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Description
Cours de probabilités: variables aléatoires discrètes, loi binomiale
Niveau
BTS
Table des matières
  • Des probabilités discrètes aux probabiltés continues
    • A. Equiprobabité
    • Vers un modèle plus réaliste
    • Un modèle plus réaliste et plus fin
    • Un modèle sans sauts, et encore plus réaliste…
    • Un autre exemple de modèle (plus réaliste encore ?)
  • Exemples de lois de probabilités continues
    • Loi exponentielle
    • Loi de Weibull
Mots clé
probabilités, variable aléatoire discrète, espérance, écart type, loi binomiale, schéma de Bernoulli, répétition d'expériences aléatoires, BTS
Voir aussi:

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\usepackage{pst-all}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours de mathématiques: Introduction aux probabilités continues},
    pdftitle={Introduction aux probabilités continues},
    pdfkeywords={Mathématiques, probabilités, probabilités continues, cours, 
      intégration, intégrale}
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\voffset=-1.cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\footskip=1.cm
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\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
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  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{nprop}
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  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}

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\nwc{\bgdef}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Introduction aux probabilités continues}
\title{\TITLE}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}

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\lfoot{Y. Morel \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

\psset{arrowsize=7pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{0.5cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}

\vspace{0.4cm}

\section{Des probabilités discrètes aux probabilités continues}

\noindent Le parking à proximité de mon travail coûte assez cher. 
Le stationnement est payant de 8h à 18h. 
Un agent municipal passe chaque jour, une fois par jour,
aléatoirement entre 8h et 18h. 

\vspd
\noindent\textbf{\large{Partie A. Equiprobabilité}}

On suppose que la probabilité que l'agent passe est, à chaque instant
entre 8h et 18h, la même. 

\noindent Quelle est la probabilité que je sois verbalisé par un agent municipal
si je gare ma voiture sans payer 
\bgen
\item de 9h à 10h ? 
\item de 15h à 16h ?
\item de 12h à 14h ? 
\item de 10h30 à 12h ?
\item de 11h20 à 11h35 ?
\item à 10h34 précise ?
\enen 

On peut représenter ce "profil" uniforme de probabilité de passage de
l'agent sur un graphique: 
\[
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(6,-0.05)(20,0.35)
  \psline[linewidth=.8pt]{->}(6.8,0)(20,0)
  \psline[linewidth=.8pt]{->}(7,-0.05)(7,.35)
  %\nwc{\f}[1]{#1 0.5 add}
  \multido{\i=8+1}{11}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\i,0)(\i,0.32)
    \rput(\i,-0.05){$\i$}
  }
  \psline[linewidth=1.8pt](8,0.1)(18,0.1)
  \psline[linestyle=dashed](6.9,0.1)(7.9,0.1)
  \rput(6.5,0.1){$0,1$}
  \rput(6.6,.35){$P$}
\end{pspicture}
\]

\vspd
\noindent
\textbf{\large{Partie B. Vers un modèle plus réaliste}}

Ce "profil" constant n'est en fait pas très réaliste. 
Un modèle plus réaliste pourrait être celui proposé ci-dessous, 
prenant en compte un début de journée plus en douceur, une pause-déjeuner
entre midi et deux, \dots 
\[
\psset{xunit=1cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(6,-0.02)(20,0.22)
  \psline[linewidth=.8pt]{->}(6.8,0)(20,0)
  \psline[linewidth=.8pt]{->}(7,-0.02)(7,0.25)
  \multido{\i=8+1}{11}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\i,0)(\i,0.22)
    \rput(\i,-0.02){$\i$}}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.05)(18,0.05)
  \rput[r](6.9,0.05){$0,05$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.1)(18,0.1)
  \rput[r](6.9,0.1){$0,1$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.15)(18,0.15)
  \rput[r](6.9,0.15){$0,15$}
  \rput(6.6,0.23){$P$}
  \psline[linewidth=1.8pt](8,0.05)(9,0.05)%0.05
  \psline[linewidth=1.8pt](9,0.1)(10,0.1)%0.1
  \psline[linewidth=1.8pt](10,0.15)(12,0.15)%0.3
  \psline[linewidth=1.8pt](12,0.05)(14,0.05)%0.1
  \psline[linewidth=1.8pt](14,0.1)(15,0.1)%0.1
  \psline[linewidth=1.8pt](15,0.15)(17,0.15)%0.3
  \psline[linewidth=1.8pt](17,0.05)(18,0.05)%0.05
\end{pspicture}
\]
De même que dans la partie A, déterminer la probabilité que je sois
verbalisé par un agent si je gare ma voiture sans payer: 
\bgen
\item de 8h à 9h ? 
\item de 10h à 11h ? 
\item de 11h à 14h ?
\item de 15h à 15h30 ? 
\item de 8 à 18h ?
\enen

\noindent
\textbf{\large{Partie C. Un modèle plus réaliste et plus fin}}

\nopagebreak[4]
On peut encore affiner le profil précédent, avec un découpage horaire
plus fin: 
\[
\psset{xunit=1cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(6,-0.02)(20,0.26)
  \psline[linewidth=.8pt]{->}(6.9,0)(20,0)
  \psline[linewidth=.8pt]{->}(7,-0.02)(7,0.26)
  \nwc{\f}[1]{#1 0.5 add}
  \multido{\i=8+1}{11}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\i,0)(\i,0.25)
    \rput(\i,-0.02){$\i$}
  }
  \multido{\i=8+1}{10}{
    \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt,linewidth=0.4pt](!\f{\i}\space0)(!\f{\i}\space0.25)
    %\rput(!\f{\i}\space-0.05){$\i.5$}
  }
  \rput[r](6.9,-0.005){$0$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.02)(18,0.02)
  \rput[r](6.9,0.018){$0,02$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.05)(18,0.05)
  \rput[r](6.9,0.05){$0,05$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.08)(18,0.08)
  \rput[r](6.9,0.08){$0,08$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.12)(18,0.12)
  \rput[r](6.9,0.12){$0,12$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.15)(18,0.15)
  \rput[r](6.9,0.15){$0,15$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.20)(18,0.20)
  \rput[r](6.9,0.20){$0,20$}
  \rput(6.6,0.26){$P$}
  \psline[linewidth=1.8pt](8,0.0)(8.5,0.0)%       0
  \psline[linewidth=1.8pt](8.5,0.05)(9,0.05)%     5
  \psline[linewidth=1.8pt](9,0.08)(9.5,0.08)%     8
  \psline[linewidth=1.8pt](9.5,0.12)(10,0.12)%   12
  \psline[linewidth=1.8pt](10,0.20)(11.5,0.20)%  60*
  \psline[linewidth=1.8pt](11.5,0.12)(12,0.12)%  12
  \psline[linewidth=1.8pt](12,0.05)(12.5,0.05)%   5
  \psline[linewidth=1.8pt](12.5,0.02)(13.5,0.02)% 4
  \psline[linewidth=1.8pt](13.5,0.05)(14,0.05)%   5
  \psline[linewidth=1.8pt](14,0.08)(14.5,0.08)%   8
  \psline[linewidth=1.8pt](14.5,0.12)(15,0.12)%  12
  \psline[linewidth=1.8pt](15,0.20)(16.,0.20)%   40*
  \psline[linewidth=1.8pt](16,0.15)(16.5,0.15)%  15
  \psline[linewidth=1.8pt](16.5,0.12)(17,0.12)%  12
  \psline[linewidth=1.8pt](17,0.02)(17.5,0.02)%   2
  \psline[linewidth=1.8pt](17.5,0.0)(18,0.0)%     0
\end{pspicture}
\]
De même que précédemment, quelles sont les probabilités d'être
verbalisé: 
\bgen
\item entre 8h et 18h ?
\item entre 10h et 11h ? 
\item entre 11h30 et 14h ? 
\enen

\vspd
\noindent
\textbf{\large{Partie D. Un modèle sans sauts, et encore plus réaliste\dots}}

La probabilité de passage de l'agent peut dépendre 
de façon continue (ou sans sauts) de l'heure dans la journée. 
\[
\psset{xunit=1cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(6,-0.02)(20,0.3)
  \psline[linewidth=.8pt]{->}(6.9,0)(20,0)
  \psline[linewidth=.8pt]{->}(7,-0.02)(7,0.3)
  \nwc{\f}[1]{#1 0.5 add}
  \multido{\i=8+1}{11}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\i,0)(\i,0.25)
    \rput(\i,-0.02){$\i$}
  }
  \multido{\i=8+1}{10}{
    \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt,linewidth=0.4pt](!\f{\i}\space0)(!\f{\i}\space0.25)
    %\rput(!\f{\i}\space-0.05){$\i.5$}
  }
  \rput[r](6.9,-0.005){$0$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.05)(18,0.05)
  \rput[r](6.9,0.05){$0,05$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.10)(18,0.10)
  \rput[r](6.9,0.10){$0,10$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.15)(18,0.15)
  \rput[r](6.9,0.15){$0,15$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.20)(18,0.20)
  \rput[r](6.9,0.20){$0,20$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.25)(18,0.25)
  \rput[r](6.9,0.25){$0,25$}
  \rput(6.6,0.3){$P$}
  %
  \psplot[linewidth=1.8pt]{8}{10}{0.125 x mul 1 sub}
  \psplot[linewidth=1.8pt]{10}{12}{-0.125 x mul 1.5 add}
  \psline[linewidth=1.8pt](12,0)(14,0)
  \psplot[linewidth=1.8pt]{14}{16}{0.125 x mul 1.75 sub}
  \psplot[linewidth=1.8pt]{16}{18}{-0.125 x mul 2.25 add}
\end{pspicture}
\]
De même que précédemment, quelles sont les probabilités d'être
verbalisé: 
\bgen
\item entre 10h et 12h ? 
\item entre 10h et 11h ? 
\item entre 11h30 et 14h ? 
\item entre 8h et 18h ?
\enen

\vspd
\noindent
\textbf{\large{Partie E. Un autre exemple de modèle (plus réaliste ?)}}

\[
\psset{xunit=1cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(6,-0.05)(20,0.3)
  \psline[linewidth=1.pt]{->}(6.9,0)(20,0)
  \psline[linewidth=1.pt]{->}(7,-0.02)(7,0.3)
  \multido{\i=8+1}{11}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\i,0)(\i,0.25)
    \rput(\i,-0.03){$\i$}
  }
  \psplot[linewidth=1.9pt]{9}{12}{-1 9 div x 9 sub x 12 sub mul mul}
  \rput(9.5,0.2){$\mathcal{C}_f$}
  \psplot[linewidth=1.9pt]{14}{17}{-1 9 div x 14 sub x 17 sub mul mul}
  \psline[linewidth=1.9pt](8,0)(9,0)
  \psline[linewidth=1.9pt](12,0)(14,0)
  \psline[linewidth=1.9pt](17,0)(18,0)
\end{pspicture}
\]
On donne cette fois: 
\bgit
\item pour $8\leqslant x\leqslant 9$, 
  et $12\leqslant x\leqslant 14$ et $17\leqslant x\leqslant 18$, 
  $f(x)=0$. 
\item pour $9\leqslant x\leqslant 12$, 
  \quad $f(x)=-\dfrac19\lp x^2-21x+108\rp$. 
\item pour $14\leqslant x\leqslant 17$, 
  \quad $f(x)=-\dfrac19\lp x^2-31x+238\rp$. 
\enit

\vspd
Représenter graphiquement la probabilité que l'agent passe entre 10h
et 12h. 

Exprimer cette probabilité à l'aide d'une intégrale, puis la
calculer. 


\bgdef{
  Si on note $X$ la variable aléatoire égale à l'heure de passage de
  l'agent, alors $X$ peut prendre toutes les valeurs réelles de
  l'ensemble \ul{\bf{continu}} $[8;18]$. 
}
\bgdef{
  La fonction $f$, définissant le "profil" de probabilité, s'appelle
  la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$, 
  et on a alors 
  \[
  P\lp a\leqslant X\leqslant b\rp=\int_a^b f(x)\,dx
  \]

  On impose deux conditions à une densité de probabilité $f$, 
  
  \vspd
  \bgit
  \item pour tout $x\in[8;18]$, $f(x)\geqslant 0$ 
    \quad{\it (les probabilités sont des nombres positifs)}
    \vspd
  \item $\dsp P\lp 8\leqslant X\leqslant 18\rp=\int_8^{18} f(x)\,dx=1$
    \quad{\it (la somme des probabilités est 1)}
  \enit
}

\vspd\noindent
Dans la partie A, $f$ est constante: pour tout $x\in[8,18]$,
$f(x)=0,1$. \\
Dans les parties B et C, $f$ est une fonction en escalier, c'est-à-dire
constante par morceaux. \\
Dans la partie D, $f$ est une fonction affine par morceaux, et 
dans la partie E, $f$ est définie par morceaux par deux arcs de
parabole. Dans ces deux derniers cas, la fonction $f$ est de plus continue. 

\section{Exemples de lois de probabilité continues}

\noindent\textbf{\large{Loi exponentielle.}}
La loi exponentielle permet de modéliser la durée de vie d'un
phénomène, d'un composant électronique par exemple, ou encore de
modéliser les phénomènes d'attente. 

Cette loi de probabilité est définie par sa densité de probabilité, 
pour tout $x\in[0;+\infty[$,  
\[
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}
\]
où $\lambda>0$ est le paramètre de cette loi. 

\vspd\noindent 
\ul{Exemple.}
Dans un magasin, le temps d'attente en caisse est modélisé par une loi
exponentielle de paramètre $\lambda=0,2$. 

On considère la variable aléatoire $X$ égale au temps d'attente en
caisse. $X$ est une variable aléatoire continue qui peut prendre
toutes les valeurs de l'ensemble continu $[0;+\infty[$, 
et qui suit la loi de
probabilité exponentielle de paramètre $\lambda=0,2$. 

\bgen
\item Déterminer la probabilité d'attendre moins de 5 minutes, 
  c'est-à-dire $P\lp 0\leqslant X\leqslant 5\rp$. 
\item Quelle est la probabilité d'attendre entre 5 et 10 min ? 
\item Quelle est la probabilité d'attendre plus de 15 min ? 
\item 
  \bgen[a)]
  \item Rappeler l'expression de la probabilité conditionnelle 
    $P_B(A)$.
  \item Calculer est la probabilité que j'attende en caisse plus de 15
    min sachant que j'attend déjà depuis 10 min.
  \item Quelle est la probabilité que j'attende en caisse plus de 30
    min sachant que j'attend déjà depuis 25 min.
  \enen
\enen

\bigskip
\noindent\textbf{\large{Loi de Weibull.}}
Les lois de Weibull recouvrent toute une famille de lois, dont la
fonction densité de probabilité a deux paramètres $k>0$ et $\lambda>0$
et peut s'écrire sous la forme, pour tout $x\in[0;+\infty[$, 
\[
f(x) = \dfrac{k}{\lambda} \lp \frac{x}{\lambda} \rp^{k - 1} e^{-(x/\lambda)^k}\,
\]
Pour $k=1$, on retrouve la loi exponentielle de paramètre
$\dfrac{1}{\lambda}$. 

La loi de Weibull est souvent utilisée dans le domaine de l'analyse de
la durée de vie. 

\vspd\noindent
\ul{Exemple} On considère la loi de Weibull de paramètres $k=2$ et
$\lambda=5$, ainsi 
\[
f(x)=\dfrac25\lp\dfrac{x}{5}\rp^1 e^{-(x/5)^2}
=\dfrac{2}{25}x e^{-x^2/25}
\]

\bgen
\item Représenter graphiquement la fonction $f$. 

  Comparer avec la densité de probabilité de la loi exponentielle de
  l'exercice précédent. 
\item Montrer que la fonction $F$ définie par 
  $F(x)=-e^{-x^2/25}$ est une primitive de $f$. 
\item Calculer les probabilités 
  \bgen[a)]
  \item $P\lp 0\leqslant X\leqslant 5\rp$ 
  \item $P\lp 5\leqslant X\leqslant 10\rp$ 
  \item $P\lp 0\leqslant X\leqslant 10\rp$ 
  \item $P\lp X\geqslant 10\rp$ 
  \enen

\enen

\label{LastPage}
\end{document}

\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(5,5)
  
  \psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
  \psline{->}(-1.2,0)(3,0)
  \psline{->}(0,-0.8)(0,4)
  
  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add}
  
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    \psline(2.2,0)(-.6,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
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  %\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
  \put(-1.,-0.4){$a$}\put(3.2,-0.4){$b$}
  \put(3.9,3.5){$\Cf$}

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  (0,0)(1,0)(1,1)(0,1)

  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
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  \put(-0.4,-0.4){$O$}\put(1.5,1){$K$}
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\]


\label{LastPage}
\end{document}
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