad ay'+by=c$

est obtenue en ajoutant une solution particulière de $(E)$ à la
solution générale de l'équation sans second membre 
$(E_0):\quad ay'+by=0$. 
}

\subsubsection{Résolution de l'équation sans second membre}

Pour $a\not=0$, on a 
$ay'+by=0\iff y'=-\dfrac{b}{a}y$. 

Par exemple, pour $\dfrac{b}{a}=-1$, on a alors 
$y'=y$, et on sait que $y=ke^t$ est solution. 

Plus généralement, 
\bgprop{
  les fonctions 
  $y:t\mapsto ke^{-\frac{b}{a}t}$, $k\in\R$ vérifient $ay'+by=0$. 
}

\bgproof{
  Il suffit de calculer $y'(t)$, puis 
  $ay'(t)+by(t)$\dots
}

On a alors, 
\bgth{
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle 
$(E):\ ay'(t)+by(t)=c(t)$ est l'ensemble des fonctions définies par
$t\mapsto ke^{-\frac{b}{a}t}+y_p(t)$, où $k\in\R$ et $y_p$ est une
solution particulière de $(E)$. 
}

\subsubsection{Recherche d'une solution particulière} 

En général, une indication est fournie pour aider la recherche d'une
telle solution. 

\vspt\noindent
$\bullet$ Cas où $c(t)$ est une constante 

On recherche aussi $y_p$ sous la forme d'une constante: $y_p(t)=C$. 


\bgex
Résoudre l'équation $2y'+4y=3$, en recherchant une fonction constante
solution particulière. 
\enex

\vspd\noindent$\bullet$ 
Cas où $c(t)$ est un polynôme 

On recherche $y_p$ sous la forme d'un polynôme de même degré 

\bgex
Résoudre l'équation différentielle $y'+2y=4x-1$, en cherchant une
solution particulière sous la forme $y_p(x)=ax+b$. 
\enex

\vspd\noindent$\bullet$ 
Cas où $c(t)=A\cos\lp \omega t+\vphi\rp+B\sin\lp \omega t+\vphi\rp$ 

On recherche 
$y_p(t)=A'\cos\lp \omega t+\vphi\rp+B'\sin\lp \omega t+\vphi\rp$ 

\vspd\noindent$\bullet$ 
Cas où $c(t)=ke^{\lbd t}$ 

On recherche $y_p$ sous la forme 
$y_p(t)=Ae^{\lbd t}$. 

\bgex
Résoudre l'équation différentielle $y'+3y=e^{-t}$, 
en recherchant une solution particulière sous la forme 
$y_p(t)=Ae^{-t}$.
\enex

\vspd\noindent{\bf Remarque:} 
Dans le cas très particulier où 
$(E):\ ay'+by=ke^{-\frac{b}{a}t}$, alors on recherche une solution
particulière sous la forme 
$y_p(t)=Ate^{-\frac{b}{a}t}$. 


\subsubsection{Solution vérifiant une condition initiale donnée}

\bgex
Résoudre l'équation différentielle 
$(E):\ y'+3y=12$. 

Déterminer alors la solution de $(E)$ vérifiant 
$y(0)=1$. 
\enex


\bgth{
Une équation différentielle linéaire du premier ordre a une solution
unique vérifiant une condition initiale donnée. 
}

\bgex{\bf Vitesse d'un parachute}
La vitesse d'un objet suspendu à un parachute est solution de
l'équation 
$(E):\ mv'(t)+kv(t)=mg$. 

On prendra: $m=10kg$, $g=10\,m.s^{-2}$ et $k=25$ u.S.I.

\bgmp{4.1cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2,-3)(2,3.2)
  \psarc(0,1){2}{20}{160}
  \psarc(-1.2,1.1){0.9}{48}{140}
  \psarc(0,1.1){0.9}{48}{132}
  \psarc(1.2,1.1){0.9}{40}{132}
  \psline(0,-1)(-1.89,1.68)
  \psline(0,-1)(1.89,1.68)
  \psline(0,-1)(0.6,1.78)
  \psline(0,-1)(-0.6,1.78)
  \pspolygon(-0.2,-1)(0.2,-1)(0.2,-1.6)(-0.2,-1.6)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-1.6)(0,-2.8)\rput(0.4,-2.3){$\V{V}$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{13.5cm}
\bgen
\item Déterminer la fonction constante $v_p$ solution de $(E)$. 
  
  Donner alors l'ensemble des solutions de $(E)$. 

\item 
  \bgen[a)]
  \item Donner la solution $v_1$ de l'équation $(E)$ dont la vitesse
    initiale est $v_1(0)=5\,m.s^{-1}$. 
  \item Donner la solution $v_2$ de l'équation $(E)$ dont la vitesse
    initiale est $v_2(0)=10\,m.s^{-1}$. 
  \item Donner la solution $v_3$ de l'équation $(E)$ dont la vitesse
    initiale est nulle. 
  \item Déterminer les limites lorsque $t\to+\infty$ des fonctions
    $v_1$, $v_2$ et $v_3$. 
  \enen
  
\enen
\enmp
\enex


\bgex

\bgmp{7cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,-2.8)(5,2.4)
  \psline(0,0.1)(0,2)(5,2)(5,1.6)
  \pspolygon(4.7,1.6)(5.3,1.6)(5.3,-1.6)(4.7,-1.6)
  \rput(5,0){$R$}
  \psline{->}(5.7,-1.7)(5.7,1.7)
  \rput(6,0){$u$}
  \psline(0,-0.1)(0,-2)(2,-2)(2.5,-2.5)
  \psline(2.5,-2)(5,-2)(5,-1.6)
  \psline(-0.4,0.1)(0.4,0.1)
  \psline(-0.4,-0.1)(0.4,-0.1)
  \rput(0.7,0){$C$}
  \psline{->}(3,2)(3.3,2)\rput(3.2,2.5){$i$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{11.cm}
Dans un circuit $RC$, on a les relation 
$u(t)=Ri(t)$ 

et $i(t)=-\dfrac{dq}{dt}=-q'(t)$ 
avec la charge $q(t)=Cu(t)$. 

Ainsi, $u(t)=Ri(t)=R\Bigl( Cu(t)\Bigr)'$, 

\vspd
soit encore l'équation différentielle 
$(E):\ RCu'(t)+u(t)=0$.
\enmp

On prend $C=15.10^{-5}$ farads et $R=2.10^4$ ohms. 

\bgen
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$, puis déterminer la
  fonction $u$ solution telle que $u(0)=u_0=10$ volts. 
\item Déterminer la limite $\dsp\lim_{t\to+\infty} u(t)$. 
\item A partir de quel instant $t_1$ la tension $u(t)$ vérifie 
  $u(t)\leqslant \dfrac{1}{10}u_0$. 
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $u$. 
\enen
\enex

\bgex {\bf Incident à l'eau de mer} 

Un réservoir contient 1000 litres d'eau douce dont la salinité est de
$0,12\ g.L^{-1}$. 

A la suite d'un incident, de l'eau de mer pénètre dans le réservoir à
raison de 10 litres par minute. 

On s'intéresse à l'évolution au cours du temps de la salinité dans le
réservoir. On note $s$ cette salinité, $s$ étant donc une fonction du
temps $t$. 

On admet que $s$ est solution de l'équation différentielle 
\[
(E):\quad s'+0,01s=0,39
\]

\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Résoudre l'équation $(E_1):\quad s'+0,01s=0$. 
\item Déterminer une fonction constante $g$ solution de l'équation
  $(E)$. 
\item Résoudre l'équation $(E)$. 
\enen
\item A l'instant $t=0$ où débute l'incident, la salinité de l'eau
  dans le réservoir était de $0,12\ g.L^{-1}$. 

  Montrer que l'on alors $s(t)=39-38,88\,e^{-0,01t}$. 
\item Déduire du résultatprécédent la salinité de l'eau dans le
  réservoir au bout de 60 minutes. 
\item De combien de temps le service d'intervention dispose-t'il pour
  colmater l'infiltration si la salinité doit rester inférieure à 
  $3,9\, g.L^{-1}$ ?
\enen
\enex


\subsection{Equations différentielles linéaires du second ordre}

Une équation différentielle du second ordre est une équation de la
forme 
\[
(E):\quad ay"+by'+cy=d
\]
où $a\not=0$, $b$, $c$ sont trois réels, et $d$ est une fonction. 


\bgex
Soit l'équation différentielle $(E):\ y"-y'-6y=6t$. 

\bgen
\item Vérifier que les fonctions $y_1(t)=Ae^{3t}$ et $y_2(t)=Be^{-2t}$ sont
  des solutions de l'équation sans second membre 
  $(E_0):\ y"-y'-6y=0$. 

\item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que 
  $y_p(t)=at+b$ soit une solution de $(E)$. 
\item En déduire que $y=y_1+y_2+y_p$ est une solution générale de $(E)$. 
\enen
\enex

\bgex
Vérifier que la fonction définie par 
$y(t)=e^{2t}\cos\lp 3t\rp$ est une solution de l'équation 
$(E_0):\ y"-4y'+13y=0$. 
\enex


\bgth{
La solution générale de l'équation différentielle 
$(E):\quad ay"+by'+cy=d$

est obtenue en ajoutant une solution particulière de $(E)$ à la
solution générale de l'équation sans second membre 
$(E_0):\quad ay"+by'+cy=d$. 
}


\subsubsection{Résolution de l'équation sans second membre}

Soit $y(t)=e^{rt}$, avec $r$ un réel. 
Alors $ay"+by'+cy=\lp ar^2+br+c\rp e^{rt}$, 
ainsi, $y(t)=e^{rt}$ est solution de l'équation $(E_0)$ si et seulement
si 
\[
ar^2+br+c=0
\]


\bgdef{
L'équation $ar^2+br+c=0$ est {\bf l'équation caractéristique} de l'équation
différentielle sans second membre 
$(E_0):\quad ay"+by'+cy=0$. 
}

\bgth{
  \bgen[$\bullet$]
  \item Si $\Delta>0$, l'équation caractéristique a deux solutions
    réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ et 
    donc $y_1:t\mapsto e^{r_1t}$ et $y_2:t\mapsto e^{r_2t}$ 
    sont deux solutions de $(E_0)$. 

    Les solutions de $(E_0)$ sont donc de la forme 
    $y(t)=Ae^{r_1t}+Be^{r_2t}$, 
    avec $A$ et $B$ des constantes réelles. 

  \item Si $\Delta=0$, l'équation caractéristique a une solution
    double $r=-\dfrac{b}{2a}$, 
    dans ce cas, $y_1:t\mapsto e^{rt}$ est une solution de $(E_0)$; 
    $y_2:t\mapsto te^{rt}$ en est une autre. 

    Ainsi, les solutions de $(E_0)$ sont de la forme 
    $y(t)=\lp A+Bt\rp e^{rt}$, 
    avec $A$ et $B$ des constantes réelles. 

  \item Si $\Delta<0$, L'équation caractéristique a deux solutions
    complexes $r_1=a+ib$ et $r_2=a-ib$, 
    et les fonctions 
    $y_1:t\mapsto e^{at}\cos\lp bt\rp$ 
    et $y_2:t\mapsto e^{at}\sin\lp bt\rp$ sont solutions 
    de~$(E_0)$. 

    Les solutions de $(E_0)$ sont donc de la forme 
    $y(t)=Ae^{at}\cos\lp bt\rp+Be^{at}\sin\lp bt\rp$. 
  \enen
}


\bgex
Déterminer les fonctions solutions de l'équation différentielle 
$(E): y''-4y'+3y=0$. 
\enex

\bgex
Déterminer les fonctions solutions de l'équation différentielle 
$(E): y''+2y'+2y=0$. 
\enex

\bgex
Déterminer les fonctions solutions de l'équation différentielle 
$(E): y''+4y=0$. 
\enex


\subsubsection{Recherche d'une solution particulière}

On recherche une solution particulière de la même façon que pour une
equation du premier ordre. 

\bgex
Soit l'équation différentielle 
$(E):\ y"-4y'+3y=-3t^2+2t$. 

Chercher une solution particulière de $(E)$ sous la forme d'un
polynôme du second degré. 

Déterminer alors l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. 
\enex

\bgex
Soit l'équation $(E):\ y"-4y'+4y=3e^{-t}$. 

Chercher une solution particulière de $(E)$ sous la forme 
$y_p(t)=Ae^{-t}$. 

Déterminer alors l'ensemble des solutions de $(E)$. 
\enex

\subsubsection{Solution vérifiant des conditions initiales données}


\bgex On considère l'équation différentielle: 
$(E): y''-3y'+2y=4$, 

dans laquelle $y$ est une fonction de la variable $x$. 

\bgen
\item Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ sans second membre
  associée à $(E)$. 
\item Déterminer une fonction constante $g$ solution de $(E)$. 
\item En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$. 
\item Déterminer la solution particulière de $(E)$ vérifiant de plus
  les conditions initiales $f(0)=1$ et $f'(0)=2$. 
\enen
\enex

\bgex {\bf Objet retenu par un ressort.} 

On fixe à l'extrémité d'un ressort horizontal un objet qui peut
coulisser sans frottement sur un plan. 

\bgmp{7cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.8,-1.5)(6.5,1.2)
  \newcommand{\f}[1]{#1 2 add}
  \psline(-0.5,0)(7,0)
  \multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,-0.5)(! \f{\i}\space 0)}
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](-.3,0)(-.3,0.8)(0,0.8)(0,0)
  \psline(0,0.4)(0.4,0.4)(0.5,0.2)(0.7,0.6)(0.9,.2)(1.1,.6)(1.3,.2)(1.5,.6)
  (1.7,.2)(1.9,.6)(2.1,.2)(2.3,.6)(2.5,.2)(2.7,.6)(2.9,.2)(3.,.4)(3.6,.4)
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.6,0)(3.6,1)(5,1)(5,0)
  \rput(4.4,0.5){$M$}
  \psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-1)(3.6,-1)
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-1.2)\rput(2.,-1.3){$X(t)$}
  \psline[linestyle=dashed](3.6,0)(3.6,-1.2)
\end{pspicture*}
\enmp\qquad
\bgmp{10cm}
On repère l'objet par sa position $X$ qui varie en fonction du temps
$t$. 

On admet que la fonction $X$ est solution de l'équation 
\[
(E): X''+100X=0
\]
\enmp
\bgen
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution de l'équation $(E)$ telle que 
  $X(0)=10^{-1}$ et $X'(0)=0$. 
\item On admet que si l'objet $M$ frotte sur le plan, 
  l'équation différentielle devient 
  $(E'): X''+X'+100=0$. 

  Résoudre de même $(E')$, avec les mêmes conditions initiales. 

\item  Représenter graphiquement les solutions de $(E)$ et $(E')$. 
\enen
\enex

\bgex {\bf Oscillations libres et amorties dans un fluide visqueux.} 

L'écart à sa position initiale d'un objet dans un fluide visqueux est
une fonction du temps solution de l'équation différentielle 
\[
(E): \dfrac{d^2y}{dt^2}+2\dfrac{dy}{dt}+2y=0
\]
\bgen
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution particulière de $(E)$ qui s'annule pour
  $t=0$ et dont la dérivée vaut $4$ pour $t=0$. 
\enen
\enex

\bgex {\bf Oscillations forcées et amorties dans un fluide visqueux.} 

L'objet de l'exercice précédent, toujours dans le même fluide
visqueux, est maintenant soumis à une excitation entretenue. 

L'écart de l'objet à sa position initiale est alors solution de
l'équation différentielle 
\[
(E): \dfrac{d^2y}{dt^2}+2\dfrac{dy}{dt}+2y=10\cos(2t)
\]
\bgen
\item Montrer que la solution $g$ définie par 
  $g(t)=2\sin(2t)-\cos(2t)$ est une solution particulière de $(E)$. 
\item Déterminer alors l'ensemble des solutions de $(E)$. 
\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant les conditions
  initiales $f(0)=0$ et $f'(0)=2$. 
\enen
\enex

\section{Problèmes complets}

\bgex
{\bf Partie A. Résolution d'une équation différentielle} 

On considère l'équation différentielle $(E):y'+y=x$ 
où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur
$\R$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$. 

\bgen
\item Résoudre dans $\R$ l'équation différentielle 
  $(E_0): y'+y=0$. 
\item Rechercher une fonction affine solution particulière de $(E)$. 
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. 
\item Déterminer la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que 
  $f(0)=1$. 
\enen

{\bf Partie B. Etude de la solution.} 

On étudie la fonction $f$ trouvée ci-dessus, définie sur l'intervalle 
$[-1;+\infty[$ par $f(x)=2e^{-x}+x-1$. 
\bgen
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. 

  Etudier son signe et dresser le tableau de variation de $f$. 

\item Déterminer la limite $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)-(x-1)$. 

  On note $\Delta$ la droite d'équation $y=x-1$. 
  Interpréter graphiquement le résultat précédent, puis tracer
  $\Delta$ et l'allure de la courbe représentative de $f$. 
\enen
\enex


\bgex {\bf Problème d'isolation.} 

Pour tester la résistance d'une plaque d'isolation phonique à la
chaleur, on porte sa température à $100^\circ$C et on étudie
l'évolution de sa température en fonction du temps. 

On note $\theta(t)$ la température de la plaque, en degré Celsius, à
l'instant $t$, en minutes. 

La température ambiante est de $19^\circ$C et après 6 minutes la 
température est redescendue à $82^\circ$C. 

On admet que la fonction $\theta$ est solution de l'équation
différentielle 
$(E): y'+0,042y=0,798$. 

{\bf Partie A.} 
\bgen
\item Rechercher une fonction constnate solution particulière de
  $(E)$. 

  Donner alors l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. 

\item D'après l'énoncé, que vaut $\theta(0)$, la température initiale de la
  plaque. 

  En déduire la solution particulière de $(E)$ donnant la température
  de la plque en fonction du temps. 
\enen

{\bf Partie B.} 

\bgen
\item Calculer la température de la plaque après 35 minutes. 
\item Calculer la dérivée $\theta'$ de $\theta$. 
  En déduire le sens de variation de $theta$ sur $[0;+\infty[$. 

\item Calculer la limite de $\theta(t)$ lorsque $t$ tend vers
  $+\infty$. 

\item Représenter graphiquement la fonction $\theta$. 
\item Calculer le temps à partir duquel la température de la plaque
  est inférieure à $30^\circ$C. Vérifier graphiquement ce résultat. 
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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