Source Latex
du cours de mathématiques
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équations différentielles}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
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\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\vphi{\varphi}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\textwidth=18cm
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\newcounter{ntheo}
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\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
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\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
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\stepcounter{ntheo}
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\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
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\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\qquad \arabic{subsection}.\arabic{subsubsection}}
% Concernant la mise en page des algo:
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\emph{\textcolor{white}{\!\!#1}}} \\
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(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
(\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
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(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
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\par
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\enmp
\enmp
\vspd
}
% et pour les progs casio:
\nwc{\return}{
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\psline{<-}(0,0.1)(0.3,0.1)(0.3,0.25)}
\nwc{\disp}{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.2,0)(0.2,0.15)}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Equations différentielles - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{\TITLE\ - $BTS$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{-0.9cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
%\vspace{-0.6cm}
\section{Nombres complexes}
\bgex
Résoudre l'équation
$x^2+2x+2=0$.
Vérifier que les deux nombres complexes trouvés sont bien solutions de
l'équation.
\enex
\bgex
Résoudre les équations:
a) $x^2+2x+65=0$
\qquad
b) $r^2+4r+4=0$
\qquad
c) $z^2-3z-4=0$
\qquad
d) $z^2=-4$
\qquad
e) $z^2=7$
f) $z^2-4z+8=0$
\qquad
g) $r^2-\dfrac12r+\dfrac18=0$
\qquad
h) $r^2-3r+3=0$
\qquad
i) $r^2+8r-20=0$
\enex
\section{Equations différentielles}
\subsection{Equations différentielles linéraires du premier ordre}
\bgex
Résoudre l'équation $2y'+4y=3$, en recherchant une fonction constante
solution particulière.
\enex
\bgex
Résoudre l'équation différentielle $y'+3y=e^{-t}$,
en recherchant une solution particulière sous la forme
$y_p(t)=Ae^{-t}$.
\enex
\bgex
Résoudre l'équation différentielle
$(E):\ y'+3y=12$.
Déterminer alors la solution de $(E)$ vérifiant
$y(0)=1$.
\enex
\bgex{\bf Vitesse d'un parachute}
La vitesse d'un objet suspendu à un parachute est solution de
l'équation
$(E):\ mv'(t)+kv(t)=mg$.
On prendra: $m=10kg$, $g=10\,m.s^{-2}$ et $k=25$ u.S.I.
\bgmp{4.1cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2,-3)(2,3.2)
\psarc(0,1){2}{20}{160}
\psarc(-1.2,1.1){0.9}{48}{140}
\psarc(0,1.1){0.9}{48}{132}
\psarc(1.2,1.1){0.9}{40}{132}
\psline(0,-1)(-1.89,1.68)
\psline(0,-1)(1.89,1.68)
\psline(0,-1)(0.6,1.78)
\psline(0,-1)(-0.6,1.78)
\pspolygon(-0.2,-1)(0.2,-1)(0.2,-1.6)(-0.2,-1.6)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-1.6)(0,-2.8)\rput(0.4,-2.3){$\V{V}$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{13.5cm}
\bgen
\item Déterminer la fonction constante $v_p$ solution de $(E)$.
Donner alors l'ensemble des solutions de $(E)$.
\item
\bgen[a)]
\item Donner la solution $v_1$ de l'équation $(E)$ dont la vitesse
initiale est $v_1(0)=5\,m.s^{-1}$.
\item Donner la solution $v_2$ de l'équation $(E)$ dont la vitesse
initiale est $v_2(0)=10\,m.s^{-1}$.
\item Donner la solution $v_3$ de l'équation $(E)$ dont la vitesse
initiale est nulle.
\item Déterminer les limites lorsque $t\to+\infty$ des fonctions
$v_1$, $v_2$ et $v_3$.
\enen
\enen
\enmp
\enex
\bgex
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,-2.8)(5,2.4)
\psline(0,0.1)(0,2)(5,2)(5,1.6)
\pspolygon(4.7,1.6)(5.3,1.6)(5.3,-1.6)(4.7,-1.6)
\rput(5,0){$R$}
\psline{->}(5.7,-1.7)(5.7,1.7)
\rput(6,0){$u$}
\psline(0,-0.1)(0,-2)(2,-2)(2.5,-2.5)
\psline(2.5,-2)(5,-2)(5,-1.6)
\psline(-0.4,0.1)(0.4,0.1)
\psline(-0.4,-0.1)(0.4,-0.1)
\rput(0.7,0){$C$}
\psline{->}(3,2)(3.3,2)\rput(3.2,2.5){$i$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{11.cm}
Dans un circuit $RC$, on a les relation
$u(t)=Ri(t)$
et $i(t)=-\dfrac{dq}{dt}=-q'(t)$
avec la charge $q(t)=Cu(t)$.
Ainsi, $u(t)=Ri(t)=R\Bigl( Cu(t)\Bigr)'$,
\vspd
soit encore l'équation différentielle
$(E):\ RCu'(t)+u(t)=0$.
\enmp
On prend $C=15.10^{-5}$ farads et $R=2.10^4$ ohms.
\bgen
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$, puis déterminer la
fonction $u$ solution telle que $u(0)=u_0=10$ volts.
\item Déterminer la limite $\dsp\lim_{t\to+\infty} u(t)$.
\item A partir de quel instant $t_1$ la tension $u(t)$ vérifie
$u(t)\leqslant \dfrac{1}{10}u_0$.
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $u$.
\enen
\enex
\bgex {\bf Incident à l'eau de mer}
Un réservoir contient 1000 litres d'eau douce dont la salinité est de
$0,12\ g.L^{-1}$.
A la suite d'un incident, de l'eau de mer pénètre dans le réservoir à
raison de 10 litres par minute.
On s'intéresse à l'évolution au cours du temps de la salinité dans le
réservoir. On note $s$ cette salinité, $s$ étant donc une fonction du
temps $t$.
On admet que $s$ est solution de l'équation différentielle
\[
(E):\quad s'+0,01s=0,39
\]
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Résoudre l'équation $(E_1):\quad s'+0,01s=0$.
\item Déterminer une fonction constante $g$ solution de l'équation
$(E)$.
\item Résoudre l'équation $(E)$.
\enen
\item A l'instant $t=0$ où débute l'incident, la salinité de l'eau
dans le réservoir était de $0,12\ g.L^{-1}$.
Montrer que l'on alors $s(t)=39-38,88\,e^{-0,01t}$.
\item Déduire du résultatprécédent la salinité de l'eau dans le
réservoir au bout de 60 minutes.
\item De combien de temps le service d'intervention dispose-t'il pour
colmater l'infiltration si la salinité doit rester inférieure à
$3,9\, g.L^{-1}$ ?
\enen
\enex
\subsection{Equations différentielles linéaires du second ordre}
\bgex
Soit l'équation différentielle $(E):\ y"-y'-6y=6t$.
\bgen
\item Vérifier que les fonctions $y_1(t)=Ae^{3t}$ et $y_2(t)=Be^{-2t}$ sont
des solutions de l'équation sans second membre
$(E_0):\ y"-y'-6y=0$.
\item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que
$y_p(t)=at+b$ soit une solution de $(E)$.
\item En déduire que $y=y_1+y_2+y_p$ est une solution générale de $(E)$.
\enen
\enex
\bgex
Vérifier que la fonction définie par
$y(t)=e^{2t}\cos\lp 3t\rp$ est une solution de l'équation
$(E_0):\ y"-4y'+13y=0$.
\enex
\bgex
Déterminer les fonctions solutions de l'équation différentielle
$(E): y''-4y'+3y=0$.
\enex
\bgex
Déterminer les fonctions solutions de l'équation différentielle
$(E): y''+2y'+2y=0$.
\enex
\bgex
Déterminer les fonctions solutions de l'équation différentielle
$(E): y''+4y=0$.
\enex
\bgex
Soit l'équation différentielle
$(E):\ y"-4y'+3y=-3t^2+2t$.
Chercher une solution particulière de $(E)$ sous la forme d'un
polynôme du second degré.
Déterminer alors l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
\enex
\bgex
Soit l'équation $(E):\ y"-4y'+4y=3e^{-t}$.
Chercher une solution particulière de $(E)$ sous la forme
$y_p(t)=Ae^{-t}$.
Déterminer alors l'ensemble des solutions de $(E)$.
\enex
\bgex On considère l'équation différentielle:
$(E): y''-3y'+2y=4$,
dans laquelle $y$ est une fonction de la variable $x$.
\bgen
\item Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ sans second membre
associée à $(E)$.
\item Déterminer une fonction constante $g$ solution de $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière de $(E)$ vérifiant de plus
les conditions initiales $f(0)=1$ et $f'(0)=2$.
\enen
\enex
\bgex {\bf Objet retenu par un ressort.}
On fixe à l'extrémité d'un ressort horizontal un objet qui peut
coulisser sans frottement sur un plan.
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.8,-1.5)(6.5,1.2)
\newcommand{\f}[1]{#1 2 add}
\psline(-0.5,0)(7,0)
\multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,-0.5)(! \f{\i}\space 0)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](-.3,0)(-.3,0.8)(0,0.8)(0,0)
\psline(0,0.4)(0.4,0.4)(0.5,0.2)(0.7,0.6)(0.9,.2)(1.1,.6)(1.3,.2)(1.5,.6)
(1.7,.2)(1.9,.6)(2.1,.2)(2.3,.6)(2.5,.2)(2.7,.6)(2.9,.2)(3.,.4)(3.6,.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.6,0)(3.6,1)(5,1)(5,0)
\rput(4.4,0.5){$M$}
\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-1)(3.6,-1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-1.2)\rput(2.,-1.3){$X(t)$}
\psline[linestyle=dashed](3.6,0)(3.6,-1.2)
\end{pspicture*}
\enmp\qquad
\bgmp{10cm}
On repère l'objet par sa position $X$ qui varie en fonction du temps
$t$.
On admet que la fonction $X$ est solution de l'équation
\[
(E): X''+100X=0
\]
\enmp
\bgen
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution de l'équation $(E)$ telle que
$X(0)=10^{-1}$ et $X'(0)=0$.
\item On admet que si l'objet $M$ frotte sur le plan,
l'équation différentielle devient
$(E'): X''+X'+100=0$.
Résoudre de même $(E')$, avec les mêmes conditions initiales.
\item Représenter graphiquement les solutions de $(E)$ et $(E')$.
\enen
\enex
\bgex {\bf Oscillations libres et amorties dans un fluide visqueux.}
L'écart à sa position initiale d'un objet dans un fluide visqueux est
une fonction du temps solution de l'équation différentielle
\[
(E): \dfrac{d^2y}{dt^2}+2\dfrac{dy}{dt}+2y=0
\]
\bgen
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière de $(E)$ qui s'annule pour
$t=0$ et dont la dérivée vaut $4$ pour $t=0$.
\enen
\enex
\bgex {\bf Oscillations forcées et amorties dans un fluide visqueux.}
L'objet de l'exercice précédent, toujours dans le même fluide
visqueux, est maintenant soumis à une excitation entretenue.
L'écart de l'objet à sa position initiale est alors solution de
l'équation différentielle
\[
(E): \dfrac{d^2y}{dt^2}+2\dfrac{dy}{dt}+2y=10\cos(2t)
\]
\bgen
\item Montrer que la solution $g$ définie par
$g(t)=2\sin(2t)-\cos(2t)$ est une solution particulière de $(E)$.
\item Déterminer alors l'ensemble des solutions de $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant les conditions
initiales $f(0)=0$ et $f'(0)=2$.
\enen
\enex
\section{Problèmes complets}
\bgex
{\bf Partie A. Résolution d'une équation différentielle}
On considère l'équation différentielle $(E):y'+y=x$
où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur
$\R$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.
\bgen
\item Résoudre dans $\R$ l'équation différentielle
$(E_0): y'+y=0$.
\item Rechercher une fonction affine solution particulière de $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
\item Déterminer la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que
$f(0)=1$.
\enen
{\bf Partie B. Etude de la solution.}
On étudie la fonction $f$ trouvée ci-dessus, définie sur l'intervalle
$[-1;+\infty[$ par $f(x)=2e^{-x}+x-1$.
\bgen
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$.
Etudier son signe et dresser le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer la limite $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)-(x-1)$.
On note $\Delta$ la droite d'équation $y=x-1$.
Interpréter graphiquement le résultat précédent, puis tracer
$\Delta$ et l'allure de la courbe représentative de $f$.
\enen
\enex
\bgex {\bf Problème d'isolation.}
Pour tester la résistance d'une plaque d'isolation phonique à la
chaleur, on porte sa température à $100^\circ$C et on étudie
l'évolution de sa température en fonction du temps.
On note $\theta(t)$ la température de la plaque, en degré Celsius, à
l'instant $t$, en minutes.
La température ambiante est de $19^\circ$C et après 6 minutes la
température est redescendue à $82^\circ$C.
On admet que la fonction $\theta$ est solution de l'équation
différentielle
$(E): y'+0,042y=0,798$.
{\bf Partie A.}
\bgen
\item Rechercher une fonction constnate solution particulière de
$(E)$.
Donner alors l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
\item D'après l'énoncé, que vaut $\theta(0)$, la température initiale de la
plaque.
En déduire la solution particulière de $(E)$ donnant la température
de la plque en fonction du temps.
\enen
{\bf Partie B.}
\bgen
\item Calculer la température de la plaque après 35 minutes.
\item Calculer la dérivée $\theta'$ de $\theta$.
En déduire le sens de variation de $theta$ sur $[0;+\infty[$.
\item Calculer la limite de $\theta(t)$ lorsque $t$ tend vers
$+\infty$.
\item Représenter graphiquement la fonction $\theta$.
\item Calculer le temps à partir duquel la température de la plaque
est inférieure à $30^\circ$C. Vérifier graphiquement ce résultat.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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