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Type: TP
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Description
TP sur tableur - Calculs de probabilité avec la loi binomiale
Table des matières
  • Utilisation de la loi binomiale avec un tableur
  • lancer d'un dé
  • Production de composants avec probabilité de conformité
    • Calculs de probabilité d'avoir un certain nombre de composants conformes ou non par lot
    • Recherche d'un taux acceptable de composants conforme dans la production
    • Recherche de la taille adéquate des lots de composants
Mots clé
TP, tableur, probabilité, loi binomiale, répétition d'expériences aléatoires, TP de mathématiques, maths, première, 1ère, S
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Simulation et calcul de probabilités},
    pdftitle={Simulation et calcul de probabilités},
    pdfkeywords={Mathématiques, première, 1èreS, probabilité,
      probabilités, tableur, échantillonnage, 
      fluctuation d'échantillonnage} 
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\ProgIndent}{\hspace*{0.5cm}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\deftitle}{Définition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ul{\deftitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\proptitle}{Prop.}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ul{\proptitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}


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\nwc{\TITLE}{Loi binomiale et fluctuation d'échantillonnage}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\graphicspath{{Intro_Simulation_FIG/}}

\ct{\LARGE \bf \TITLE}


%\hfill{\bf \Large{}}
%\hfill$1^{\mbox{\text{ère}}}S$


\section{Utilisation de la loi binomiale avec un tableur} 

On considère la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ 
de paramètres $n=4$ et $p=0,3$. 

\vspd
\bgen
\item Un tableur dispose basiquement de fonctions mathématiques, statistiques, 
  probabilistes, \dots \\
  La loi binomiale se trouve par exemple parmi ces fonctions: 
  dans une cellule, saisir \verb+"="+
  puis chercher la loi binomiale dans les fonctions du tableur, 
  \verb+fonctions+$\to$\verb+statistiques+\dots \ 
  pour saisir à l'aide de l'assistant: 
  \verb+=LOI.BINOMIALE(3;4;0,3;0)+

  \medskip
  On trouve ici $P(X=3)=0,0756$: c'est la probabilité d'avoir 3 succès 
  sur 4 essais, avec une probabilité $p=0,3$ de réussite à chaque tentative. 

\item Compléter à l'aide d'un tableur le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ et les probabilités cumulées. 
  \[\begin{tabular}{|c|*5{p{2cm}|}}\hline
    \rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
    $k$ & \ct{0} & \ct{1} & \ct{2} & \ct{3} & \ct{4} \\\hline
    \rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
    $P(X=k)$ & \ct{} & & & & \\\hline
    \rule[-0.cm]{0cm}{0.8cm}
    $P(X\leqslant k)$ & \ct{} & & & & \\\hline
  \end{tabular}\]
  
\enen

\section{Lancer d'un dé}


\bgen
\item On lance un dé équilibré à 6 faces 60 fois. 

\bgen[a)]
\item Calculer la probabilité d'obtenir exactement 10 fois un 6. 
\item Calculer la probabilité d'obtenir moins de 5 fois un 6. 
\item Calculer la probabilité d'obtenir plus de 20 fois un 6. 
\item Calculer la probabilité d'obtenir entre 8 et 12 fois un 6. 
\enen

\item Je lance cette fois ce dé 600 fois. 
J'ai obtenu moins de 80 fois un 6. 
Quelle est la probabilité que cela arrive ? 
Que penser de ce dé ? 
\enen

\section{Production de composants}

Une entreprise fabrique, en très grande quantité, des composants dont la masse 
est exprimée en milligrammes.\\
On admet que 4\% des composants produits par l'entreprise ne sont pas acceptables pour la masse. 

\medskip
On considère par la suite des lots de $N$ composants. 

On considère note alors $X$ la variable aléatoire qui, pour un tel lot 
de $N$ composants, est égale au nombre de composants non acceptables 
pour la masse. 

On considère pour commencer un conditionnement par lots de $N=10$ 
  composants. 

\bgen
\item Justifier que la variable aléatoiree $X$ suit une loi binomiale 
  dont on donnera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité que, dans un lot pris au hasard, 
  aucun composant ne soit acceptable. 
\item Calculer la probabilité que, dans un lot pris au hasard, 
  un seul composant ne soit acceptable. 
\item Calculer la probabilité que, dans un lot pris au hasard, 
  il y ait strictement moins de 4 composants non acceptables. 
\item Commenter la remarque du responsable de l'entreprise: 
  \textsl{"avec un taux de non-conformité de 4\% par composant, 
    si nous conditionnons les composants par lot de 10, 
    nous aurons moins de 70\% de nos lots qui ne comportent 
    que des composants acceptables."}
    
\item Le responsable de la qualité dans l'entreprise souhaite que la 
  probabilité de n'avoir que des composants acceptables au sein d'un lot 
  de 10 soit supérieure ou égale à 0,8. \\
  Quel doit \^etre le taux de non conformité maximum par composant 
  pour pouvoir atteindre cet objectif ? 

\item Après différentes tentatives, le responsable de la production 
  constate qu'il n'est pas possible avec le système actuel d'améliorer 
  le taux de non-conformité, qui reste donc fixé à 4\%. \\
  Quel doit \^etre le nombre maximum de composants pat lot pour que la 
  probabilité de n'avoir que des composants conformes dans un lot soit 
  supérieure ou égale à 0,8 ?
\enen




\label{LastPage}
\end{document}

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