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Description
Cours de probabilités: variables aléatoires discrètes, loi binomiale
Niveau
BTS
Table des matières
  • Variable aléatoire et loi de probabilité
  • Espérance et écart type
  • Langage des événements
  • Loi binomiale
Mots clé
probabilités, variable aléatoire discrète, espérance, écart type, loi binomiale, schéma de Bernoulli, répétition d'expériences aléatoires, BTS
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Probabilités},
    pdftitle={Variables aléatoires discrètes},
    pdfkeywords={Probabilités, Variables aléatoires discrètes, 
      loi de probabilité, schéma de Bernoulli, loi binomiale} 
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\newcounter{ntheo}
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\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
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    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
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\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Variables aléatoires discrètes}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/BTS/}}
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\cfoot{\TITLE}
\title{\TITLE}

\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\ct{\LARGE{\bf \TITLE}}
\vspace{-0.4cm}

\section{Variable aléatoire et loi de probabilité}

\vspace{-0.6cm}

\bgdef{
  Soit une expérience aléatoire et soit $\Omega$ l'univers et $P$ une
  probabilité sur cet univers.
  \bgit
  \item On appelle variable aléatoire (v.a.) définie sur $\Omega$
  toute fonction $X$ de $\Omega$ sur $\mathbb{R}$ 

  \item La loi de probabilité de la v.a. $X$ est l'ensemble des
    probabilités des événements \mbox{$\lp X=x_i\rp$} pour toutes les valeurs $x_i$
    que peut prendre la v.a. $X$. 
  \enit
}


\bgex
Marouane et Fernando jouent au jeu suivant: 
Fernando lance une pièce de monnaie "normale" et Marouane gagne 10
euros si le résultat est pile et perd
5 euros si le résultat est face. 

\noindent
\bgmp{13.2cm}
On peut définir la variable aléatoire $X$ égale au gain
algébrique (gain ou perte) de Marouane après un lancer. 

$X$ peut prendre les valeurs $x_1=10$ et $x_2=-5$. 
On présente en général la loi de probabilité de $X$ dans un tableau: 
\enmp\hfill
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
  \rule[-0.4cm]{0.cm}{1.cm}$x_i$ & $10$ & $-5$ \\\hline
  $P\lp X=x_i\rp$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ 
  \rule[-0.4cm]{0.cm}{1.2cm}\\\hline
\end{tabular}
\enex

\vspd
\bgex
On mise 1 euros et on tire deux cartes au hasard dans un jeu de 32
cartes. 

\bgit
\item si on a une paire d'as, on gagne 50 euros; 
\item si on a une paire de figures (valet, dame ou roi), on gagne 10
  euros; 
\item si on a une autre paire on gagne 5 euros; 
\item si les deux cartes sont de la même couleur, on récupère notre
  mise; 
\item dans tous les autres cas, la mise est perdue. 
\enit

On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique lors d'un
tirage. 

\bgen
\item Combien y'a-t'il de mains de 2 cartes possibles ? 
\item Calculer les probabilités de tirer une paire d'as, une paire de
  figures, \dots et donner la loi de probabilité de $X$. 
\enen
\enex


\vspd
\bgex
Une machine à sous au casino se compose de 3 tambours cylindriques. 
Sur chacun d'eux peut apparaître de façon aléatoire et équiprobable
l'un des quatres symboles: un 7, un citron, un kiwi, ou une banane. 

\bgen
\item Quel est le nombre total de combinaisons que l'on peut
  obtenir ? 

\item 
  On mise au départ 5 \euro: 
  \bgit
  \item si trois 7 apparaissent, on gagne vingt fois la mise de départ;
  \item si trois fruits identiques apparaissent, on gagne dix fois la
    mise départ; 
  \item si deux 7 seulement apparaissent, on gagne deux fois la mise
    de départ; 
    \item dans tous les autres cas, on ne gagne rien.
  \enit
  
  On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique lors
  d'une partie. 

  Donner la loi de probabilité de $X$. 

%  \vspd
%\item On dispose d'une somme de départ de 200 \euro. 
%  Combien peut-on espérer gagner ? 
\enen
\enex




\vspace{-0.6cm}

\section{Espérance mathématique et écart-type} 
\vspace{-0.6cm}

\bgdef{
  Soit $X$ une variable aléatoire prenant n valeurs $x_i$ avec la
  probabilité $p_i=p(X=x_i)$. 
  L'espérance mathématique de $X$ est le
  nombre noté $E(X)$: 
  \[
  E(X)=\sum_{i=1}^{n} p_i\times x_i=\sum_{i=1}^{n} p(X=x_i)\times x_i
  \]
  C'est la moyenne des valeurs prises par la v.a. $X$, 
  pondérées par les probabilités qu'ont ces valeurs de se produire. \\
  Un jeu tel que $E(X)=0$ est dit équitable.
}

\bgex
\bgen 
\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire du jeu
des exercices 1, 2 et 3.

Interpréter ces résultats. 
\item On dispose d'une somme de départ de 200 \euro. 
  Combien peut-on espérer gagner à chacun de ces jeux ? 
\enen
\enex







\bgdef{
  Soit $X$ une variable aléatoire prenant $n$ valeurs $x_i$ avec la
  probabilité $p_i$. 
  La variance de la variable aléatoire réelle $X$ est le nombre noté
  $V(X)$ tel que: 
  \[
  V(X)
  =E\Big( \big( X-E(X)\big)^2\Big)  
  =\sum^{n}_{i=1} (x_i-E(X))^2p_i
  \]
  Et l'écart type de X est le nombre noté $\sigma(X)$ tel que:
  $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

  L'écart-type permet de mesurer la dispersion autour de son espérance des
  valeurs prises par la variable aléatoire.\\ 
  Dans un jeu l'écart-type mesure les "risques" (en gain ou en perte) pris par
  le joueur. 
}

\bgprop{\quad  $V(X)=E(X^2)-\lp E(X)\rp^2$. 
}

\bgex
La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par le
tableau:

\vsp\ct{
\begin{tabular}{|c|*6{p{1.4cm}|}}\hline
  $x_i$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\\hline
  $p(X=x_i)$ & $0,1$ & $0,2$ & $0,25$ & $0,05$ &  & $0,15$\\\hline
\end{tabular}
}

\vspd
1) Calculer $p(X>0)$

\vspd
2) Calculer l'espérance mathématique de $X$, sa variance et son écart
type.  
\enex


\bgex
On considère les deux jeux suivants:
\bgen[a)]
\item On lance une pièce et on gagne 1 euro si on obtient face et on
  perd 1 euro si on obtient pile. 
\item On lance une pièce et on gagne 1 000 000 euro si on obtient face
  et on perd 1 000 000 euro si on obtient pile. 
\enen
Ces jeux sont-ils équitables? Lequel des deux est le plus "risqué"?
\enex



\section{Loi binomiale} 

\bgex
\bgen
\item On lance un dé bien équilibré 3 fois successivement. 
  Le résultat de chaque lancer est indépendant des précédents. 
  On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois que l'on a
  obtenu le chiffre 6 sur ces 3 lancers. 
  
  Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$: 
  %\renewcommand{\arraystretch}{2.}
  \[
  \begin{tabular}{|c|*4{p{2cm}|}}\hline
    $x_i$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\\hline
    \rule[-0.5cm]{0.cm}{1.2cm}$P\lp X=x_i\rp$ &&&&\\\hline
  \end{tabular}
  \]
\item On lance maintenant 4 fois successivement ce même dé.  
  Compléter le tableau suivant:
  %donnant la loi de probabilité de $X$, 
  %variable aléatoire égale au nombre de fois que $6$ est obtenu: 
  %\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
  \[
  \begin{tabular}{|c|*5{p{2cm}|}}\hline
    $x_i$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\\hline
    \rule[-0.5cm]{0.cm}{1.2cm}$P\lp X=x_i\rp$ &&&&&\\\hline
  \end{tabular}
  \]
\item On lance maintenant 5 fois successivement ce même dé.  
  Compléter le tableau suivant: 
  %donnant la loi de probabilité de $X$, 
  %variable aléatoire égale au nombre de fois que $6$ est obtenu: 
  %\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
  \[
  \begin{tabular}{|c|*6{p{2cm}|}}\hline
    $x_i$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ \\\hline
    \rule[-0.5cm]{0.cm}{1.2cm}$P\lp X=x_i\rp$ &&&&&&\\\hline
  \end{tabular}
  \]
\enen
\enex

\bgdef{
  Une {\bf épreuve de Bernoulli\footnotemark[1]} est une expérience
  aléatoire qui ne comporte que deux issues, l'une appelée succès et
  de probabilité $p$,  
  l'autre appelée échec et de probabilité $1-p$. 

  \bgmp{10.2cm}
  La loi de probabilité est alors appelée loi de Bernoulli de
  paramètre $p$. 
  \enmp\hspace{0.7cm}
  \bgmp{4cm}
  \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
    issue & succès & échec \\\hline
    probabilité & $p$ & $1-p$ \\\hline
  \end{tabular}
  \enmp
}

\vspd\noindent
\bgmp{12.4cm}
\ul{Exemple:} On lance un dé cubique équilibré. 
On appelle succès l'événement: $S$ "un six est obtenu". 
Sa probabilité est $p=\dfrac{1}{6}$. 

On obtient la loi de Bernouilli de paramètre 
$p=\dfrac{1}{6}$. 
\enmp\hspace{0.7cm}
\bgmp{4cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
  issue & succès & échec \\\hline
  probabilité & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{5}{6}$ 
  \rule[0.8cm]{0.cm}{0.cm}\\\hline
\end{tabular}
\enmp

\bgdef{Un {\bf schéma de Bernouilli} est la répétition d'épreuves de
  Bernoulli identiques et indépendantes 
  (c'est-à-dire que l'issue d'une épreuve ne dépend pas des issues des
  épreuves précédentes).
}

\vspd
\footnotetext[1]{Jacques ou Jakob
  Bernoulli (27 décembre 1654, Bâle - 16 août 1705) est un
  mathématicien et physicien suisse, frère de Jean Bernoulli et oncle
  de Daniel Bernoulli et Nicolas Bernoulli.\\ 
  Il enseigne à l'université de Bâle à
  partir de 1682, devenant professeur de mathématiques en 1687. Il
  mérita par ses travaux et ses découvertes d'être nommé associé de
  l'Académie des sciences de Paris (1699) et de celle de Berlin
  (1701).\\ 
  Sa correspondance avec Gottfried Leibniz le conduit à étudier le
  calcul infinitésimal en collaboration avec son frère Jean. Il fut un
  des premiers à comprendre et à appliquer le calcul différentiel et
  intégral, proposé par Leibniz, découvrit les propriétés des nombres
  dits depuis nombres de Bernoulli, et donna la solution de problèmes
  regardés jusque-là comme insolubles.}

\bgex
On lance un dé cubique équilibré 3 fois de suite. 
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois que
l'événement $S$: "obtenir un six" est réalisé. 

\bgen
\item Dresser un arbre pondéré et déterminer la loi de probabilité
  de $X$.  

\item Mêmes questions si on lance cette fois 4 fois de suite le
  dé. 

\item Mêmes questions si on lance cette fois 5 fois de suite le
  dé. 
\enen
\enex

\bgprop{
  On considère un schéma de Bernouilli constitué de $n$ épreuves
  indépendantes, et on note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque
  liste de $n$ résultats associe le nombre de succès. 

  \vspd
  Alors, pour tout entier $k$, avec $0\leqslant k\leqslant n$, 
  $\dsp P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$.

  \vspd
  La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est appelée 
  {\bf loi binomiale de paramètres $n$ et $p$}, et est notée 
  $\mathcal{B}(n;p)$.
}


\bgprop{
  Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, 
  alors 
  
  \ct{$E(X)=np$ \ \ \ et\ \ \  $V(X)=npq=np(1-p)$.}
}

\vspd
\bgex
Un élève répond au hasard aux 10 questions d'un QCM. 
Pour chaque question, 5 réponses sont proposées dont une seule est
exacte. 
$X$ est la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses. 


\bgen
\item Montrer que la loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale. 
\item Calculer la probabilité d'avoir au moins 5 bonnes réponses. 
\item Calculer l'espérance mathématique du nombre de bonnes réponses. 
\enen
\enex

\clearpage

\bgex 
Des études statistiques montrent que lors d'une naissance, la
probabilité d'avoir un garçon est d'environ 0,51. 
On choisit au hasard une famille de quatre enfants où les naissances 
sont supposées indépendantes et on s'intéresse au nombre de garçons. 

\vsp
\bgen
\item Justifier que cette situation peut-être modélisée par une
  loi de binomiale. 
\item Calculer la probabilité que cette famille compte au moins un
  garçon. 
\enen
\enex

\bgex
Statistiquement on observe que 2\,\% des personnes sont gauchères. 

Calculer la probabilité que sur 35 personnes, il y ait plus de trois
personnes gauchères. 
\enex

\bgex
Dans chacun des cas suivants, la variable aléatoire $X$ suit-elle une loi
binomiale ?
Donner le cas échéant les valeurs des paramètres de la loi
binomiale associée.
\bgen
\item On lance 5 fois successivement un dé à jouer non truqué, et on
  note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de 2 obtenus parmi
  ces lancers. 

\item On lance 5 fois successivement un dé à jouer non truqué, et on
  note $X$ la variable aléatoire égale au numéro du premier lancer pour
  lequel on obtient le chiffre 6. 

\item On lance 10 fois successivement 2 dés à jouer non pipés, et on
  note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où une somme
  de 10 est obtenue en ajoutant les chiffres des 2 dés. 

\item Une branche présente 10 fleurs blanches ou roses réparties au
  hasard. 
  On compte au total 2 fleurs blanches et 8 fleurs roses. 

  On cueille successivement et au hasard 3 fleurs, et on note $X$ la
  variable aléatoire égale au nombre de fleurs blanches cueillies. 
\enen
\enex


\bgex
Une machine produit en moyenne 2 \% de pièces défectueuses. On prélève
50 pièces au hasard.\\ 
Le nombre de pièces dans le stock est assez important pour que l'on
puisse considérer le tirage comme étant avec remise.\\ 
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de pièces
défectueuses.\\ 
Calculer la probabilité d'obtenir 1; 2;3 ou 4 pièces défectueuses.
\enex

\bgex
Une entreprise dispose d'un parc informatique composé de 50
ordinateurs neufs. 

Chaque ordinateur est garanti un an, période pendant laquelle la
probabilité qu'il tombe en panne est de $0,1$; 
la panne d'un ordinateur n'affectant pas les autres ordinateurs du
parc. 

Quelle est la probabilité que moins de 3 appareils tombent en panne
durant l'année ?
\enex

\bgex
La probabilité qu'un voyageur oublie ses bagages dans le train est de
0,005. 
Un train transporte 150 voyageurs. 
On admet que ces voyageurs se comportent, vis-à-vis de leurs bagages,
indépendamment les uns des autres. 

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le
nombre de voyageurs ayant oublié leurs bagages dans le train. 

\bgen
\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? 
  Calculer son espérance mathématique et sa variance. 

\item Calculer la probabilité des événements suivants: 
  \bgen[a)] 
  \item aucun voyageur n'a oublié ses bagages.
  \item cinq voyageurs au moins ont oublié leurs bagages.
  \enen
\enen
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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