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Type: Cours
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercices de mathématiques en BTS: probabilités
Niveau
BTS
Mots clé
probabilités, conditionnement, probabilités conditionnelle, indépendance d'événements, BTS
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Probabilités},
    pdftitle={Exercices de probabilités},
    pdfkeywords={Mathématiques, probabilités, BTS, 
      loi des grands nombres, conditionnement, 
      probabilité conditionnelle, indépendance}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \vspace*{-0.2cm}\noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
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  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
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\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilités - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}

\pagestyle{fancyplain}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/BTS/}}
\rfoot{\TITLE\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE}
\title{\TITLE}

\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\ct{\LARGE{\bf\TITLE}}


\bgex
J'achète trois billets de tombola. 
  Donner l'événement contraire de l'événement 
  $A$="Tous mes billets sont gagnants". 
\enex

\bgex
On lance un dé à six faces: on a $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.
On peut avoir:
\begin{enumerate}[a)]
 \item Dé normal (non truqué): 
   Les probabilités des six événements élémentaires sont égales.\\ 
   Donner ces probabilités puis donner la probabilité de l'événement A :
   \flqq le nombre sorti est pair\frqq 

 \item Dé truqué:
   $P\lp\{1\}\rp=\dfrac{1}{12}$ , $P(\{6\})=\dfrac{5}{12}$ et
   $P(\{2\})=P(\{3\})=P(\{4\})=P(\{5\})$.\vspd\\ 
   Calculer $P(\{2\})$ puis donner la probabilité de l'événement A :
   \flqq le nombre sorti est pair\frqq 
 \item Question ouverte: 
   comment savoir qu'un dé est truqué ou non ? 
   Avec certitude ?
\end{enumerate}
\enex


\bgex
a) Soit $A$ et $B$ deux événements. On donne $p(A\cup B)=0,4$,
   $p(B)=0,8$ et $p(A\cap B)=0,5$.  

\quad Calculer $p(A)$.
\begin{enumerate}[b)]
 \item Dans un lot de 32 pièces, 8 ont subi le contrôle $C_1$, 12 le
   contrôle $C_2$ et 3 les contrôles $C_1$ et $C_2$. 
On choisit au hasard une pièce, quelle est la probabilité pour qu'elle
ait subi le contrôle $C_1$ ou le contrôle~$C_2$? 
\end{enumerate} 
\enex

\bgex
Dans un groupe de 20 personnes, 
10 personnes s'intéressent au basket, 
8 à la lecture 
et 5 ne s'intéressent ni à l'un ni à l'autre. 

On note les événements 
$A$:"la personne s'intéresse au basket"
et $B$:"la personne s'intéresse à la lecture". 

\noindent
\bgmp{13cm}
\bgen
\item Compléter le tableau ci-contre.  

\item Déterminer la probabilité pour qu'une personne prise au hasard dans ce
  groupe s'intéresse 

  a)à l'une au moins des deux activités
  \qquad
  b) aux deux activités
\item Une personne du groupe est en train de lire. 
  Quelle est la probabilité pour qu'elle soit intéressée par le
  basket. 
\enen
\enmp\hfill
\bgmp{5cm}%\vspace{-0.2cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
  \rule[-0.2cm]{0.cm}{.6cm}
  Effectifs
  &$A$ &$\overline{A}$ & Total \\\hline
  \rule[-0.2cm]{0.cm}{.6cm}
  $B$ &&& \\\hline
  \rule[-0.2cm]{0.cm}{.6cm}
  $\overline{B}$ &&& \\\hline
  \rule[-0.2cm]{0.cm}{.6cm}
  Total &&& 20\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\enex


\bgmp{16cm}
\bgex
Le digicode ci-contre se trouve à l'entrée d'un immeuble. 
Un code se compose de 2 lettres, puis 3 chiffres,
par exemple $BA544$. 


\enex
\enmp\hfill\vspace*{-.6cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
\rowcolor[gray]{0.7}A & B & C \\\hline
1 & 2 & 3 \\\hline
4 & 5 & 6 \\\hline
7 & 8 & 9 \\\hline
\end{tabular}

\vspt
\bgen
\item Déterminer le nombre de codes possibles, puis la probabilité de
  taper au hasard le bon code d'entrée.  
\item 
  \bgen[a.]
  \item Les 3 chiffres du code se suivent; quelle est
    la probabilité que je tape le bon code ?
  \item Le code est composé de 2 lettres distinctes et de 3 chiffres
    aussi distincts; quelle est la probabilité que je tape le bon code ?
  \enen
\enen


\bgex
On tire deux cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes. 

\bgen
\item Combien de mains différentes sont possibles ? 
\item Combien y'a-t'il de paires d'as ? 
\item Quelle est la probabilité de tirer une paire d'as ?
\enen
\enex


\bgex
Le système de code d'une carte bancaire comprend 10 chiffres. 
On forme un code en choisissant, dans l'ordre, 4 chiffres parmi les
10, les chiffres pouvant être répétés. 

\bgen
\item Sur 3 essais au hasard, quelle est la probabilité de taper le
  code correct~?  
\item Je me rappelle que le code exact commance par un 2. 
  Quelle est alors la probabilité de taper le code complet exact ? 
\item J'utilise un moyen informatisé qui teste successivement tous les
  codes, à raison de un code testé toutes les 10 secondes. 
  
  Combien de temps mettra mon système pour tester tous les codes ?
\enen
\enex



\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre pondéré
ci-contre. 
On sait de plus que $P(B)=0,39$. 

\bgen
\item Calculer la probabilité de l'événement $A\cap B$. 
\item En déduire la probabilité de $B$ sachant $A$.  
\item Dresser l'arbre pondéré "inversé". 
\enen
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,2.4)
  \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.7,1.5){$A$}
  \rput(0.65,1){$0,1$}
  \psline(2,1.5)(3.5,2)\rput(3.7,2){$B$}
  \psline(2,1.5)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\overline{B}$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.7,-1.5){$\overline{A}$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-1)\rput(3.7,-1){$B$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-2)\rput(3.7,-2){$\overline{B}$}
  \rput(2.7,-1){$0,4$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgex {\bf Fiabilité d'un test de contrôle de conformité}

Une entreprise de produits pharmaceutiques fabrique un certain type de
comprimés. 

Dans la production journalière, 90\% des comprimés produits sont
conformes. 
On contrôle chaque comprimé de la production. Lorsqu'un comprimé est
conforme, il est toujours accepté à l'issue du contrôle, tandis que
lorsqu'il n'est pas conforme, le contrôle n'étant pas infaillible, 
il peut néanmoins être accepté avec une probabilité de 5\%. 

On note les événements $C$:"le comprimé prélevé est conforme" et 
$A$:"le comprimé est accepté à l'issue du contrôle". 

\bgen
\item Décrire la situation par un arbre. 
\item On prélève au hasard un comprimé dans la production d'une journée. 
  Donner les probabilités: 
  \bgen[a)]
  \item qu'un comprimé soit accepté au contrôle et soit conforme; 
  \item qu'un comprimé soit accepté au contrôle et ne soit pas
    conforme; 
  \item qu'un comprimé soit accepté au contrôle. 
  \enen
\item Un comprimé est accepté au contrôle. Quelle est la probabilité
  qu'il soit conforme ? 

  {\sl (Indication: utiliser l'arbre du 1. "inversé")}

\item On suppose maintenant que dans la production seulement 80\% des
  comprimés produits sont conformes, le test de contrôle restant le
  même. 

  Déterminer de même que précédemment la probabilité qu'un comprimé
  accepté au contrôle soit conforme. 
\enen
\enex


\bgex {\bf Test de dépistage} 

\noindent
On définit, pour un test de dépistage d'une maladie: 

\noindent\bgmp{\textwidth}
\bgit
\item sa {\sl sensibilité}: la probabilité qu'il soit positif
  si la personne est atteinte de la maladie (vrai positif).
\item sa {\sl spécificité}: la probabilité qu'il soit négatif
  si la personne est indemne de la maladie (vrai~négatif). 
\item sa valeur prédictive positive: la probabilité que
  la personne soit réellement malade si son test est~positif. 
\item sa valeur prédictive négative: la probabilité que
  la personne n'ait pas la maladie si son test est négatif.
\enit\enmp

Les deux premières sont des valeurs
caractérisant un test, du point de vue du constructeur (laboratoire). 

Les valeurs prédictives sont quant à elles des données intéressantes
du point de vue de l'usager (patient). 

%\vspd
%On se propose d'étudier la valeur diagnostique d'un test de dépistage
%d'une maladie en fonction de la proportion $f$ de malades au sein
%d'une population. 

Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes: 
\bgit
\item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est
  $0,98$ (sensiblité du test); 
\item la probabilité qu'un individu non malade ait un test négatif est
  $0,99$ (spécificité du test). 
\enit

On notera par la suite les événements 
$M$\og l'individu est malade\fg et 
$T$:\og le test est positif\fg. 

\bgen
\item On utilise ce test pour dépister une maladie qui touche 30\% de
  la population. 
\bgen[a)]
  \item Dresser un arbre pondéré décrivant la situation. 
  \item Calculer la probabilité de l'événement $T$. 
  \item Déterminer les valeurs prédictives positive et négative du
    test. 
\enen

\item On suppose maintenant que la proportion de malade est $f$. 
\bgen[a)]
\item Déterminer de même que précédemment les valeurs prédictives positive
  et négative que l'on notera respectivement $G(f)$ et $H(F)$.  
\item Tracer l'allure des courbes de $G(f)$ et $H(F)$. 

\item Que peut-on dire du dépistage d'une maladie rare dans une population ?
\enen
\enen
\enex


\bgex
Tous les élèves d'une promotion ont passé un test de certification en
anglais. 
\bgit
\item $80\,\%$ ont réussi le test. 
\item Parmi ceux qui ont réussi le test, $95\,\%$ le passaient pour la
  1ère fois.
\item Parmi ceux qui ont échoué au test, $2\,\%$ le passaient pour la
  1ère fois. 
\enit

\noindent
On considère les événements $R$:"l'élève a réussi le test", 
et $F$:"l'élève a passé le test plusieurs fois". 

\bgen
\item Traduire l'énoncé en termes de probabilité 
  et dresser un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer la probabilité qu'un élève pris au hasard ait passé
  le test pour la 1ère fois et l'ait~réussi. 
\item Déterminer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé
  plusieurs fois le test. 
\item On choisit au hasard un élève ayant passé plusieurs fois le
  test. 
  Quelle est la probabilité qu'il ait réussi ? 
\enen
\enex


\bgex On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. 
Les événements $A$ et $B$ suivants sont-ils indépendants ? 

\bgen[a)] 
\item $A$:\og la carte tirée est un valet\fg 
  et $B$:\og la carte tirée est noire\fg. 
\item $A$:\og la carte tirée est un valet\fg 
  et $B$:\og la carte tirée est une figure\fg.
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{11cm}
\bgex
Un sondage auprès de  clients d'un magasin a donné les préférences
suivantes, en fonction de la catégorie d'âge. 

"Avoir moins de 30 ans" et "préférer les films" sont-ils indépendants ?

\enex
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
  \rule[-0.5cm]{0.cm}{1.2cm} 
  \psline(-1.8,0.7)(1.7,-0.5)
  \rput[l](-1,-0.2){Age}
  \rput[l](-0.4,0.4){Préférence}
  & Films & Séries \\\hline
  \rule[-0.3cm]{0.cm}{1.cm} 
  Moins de 30 ans & 120 & 150\\\hline
  \rule[-0.3cm]{0.cm}{1.cm} 
  Plus de 30 ans &  220 & 260\\
\hline
\end{tabular}
\enmp


\bgex
On suppose que chacun des moteurs d'un avion bimoteur tombe en panne
avec une probabilité de $0,000\,1$ et ceci de façon indépendante de
l'autre moteur. 

Quelle est la probabilité que l'avion arrive à bon port, sachant qu'il
peut voler avec un seul moteur ?
\enex


\bgex
Un circuit électronique est formé de 10 éléments identiques installés
en série. 
Chaque élément a, indépendamment des autres, une probabilité de 0,2 de
tomber en panne. 

\vspd
Quelle est la probabilité pour que le circuit tombe en panne ?
\enex



\bgex {\it D'après BTS}\quad
Une entreprise fabrique des moteurs électriques. 
Afin de vérifier la conformité des moteurs, on procède à deux tests: 
l'un de type mécanique, et l'autre de type électrique. 

Un moteur est rejeté s'il présente au moins l'un des deux types de
défaut. 
Un moteur est déclaré en parfait état de marche s'il ne présente aucun
des deux types de défaut. 

Une étude statistique de la production conduit à dégager les résultats
suivants: 

\bgit
\item la probabilité qu'un moteur soit défectueux pour le test
  mécanique est 0,08; 
\item la probabilité qu'un moteur soit défectueux pour le test
  électrique est 0,05;
\item la probabilité qu'un moteur soit défectueux pour les deux tests
  est 0,02. 
\enit

On prélève au hasard un moteur dans la production. 
On note les événements 
$D_M$:"le moteur prélevé présente un défaut de type mécanique", 
et 
$D_E$:"le moteur prélevé présente un défaut de type électrique". 

\bgen
\item 
  \bgen[a.] 
  \item Les événements $D_M$ et $D_E$ sont-ils indépendants ? 
  \item Calculer la probabilité de l'événement $D_M$ sachant que
    l'événement $D_E$ est réalisé. 
  \enen

\item 
  \bgen[a.]
  \item Calculer la probabilité de l'événement 
    $A$: "le moteur prélevé présente au moins un défaut". 
  \item Démontrer que la probabilité de l'événement 
    $B$: "le moteur prélevé est en parfait état de marche" 
    est de 0,89. 
  \item Déterminer la probabilité de l'événement 
    $C$: "le moteur prélevé présente un seul défaut. 
  \enen
\enen
\enex


\bgex Un lot de 100 pièces comprend 5 pièces défectueuses. 
On tire au hasard, avec remise, 10 pièces dans le
lot. 

\bgen
\item Quelle est la probabilité de n'avoir aucune pièce défectueuse
  parmi les 10 ? 
\item Quelle est la probabilité d'avoir une seule pièce défectueuse
  parmi les 10 ? 
\item Quelle est la probabilité d'avoir au moins une pièce défectueuse
  parmi les 10 ? 
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}




\bgprop{{\bf Triangle de Pascal}
  Pour tout $1\leqslant p\leqslant n$, $C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p$

\vspd
\ul{Conséquence}: On peut donc calculer les coefficients binomiaux de
proche en proche à l'aide du triangle de Pascal qui se construit de la
façon suivante:
\begin{itemize}
\item la première colonne et la diagonale comportent des~1
\item tout autre nombre est obtenu en additionnant le nombre situé
  au-dessus et celui situé au-dessus et à gauche
\end{itemize}

\vspd
\begin{tabular}{p{0.4cm}|ccccc}
\rput(0.15,-0.1){$n$}\rput(0.45,0.1){$p$}  &0 &1 &2 &3 
\rule[-7pt]{0pt}{20pt}\\\hline
0 &$C_0^0$ \\
1 &$C_1^0$ &$C_1^1$ \\
2 &$C_2^0$ &$C_2^1$ &$C_2^2$       \\
3 &$C_3^0$ &$C_3^1$ &$C_3^2$ &$C_3^3$    \\
4 &$C_4^0$ &$C_4^1$ &$C_4^2$ &$C_4^3$  &$C_4^4$ \\ 
5 & \multicolumn{2}{c}{\ldots}
\end{tabular}\hspace{3cm}
\begin{tabular}{p{0.4cm}|ccccc}
\rput(0.15,-0.1){$n$}\rput(0.45,0.1){$p$}  &0 &1 &2 &3 
\rule[-7pt]{0pt}{20pt}\\\hline
0 &1 \\
1 &1 &1 \\
2 &1 &2 &1       \\
3 &1 &3 &3 &1    \\
4 &1 &4 &6 &4  &1 \\ 
5 & \multicolumn{2}{c}{\ldots}
\end{tabular}
}


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