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Description
Cours de probabilités - Conditionnement et indépendance d'événements
Niveau
BTS
Table des matières
  • Loi des grands nombres
  • Vocabulaire probabiliste
  • Langage des événements
  • Probabilités d'un événement
  • Equiprobabilité
  • Probabilité conditionnelle
Mots clé
probabilités, conditionnement, probabilités conditionnelle, indépendance d'événements, BTS
Voir aussi:

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\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Probabilités},
    pdftitle={Cours de probabilités},
    pdfkeywords={Mathématiques, probabilités, BTS, 
      loi des grands nombres, dénombrement, arrangement, combinaison}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\parindent=0.2cm

\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \vspace*{-0.2cm}\noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilités}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}

\pagestyle{fancyplain}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/BTS/}}
\rfoot{\TITLE\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE}
\title{\TITLE}

\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\ct{\LARGE{\bf Probabilité}}

\vspt
\emph{"Les questions les plus importantes de la vie ne sont pour la
  plupart que des problèmes de probabilité."}
\hspace*{\fill}{\small{Pierre Simon de Laplace (1749-1827)}}

\vspt
{\it 
Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable
que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet
est dû au hasard.

\vspace{-0.4cm}
 \hfill Henri Poincaré (1854-1912)
}

\vspt
{\it 
On connaît la frayeur de ce malade qui, sur le point de subir une
intervention chirurgicale, demande :

- Docteur, combien a-t-on de chances de se tirer de là ?

- 99 pour cent.

- Et vous avez déjà réussi beaucoup d'opérations comme celle-là ?

- 99.

\vspace{-0.4cm}
 \hfill Jean-Louis Boursin, Les structures du hasard. Les
            probabilités et leurs usages
}



%% Calculs, aleatoire et Latex:
%\usepackage{fp,pgffor}
%\foreach\i in {1,...,20}{\FPrandom\hasard%
%\FPupn\result{6 \hasard{} * 1 + 0 trunc}
%\i: le d\'e sort: \result\\}

\vspace{-0.2cm}
\section{Loi des grands nombres%
%\protect\footnote{vdsv}
}

Jacob Bernoulli (mathématicien et physicien suisse, 1654 - 1705) donna
un premier modèle mathématique 
de cette loi vers 1690 (édité en 1713 dans son ouvrage 
{\it ars conjectandi}).  
%
C'est sur cette loi que repose des institutions telles que les
sondages, les assurances \dots loi qui leur permet de calculer des
probabilités et autres risques à partir d'études statistiques. 
%

\vspace{-0.3cm}

\bgth{{\bf Loi des grands nombres}

  Si l'on répète N fois une expérience dans laquelle la probabilité
  d'apparition d'un 
  évènement est P, 
  la fréquence de cet évènement au cours des N expériences 
  tend vers P lorsque N tend vers l'infini. 
}

\vspace{-0.55cm}
\newlength{\lgr}\setlength{\lgr}{9.7cm}
\newlength{\largr}\setlength{\largr}{4.5cm}
\begin{figure}[h!]
\epsx=\lgr\epsy=\largr
\epsfbox{./LancerDe50.eps}
\epsx=\lgr\epsy=\largr
\epsfbox{./LancerDe500.eps}
\end{figure}

\vspace{-0.8cm}
\begin{figure}[h!]
\epsx=\lgr\epsy=\largr
\epsfbox{./LancerDe1000.eps}
\epsx=\lgr\epsy=\largr
\epsfbox{./LancerDe10000.eps}
\end{figure}

\vspace{-0.3cm}
Ce théorème permet de faire le lien entre les statistiques et les
probabilités, 
en justifiant le fait que l'on peut choisir comme probabilité d'un
événement la fréquence statistique d'apparition de cet événément
lorsque le nombre d'expériences est très grand. 

La loi des grands nombres soulève une question d'ordre métaphysique: 
qu'un événement isolé soit soumis au hasard n'étonne personne. 
Pourtant, si l'on fait cette expérience un grand nombre de fois, 
on constate que les résultats s'équilibrent autour des probabilités, 
qui constituent d'une certaine façon une loi d'équilibre naturel. 

Ainsi, à long terme, et avec cette vision probabiliste, 
le chaos semble impossible et les catastrophes de moins en moins 
probables. 

\vspd
Pour Andreï Kolmogorov
(mathématicien russe, 1903 - 1987, dont les apports en mathématiques sont considérables), 
\emph{"la valeur épistémologique de la théorie des
  probabilités est fondée sur le fait que les phénomènes aléatoires
  engendrent à grande échelle une régularité stricte, où l'aléatoire a,
  d'une certaine façon, disparu"}. 
Appliquée aux sociétés humaines, cette
régularité statistique absolue qu'évoque Kolmogorov pose
l'interrogation suivante : nos actions individuelles peuvent-elles
être autre chose que la confirmation d'une tendance générale qui nous
dépasse ? 


\vspace{-0.3cm}

\section{Vocabulaire probabiliste}

\vspace{-0.8cm} 

\bgdef{
  \begin{itemize}
  \item[$\bullet$] Une "\textbf{expérience aléatoire}" 
    ou "\textbf{épreuve aléatoire}" est une expérience due au
    hasard\footnotemark, 
    c'est à dire dont on ne peut pas prévoir à l'avance le résultat, 
    mais dont on connaît toutes les issues possibles. 
  \item[$\bullet$] Les résultats d'une telle expérience sont appelés
    "\textbf{éventualités}" 
    ou "\textbf{événements élémentaires}" 
    ou "\textbf{issues}" 
  \item[$\bullet$] L'ensemble des éventualités est appelé 
    "\textbf{univers}" et est souvent noté U ou $\Omega$. 

  \item[$\bullet$] Un \textbf{événement} est une partie de $\Omega$, 
  c'est-à-dire un \textbf{sous ensemble}
  de l'univers, ou encore un ensemble d'éventualités.    
\end{itemize}    
}

\footnotetext{
de l'arabe \og al-zahr\fg signifiant à l'origine \og dés\fg et ayant
pris ensuite la signification de \og chance\fg. 

On peut aussi penser à l'étymologie  \og yasara\fg 
(\og jouer aux dés\fg) dont l'existence est attestée en arabe classique. 

Le mot se charge de nouvelles significations, et notamment de celle de
« danger ». Déjà perceptible dans le mot \og hasardeux\fg, ce nouveau
sens est devenu le noyau sémantique de l'anglais \og hazard\fg. 
} 

\vspq\noindent
\ul{Exemple:} 
Le lancer d'un dé est une expérience aléatoire (sauf si le dé est
totalement truqué).\\ 
Une éventualité de cette expérience est 3.\\
L'univers est $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.
A="Obtenir un nombre pair"  est un événement, 
et on a: A=\{2;4;6\}   



\vspace{-0.4cm} 
\section{Langage des événements}

\vspace{-0.7cm} 
\bgdef{
Soit A et B deux événements liés à une expérience aléatoire dont
l'univers est noté $\Omega$. 
\begin{itemize}
  \item[$\bullet$] l'\textbf{événement contraire de A dans $\Omega$} 
    est l'événement qui contient les éléments de $\Omega$ qui ne sont
    pas dans A. 
    C'est le \textbf{complémentaire de A dans $\Omega$} 
    et il est noté $\overline{A}$.
    %\textbf{NB}: Dans la notation $\overline{A}$ l'univers $\Omega$ 
    %est sous entendu. 
  \item[$\bullet$] l'\textbf{événement \flqq A et B\frqq }~est
    l'événement qui contient tous les éléments de $\Omega$ qui sont
    à la fois dans A et B. 
    Cet événement est noté A$\cap$B. 

  \item[$\bullet$] l'\textbf{événement \flqq A ou B\frqq}~ est
    l'événement qui contient tous les éléments de $\Omega$ qui sont soit
    dans A soit dans B. 
    Cet événement est noté A$\cup$B. 

  \item[$\bullet$] On dit que les événements A et B sont
    \textbf{incompatibles} ou \textbf{disjoints} lorsqu'ils n'ont pas
    d'éléments en commun, c'est à dire lorsque A$\cap$B=$\emptyset$. 
\end{itemize} 
}



\bgprop{L'événement contraire $\overline{A}$ de l'événement $A$ est
  caractérisé par: 
  $A\cap\overline{A}=\emptyset$
  et 
  $A\cup\overline{A}=\Omega$.
}

\bgex
J'achète trois billets de tombola. 
  Donner l'événement contraire de l'événement 
  $A$="Tous mes billets sont gagnants". 
\enex

\bgprop{(Lois de De Morgan)
Pour tous événements $A$ et $B$, 
$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$
et 
$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$
}

\vspace{-0.4cm}
\section{Probabilité d'un événement} 

\vspace{-0.8cm}
\bgdef{
On définit une probabilité sur 
$\Omega$, un univers fini, 
en associant à chaque événement un nombre
compris entre 0 et 1 tel que: 

\hspace{-1cm}$\bullet$ $P(\Omega)=1$
\qquad
$\bullet$ $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ pour tous les événements
   incompatibles (ou disjoints). 
}

%\clearpage
\bgex
On lance un dé à six faces: on a $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.
On peut avoir:
\begin{enumerate}[a)]
 \item Dé normal (non truqué): 
   Les probabilités des six événements élémentaires sont égales.\\ 
   Donner ces probabilités puis donner la probabilité de l'événement A :
   \flqq le nombre sorti est pair\frqq 

 \item Dé truqué:
   $P\lp\{1\}\rp=\dfrac{1}{12}$ , $P(\{6\})=\dfrac{5}{12}$ et
   $P(\{2\})=P(\{3\})=P(\{4\})=P(\{5\})$.\vspd\\ 
   Calculer $P(\{2\})$ puis donner la probabilité de l'événement A :
   \flqq le nombre sorti est pair\frqq 
 \item Question ouverte: 
   comment savoir qu'un dé est truqué ou non ? 
   Avec certitude ?
\end{enumerate}
\enex

\vspace{-0.3cm}
\bgprop{
Pour A et B deux événements quelconques on a: 

\vsp
$\bullet$ $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
\qquad
%  \item[$\bullet$] Si A et B sont incompatibles alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$
%    \vspd
$\bullet$ $p\lp\overline{A}\rp=1-p(A)$
%\vspd
  %\item[$\bullet$] Si $A\subseteq B$ alors $p\lp\overline{A}\rp\leq p(B)$
  %  \vspd
  %\item[$\bullet$] $p\lp\Omega\rp=1$, et $p\lp\emptyset\rp=0$
}

\bgex
a) Soit $A$ et $B$ deux événements. On donne $p(A\cup B)=0,4$,
   $p(B)=0,8$ et $p(A\cap B)=0,5$.  

\quad Calculer $p(A)$.
\begin{enumerate}[b)]
 \item Dans un lot de 32 pièces, 8 ont subi le contrôle $C_1$, 12 le
   contrôle $C_2$ et 3 les contrôles $C_1$ et $C_2$. 
On choisit au hasard une pièce, quelle est la probabilité pour qu'elle
ait subi le contrôle $C_1$ ou le contrôle~$C_2$? 
\end{enumerate} 
\enex

\bgex
Dans un groupe de 20 personnes, 
10 personnes s'intéressent au basket, 
8 à la lecture 
et 5 ne s'intéressent ni à l'un ni à l'autre. 

On note les événements 
$A$:"la personne s'intéresse au basket"
et $B$:"la personne s'intéresse à la lecture". 

\noindent
\bgmp{13cm}
\bgen
\item Compléter le tableau ci-contre.  

\item Déterminer la probabilité pour qu'une personne prise au hasard dans ce
  groupe s'intéresse 

  a)à l'une au moins des deux activités
  \qquad
  b) aux deux activités
\item Une personne du groupe est en train de lire. 
  Quelle est la probabilité pour qu'elle soit intéressée par le
  basket. 
\enen
\enmp\hfill
\bgmp{5cm}%\vspace{-0.2cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
  \rule[-0.2cm]{0.cm}{.6cm}
  Effectifs
  &$A$ &$\overline{A}$ & Total \\\hline
  \rule[-0.2cm]{0.cm}{.6cm}
  $B$ &&& \\\hline
  \rule[-0.2cm]{0.cm}{.6cm}
  $\overline{B}$ &&& \\\hline
  \rule[-0.2cm]{0.cm}{.6cm}
  Total &&& 20\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\enex


\section{L'équiprobabilité}

\vspace{-0.7cm}
\bgdef{
  Si toutes les éventualités d'un univers $\Omega$ ont la même
  probabilité, on dit qu'on a une situation d'équiprobabilité sur
  $\Omega$. 
}

\bgprop{Sous l'hypothèse d'équiprobabilité sur $\Omega$, 
  la probabilité d'un événement $A$ est: 

  \vspace{-0.3cm}
  \[
  p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éventualités dans $A$}}
    {\mbox{nombre d'éventualités dans $\Omega$}}
    =\frac{card(A)}{card(\Omega)} 
  \]
}

\vspace{-0.2cm}


\bgmp{16cm}
\bgex
Le digicode ci-contre se trouve à l'entrée d'un immeuble. 
Un code se compose de 2 lettres, puis 3 chiffres,
par exemple $BA544$. 


\enex
\enmp\hfill\vspace*{-.6cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
\rowcolor[gray]{0.7}A & B & C \\\hline
1 & 2 & 3 \\\hline
4 & 5 & 6 \\\hline
7 & 8 & 9 \\\hline
\end{tabular}

\vspt
\bgen
\item Déterminer le nombre de codes possibles, puis la probabilité de
  taper au hasard le bon code d'entrée.  
\item 
  \bgen[a.]
  \item Les 3 chiffres du code se suivent; quelle est
    la probabilité que je tape le bon code ?
  \item Le code est composé de 2 lettres distinctes et de 3 chiffres
    aussi distincts; quelle est la probabilité que je tape le bon code ?
  \enen
\enen


\bgex
On tire deux cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes. 

\bgen
\item Combien de mains différentes sont possibles ? 
\item Combien y'a-t'il de paires d'as ? 
\item Quelle est la probabilité de tirer une paire d'as ?
\enen
\enex


\bgex
Le système de code d'une carte bancaire comprend 10 chiffres. 
On forme un code en choisissant, dans l'ordre, 4 chiffres parmi les
10, les chiffres pouvant être répétés. 

\bgen
\item Sur 3 essais au hasard, quelle est la probabilité de taper le
  code correct~?  
\item Je me rappelle que le code exact commance par un 2. 
  Quelle est alors la probabilité de taper le code complet exact ? 
\item J'utilise un moyen informatisé qui teste successivement tous les
  codes, à raison de un code testé toutes les 10 secondes. 
  
  Combien de temps mettra mon système pour tester tous les codes ?
\enen
\enex


\vspace{-0.4cm}
\section{Probabilité Conditionnelle}

\vspace{-0.7cm}

\bgex
Un atelier utilise 3 machines $M_1$, $M_2$ et $M_3$. La fabrication
est répartie suivant les machines, mais, selon la vétusté des
machines, les pièces présentent parfois des défauts:\\ 
\[
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
  \hline
  Machine & $M_1$ & $M_2$ &$M_3$\\
  \hline
  Pièces fabriquées & 50\% & 35\% & 15\%\\
  \hline
  Pièces produites défectueuses & 1\% & 2\% & 6\%\\
  \hline
\end{tabular}
\]
\vspd

On tire une pièce au hasard dans le stock et on cherche la probabilité pour que
cette pièce soit défectueuse. 
On appelle $D$ l'événement "la pièce est défectueuse" et
$M_i$  l'événement "la pièce provient de la machine $M_i$" 
($i=1$, $2$, ou $3$).

Décrire la situation par un arbre de probabilité (arbre pondéré), 
et calculer la probabilité de l'événement~$D$. 
\enex


\bgdef{
Soit P une probabilité sur un univers $\Omega$ et B un événement tel
que $P(B) \neq 0$.\\ 
La probabilité de $A$, sachant que $B$ est réalisé, est notée $P_B(A)$
(ou $P(A|B)$).\\ 
Elle est définie par $P(A \cap B)=P_B(A) \times P(B)$ et donc on
a 
\[P_B(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\,.\] 
}


\vspace{-0.5cm}
\paragraph{Arbre pondéré}\ 

\bgmp{4.5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-1.8)(5,1.8)
  \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.7,1){$A$}\rput(0.6,0.8){$\scriptstyle P(A)$}
  \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.7,1.5){$B$}\rput(2.8,1.6){$\scriptstyle P_A(B)$}
  \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.7,0.5){$\overline{B}$}
  \rput(2.8,0.4){$\scriptstyle P_A(\overline{B})$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.7,-1){$\overline{A}$}
  \rput(0.6,-0.8){$\scriptstyle P(\overline{A})$}
  \psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$C_1$}
  \rput(2.8,-0.5){$\scriptstyle P_{\overline{A}}\lp C_1\rp$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1)\rput(3.8,-1){$C_2$}
  \rput(2.8,-0.9){$\dots$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$C_3$}
  \rput(2.8,-1.4){$\dots$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{13.5cm}
\bgen[{\bf Règle 1.}]
\item La somme des probabilités issues d'un même n\oe ud est égale à
  1. 

\item Sur chaque branche, on inscrit la probabilité conditionnelle. 

\item Un chemin correspond à l'intersection des événements. 

  Sa probabilité est le produit des probabilités. 

\item La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des
  chemins qui mènent à cet événement. 
\enen
\enmp

\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre pondéré
ci-contre. 
On sait de plus que $P(B)=0,39$. 

\bgen
\item Calculer la probabilité de l'événement $A\cap B$. 
\item En déduire la probabilité de $B$ sachant $A$.  
\item Dresser l'arbre pondéré "inversé". 
\enen
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,2.4)
  \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.7,1.5){$A$}
  \rput(0.65,1){$0,1$}
  \psline(2,1.5)(3.5,2)\rput(3.7,2){$B$}
  \psline(2,1.5)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\overline{B}$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.7,-1.5){$\overline{A}$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-1)\rput(3.7,-1){$B$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-2)\rput(3.7,-2){$\overline{B}$}
  \rput(2.7,-1){$0,4$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgex {\bf Fiabilité d'un test de contrôle de conformité}

Une entreprise de produits pharmaceutiques fabrique un certain type de
comprimés. 

Dans la production journalière, 90\% des comprimés produits sont
conformes. 
On contrôle chaque comprimé de la production. Lorsqu'un comprimé est
conforme, il est toujours accepté à l'issue du contrôle, tandis que
lorsqu'il n'est pas conforme, le contrôle n'étant pas infaillible, 
il peut néanmoins être accepté avec une probabilité de 5\%. 

On note les événements $C$:"le comprimé prélevé est conforme" et 
$A$:"le comprimé est accepté à l'issue du contrôle". 

\bgen
\item Décrire la situation par un arbre. 
\item On prélève au hasard un comprimé dans la production d'une journée. 
  Donner les probabilités: 
  \bgen[a)]
  \item qu'un comprimé soit accepté au contrôle et soit conforme; 
  \item qu'un comprimé soit accepté au contrôle et ne soit pas
    conforme; 
  \item qu'un comprimé soit accepté au contrôle. 
  \enen
\item Un comprimé est accepté au contrôle. Quelle est la probabilité
  qu'il soit conforme ? 

  {\sl (Indication: utiliser l'arbre du 1. "inversé")}

\item On suppose maintenant que dans la production seulement 80\% des
  comprimés produits sont conformes, le test de contrôle restant le
  même. 

  Déterminer de même que précédemment la probabilité qu'un comprimé
  accepté au contrôle soit conforme. 
\enen
\enex


\bgex {\bf Test de dépistage} 

\noindent
On définit, pour un test de dépistage d'une maladie: 

\noindent\bgmp{\textwidth}
\bgit
\item sa {\sl sensibilité}: la probabilité qu'il soit positif
  si la personne est atteinte de la maladie (vrai positif).
\item sa {\sl spécificité}: la probabilité qu'il soit négatif
  si la personne est indemne de la maladie (vrai~négatif). 
\item sa valeur prédictive positive: la probabilité que
  la personne soit réellement malade si son test est~positif. 
\item sa valeur prédictive négative: la probabilité que
  la personne n'ait pas la maladie si son test est négatif.
\enit\enmp

Les deux premières sont des valeurs
caractérisant un test, du point de vue du constructeur (laboratoire). 

Les valeurs prédictives sont quant à elles des données intéressantes
du point de vue de l'usager (patient). 

%\vspd
%On se propose d'étudier la valeur diagnostique d'un test de dépistage
%d'une maladie en fonction de la proportion $f$ de malades au sein
%d'une population. 

Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes: 
\bgit
\item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est
  $0,98$ (sensiblité du test); 
\item la probabilité qu'un individu non malade ait un test négatif est
  $0,99$ (spécificité du test). 
\enit

On notera par la suite les événements 
$M$\og l'individu est malade\fg et 
$T$:\og le test est positif\fg. 

\bgen
\item On utilise ce test pour dépister une maladie qui touche 30\% de
  la population. 
\bgen[a)]
  \item Dresser un arbre pondéré décrivant la situation. 
  \item Calculer la probabilité de l'événement $T$. 
  \item Déterminer les valeurs prédictives positive et négative du
    test. 
\enen

\item On suppose maintenant que la proportion de malade est $f$. 
\bgen[a)]
\item Déterminer de même que précédemment les valeurs prédictives positive
  et négative que l'on notera respectivement $G(f)$ et $H(F)$.  
\item Tracer l'allure des courbes de $G(f)$ et $H(F)$. 

\item Que peut-on dire du dépistage d'une maladie rare dans une population ?
\enen
\enen
\enex


\bgex
Tous les élèves d'une promotion ont passé un test de certification en
anglais. 
\bgit
\item $80\,\%$ ont réussi le test. 
\item Parmi ceux qui ont réussi le test, $95\,\%$ le passaient pour la
  1ère fois.
\item Parmi ceux qui ont échoué au test, $2\,\%$ le passaient pour la
  1ère fois. 
\enit

\noindent
On considère les événements $R$:"l'élève a réussi le test", 
et $F$:"l'élève a passé le test plusieurs fois". 

\bgen
\item Traduire l'énoncé en termes de probabilité 
  et dresser un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer la probabilité qu'un élève pris au hasard ait passé
  le test pour la 1ère fois et l'ait~réussi. 
\item Déterminer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé
  plusieurs fois le test. 
\item On choisit au hasard un élève ayant passé plusieurs fois le
  test. 
  Quelle est la probabilité qu'il ait réussi ? 
\enen
\enex


\bgdef{
  Deux événements de probabilités non nulles sont dits indépendants si 
  la réalisation de l'un n'agit pas sur la réalisation de l'autre. 
  En d'autres termes si $P_B(A)=P(A)$. 
}

\bgprop{
  Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si 
  $P(A\cap B)=P(A) \times P(B)$.
}

\vspd\noindent
{\sl Remarque:
  Si $A$ et $B$ sont indépendants alors $A$ et 
  $\overline{B}$ le sont aussi,  
  tout comme $B$ et $\overline{A}$ ainsi que $\overline{A}$ 
  et~$\overline{B}$. 
}

\bgex On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. 
Les événements $A$ et $B$ suivants sont-ils indépendants ? 

\bgen[a)] 
\item $A$:\og la carte tirée est un valet\fg 
  et $B$:\og la carte tirée est noire\fg. 
\item $A$:\og la carte tirée est un valet\fg 
  et $B$:\og la carte tirée est une figure\fg.
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{11cm}
\bgex
Un sondage auprès de  clients d'un magasin a donné les préférences
suivantes, en fonction de la catégorie d'âge. 

"Avoir moins de 30 ans" et "préférer les films" sont-ils indépendants ?

\enex
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
  \rule[-0.5cm]{0.cm}{1.2cm} 
  \psline(-1.8,0.7)(1.7,-0.5)
  \rput[l](-1,-0.2){Age}
  \rput[l](-0.4,0.4){Préférence}
  & Films & Séries \\\hline
  \rule[-0.3cm]{0.cm}{1.cm} 
  Moins de 30 ans & 120 & 150\\\hline
  \rule[-0.3cm]{0.cm}{1.cm} 
  Plus de 30 ans &  220 & 260\\
\hline
\end{tabular}
\enmp


\bgex
On suppose que chacun des moteurs d'un avion bimoteur tombe en panne
avec une probabilité de $0,000\,1$ et ceci de façon indépendante de
l'autre moteur. 

Quelle est la probabilité que l'avion arrive à bon port, sachant qu'il
peut voler avec un seul moteur ?
\enex


\bgex
Un circuit électronique est formé de 10 éléments identiques installés
en série. 
Chaque élément a, indépendamment des autres, une probabilité de 0,2 de
tomber en panne. 

\vspd
Quelle est la probabilité pour que le circuit tombe en panne ?
\enex



\bgex {\it D'après BTS}\quad
Une entreprise fabrique des moteurs électriques. 
Afin de vérifier la conformité des moteurs, on procède à deux tests: 
l'un de type mécanique, et l'autre de type électrique. 

Un moteur est rejeté s'il présente au moins l'un des deux types de
défaut. 
Un moteur est déclaré en parfait état de marche s'il ne présente aucun
des deux types de défaut. 

Une étude statistique de la production conduit à dégager les résultats
suivants: 

\bgit
\item la probabilité qu'un moteur soit défectueux pour le test
  mécanique est 0,08; 
\item la probabilité qu'un moteur soit défectueux pour le test
  électrique est 0,05;
\item la probabilité qu'un moteur soit défectueux pour les deux tests
  est 0,02. 
\enit

On prélève au hasard un moteur dans la production. 
On note les événements 
$D_M$:"le moteur prélevé présente un défaut de type mécanique", 
et 
$D_E$:"le moteur prélevé présente un défaut de type électrique". 

\bgen
\item 
  \bgen[a.] 
  \item Les événements $D_M$ et $D_E$ sont-ils indépendants ? 
  \item Calculer la probabilité de l'événement $D_M$ sachant que
    l'événement $D_E$ est réalisé. 
  \enen

\item 
  \bgen[a.]
  \item Calculer la probabilité de l'événement 
    $A$: "le moteur prélevé présente au moins un défaut". 
  \item Démontrer que la probabilité de l'événement 
    $B$: "le moteur prélevé est en parfait état de marche" 
    est de 0,89. 
  \item Déterminer la probabilité de l'événement 
    $C$: "le moteur prélevé présente un seul défaut. 
  \enen
\enen
\enex


\bgex Un lot de 100 pièces comprend 5 pièces défectueuses. 
On tire au hasard, avec remise, 10 pièces dans le
lot. 

\bgen
\item Quelle est la probabilité de n'avoir aucune pièce défectueuse
  parmi les 10 ? 
\item Quelle est la probabilité d'avoir une seule pièce défectueuse
  parmi les 10 ? 
\item Quelle est la probabilité d'avoir au moins une pièce défectueuse
  parmi les 10 ? 
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}




\bgprop{{\bf Triangle de Pascal}
  Pour tout $1\leqslant p\leqslant n$, $C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p$

\vspd
\ul{Conséquence}: On peut donc calculer les coefficients binomiaux de
proche en proche à l'aide du triangle de Pascal qui se construit de la
façon suivante:
\begin{itemize}
\item la première colonne et la diagonale comportent des~1
\item tout autre nombre est obtenu en additionnant le nombre situé
  au-dessus et celui situé au-dessus et à gauche
\end{itemize}

\vspd
\begin{tabular}{p{0.4cm}|ccccc}
\rput(0.15,-0.1){$n$}\rput(0.45,0.1){$p$}  &0 &1 &2 &3 
\rule[-7pt]{0pt}{20pt}\\\hline
0 &$C_0^0$ \\
1 &$C_1^0$ &$C_1^1$ \\
2 &$C_2^0$ &$C_2^1$ &$C_2^2$       \\
3 &$C_3^0$ &$C_3^1$ &$C_3^2$ &$C_3^3$    \\
4 &$C_4^0$ &$C_4^1$ &$C_4^2$ &$C_4^3$  &$C_4^4$ \\ 
5 & \multicolumn{2}{c}{\ldots}
\end{tabular}\hspace{3cm}
\begin{tabular}{p{0.4cm}|ccccc}
\rput(0.15,-0.1){$n$}\rput(0.45,0.1){$p$}  &0 &1 &2 &3 
\rule[-7pt]{0pt}{20pt}\\\hline
0 &1 \\
1 &1 &1 \\
2 &1 &2 &1       \\
3 &1 &3 &3 &1    \\
4 &1 &4 &6 &4  &1 \\ 
5 & \multicolumn{2}{c}{\ldots}
\end{tabular}
}


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