Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: Ajustement affine, algorithme},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={ajustement affine, moindres carrés, régression linéaire, algorithmique, algorithme, Mathématiques, BTS, MS, MI, SMS, maintenance industrielle,
groupe B, fonction, étude de fonction}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bigskip
\bgex
La société INFOLOG a mis au point un nouveau logiciel de gestion
destiné aux PME.
Cette société a mené une enqu\^ete auprès de 300 entreprises
afin de déterminer à quel prix chacune de ces entreprises
accepterait d'acquérir un exemplaire de ce nouveau
logiciel.
L'enqu\^ete a donné les résultats suivants:
\[\begin{tabular}{|c|c|}\hline
\bgmp{4cm}prix proposé pour le
nouveau logiciel
(en centaines d'euros)
\\
\ct{$x_i$}
\enmp
&
\bgmp{4cm}
nombre d'entreprises
disposées à acheter
le logiciel à ce prix
\\
\ct{$y_i$}\enmp
\\[2.2em]\hline
30 & 90
\\
25 & 120
\\
20 & 170
\\
15 & 200
\\
10 & 260
\\\hline
\end{tabular}\]
\bgen
\item Représenter graphiquement le nuage de points de la série
$\lp x_i ; y_i\rp$ dans un repère orthogonal
\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés,
l'équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$
sous la forme $y = ax + b$.
Les résultats seront arrondis au besoin à $10^{-4}$.
Tracer $D$ sur le graphique précédent
(détailler la méthode utilisée pour tracer précisément cette droite).
\item En utilisant l'ajustement précédent,
préciser pour quel prix de vente la société INFOLOG peut espérer
que les 300 entreprises contactées acceptent d’acquérir ce logiciel.
\item On note $R(x)$ la recette, exprimée en centaines d'euros,
dégagée par la vente de $y$ logiciels au prix de $x$
centaines d'euros.
\bgen[a)]
\item En utilisant la relation entre $y$ et $x$ obtenue
à la question 2, donner l'expression de $R(x)$ pour
$x$ variant entre 5 et 30.
\item \'Etudier les variations de la fonction $R$ sur
$[5 ; 30]$ et tracer l'allure de la courbe de $R$.
En déduire le prix de vente du logiciel,
exprimé en euros, pour que la recette $R(x)$ soit maximale.
Déterminer alors le montant de cette recette ainsi
que le nombre d'entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix.
\enen
\enen
\enex
\bgex
L'évolution des ventes d'un produit est donnée dans le tableau suivant,
où $x_i$ représente le rang de l'année et $v_i$ le volume des ventes
en milliers d'unités.
\[\begin{tabular}{|*{9}{c|}}\hline
\rule[-.4cm]{0cm}{1.cm}Année
& 2003
& 2004
& 2005
& 2006
& 2007
& 2008
& 2009
& 2010\\\hline
\rule[-.6cm]{0cm}{1.2cm}Rang $x_i$ &1&2&3&4&5&6&7&8
\\\hline
\rule[-.8cm]{0cm}{1.8cm}
Volume de ventes $v_i$ &
4,3 &
4,8 &
5,4 &
6,8 &
8,8 &
9,4 &
13,5 &
15
\\\hline
\end{tabular}\]
\bgen
\item Un ajustement affine de ces données semble-t'il
enviseageable et pertinent ?
\item On effectue le changement de variable
$y_i=\ln\lp v_i\rp$, où $\ln$ désigne le logarithme népérien.
\bgen[a)]
\item Compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs approchées
sont à arrondir à $10^{-3}$.
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabular}{|c|*8{p{1.2cm}|}}\hline
Rang $x_i$ &1&2&3&4&5&6&7&8 \\\hline
$y_i=\ln\lp v_i\rp$ & $1,459$ &&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item Déterminer une équation de la droite de régression sous la forme
$y = ax + b$ où $a$ et $b$ sont arrondis à $10^{-3}$.
Cet ajustement affine est-il plus pertinent ?
\item On pose $v = e^y$.
Vérifier que $v = 3,31e^{0,19x}$
en arrondissant les coefficients à $10^{-2}$.
\item Utiliser le résultat précédent pour déterminer
en quelle année on peut estimer que les ventes dépasseront 20 milliers
d'unités.
\enen
\enen
\enex
\bgex
On considère l'agorithme suivant:
\[\begin{minipage}{6cm}
\fbox{
\begin{minipage}{5.5cm}
Entrer $N$\\
$U$ prend la valeur $0$ \\
$V$ prend la valeur $1$\\
Pour $I$ allant de $1$ \`a $N$ \\
\hspace*{0.5cm}$W$ prend la valeur $U+V$ \\
\hspace*{0.5cm}$U$ prend la valeur $V$ \\
\hspace*{0.5cm}$V$ prend la valeur $W$ \\
\hspace*{0.5cm}Afficher $W$\\
Fin\\
Afficher $W/U$
\end{minipage}
}
\end{minipage}\]
On entre au début la valeur 6 pour la variable $N$.
Quels sont les valeurs affichées par l'algorithme ?
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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