@ccueil Colles

Source LaTeX icone DS-Ajustement-affine-Algorithme-bis-c



Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Devoir de mathématiques en BTS: ajustement affine par la méthode des moindres carrés et un algorithme
Niveau
BTS
Mots clé
ajustement affine, moindres carrés, régression linéaire, lgorithmique, algoithme, devoir corrigé de mathématiques, maths, BTS
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
Source LaTex icone
Télécharger le fichier source pdficon

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: Ajustement affine, algorithme},
    pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={ajustement affine, moindres carrés, régression linéaire, algorithmique, algorithme, Mathématiques, BTS, MS, MI, SMS, maintenance industrielle, 
      groupe B, fonction, étude de fonction}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = black,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    pagecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=25cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/BTS/}}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}

\bigskip

\bgex
\bgen
\item 
\[\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.04cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5,-5)(44,300)
  \psline{->}(0,-5)(0,285)
  \psline{->}(-5,0)(44,0)
  \multido{\i=5+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](\i,-2)(\i,280)\rput(\i,-5){$\i$}}
  \multido{\i=50+50}{5}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-1,\i)(41,\i)\rput[r](-5,\i){$\i$}}
  \rput(30,90){\bf$\large\blacksquare$}
  \rput(25,120){\bf$\large\blacksquare$}
  \rput(20,170){\bf$\large\blacksquare$}
  \rput(15,200){\bf$\large\blacksquare$}
  \rput(10,260){\bf$\large\blacksquare$}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{4}{33}{-8.4 x mul 336 add}
\end{pspicture}\]

\item Par la méthode des moindres carrés, on trouve l'équation de la droite d'ajustement:     $y=-8,4x+336$
\item Pour que 300 entreprises soient intéressée, avec ce modèle, on doit proposer un prix $x$ tel que $300=-8,4x+336\iff x=(300-336)/(-8,4)\simeq 4,28$ centaines d'euros, 
soit 428 euros. 
\item 
    \bgen[a)]
    \item Si $y$ entreprises achètent le logiciel au prix $x$, 
      la recette est de 
      \[R(x)=y\tm x=(-8,34x+336)\tm x=-8,34x^2+336x\]

    \item $R$ est une fonction du second degré, avec 
        $R'(x)=-2\tm8,34x+336=-16,68x+336$
        
        et donc, $R'(x)=0\iff x=336/16,68\simeq 20,14$

        et donc on a le tableau de variation
        \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
        $x$ & 5 && $20,14$ && 30 \\\hline
        $R'(x)$ && $+$ &\zb&$-$& \\\hline
        &&&&&\\
        $R$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
        &&&&&\\
        \hline
        \end{tabular}\]
        on en déduit l'allure de la courbe de $R$:
        \[\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.0015cm,arrowsize=7pt}
        \begin{pspicture}(0,-200)(35,4200)
        \psline{->}(0,0)(38,0)
        \psline{->}(0,0)(0,4200)
        \multido{\i=5+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](\i,-2)(\i,4200)\rput(\i,-200){$\i$}}
        \multido{\i=1000+1000}{4}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-1,\i)(37,\i)\rput[r](-1,\i){$\i$}}

        \psplot{0}{30}{-8.34 x 2 exp mul 336 x mul add}
        \end{pspicture}\]
        Le montant maximal de la recette est alors 
        $R(20,14)\simeq 3384$ centaines d'euros, soit $338\,400$ euros.
    \enen
\enen
\enex

\bgex
\bgen
\item Le coefficient de corrélation de l'ajustement affine par la méthode des moindres carrés est environ $0,93$, ce qui est faible et montre que l'utilisation d'un ajustement affine n'est pas des plus pertinents. 

\item \bgen[a)]
  \item \[\hspace*{-1cm}\renewcommand{\arraystretch}{2}
    \begin{tabular}{|c|*8{p{1.5cm}|}}\hline
    Rang $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\hline
    $y_i=ln\lp v_i\rp$ & 1,459 & 1,569 & 1,687 & 1,917
    & 2,175 & 2,241 & 2,603 & 2,708 \\\hline
    \end{tabular}\]
    
    \item Une équation de la droite de régression (ou d'ajustement) par la méthode des 
        moindres carrés est: $y=0,188x+1,196$
    \item $e=e^y=e^{0,188x+1,196}=e^{0,188x}e^{1,196}$ 
        avec $e^{1,196}\simeq 3,31$, d'où l'expression 
        \[v=3,31e^{0,19x}\]
    \item Les ventes dépasseront 20 milliers d'unités, soit $v>20$ lorsque 
        \[\bgar{ll}
        v&=3,31e^{0,19x}>20\iff e^{0,19x}>\dfrac{20}{3,31}\\[1em]
        &\iff 0,19x>\ln\lp\dfrac{20}{3,31}\rp\\[1.8em]
        &\iff x>\dfrac{1}{0,19}\ln\lp\dfrac{20}{3,31}\rp\simeq 9,47
        \enar\]
\enen
\enen
\enex

\bgex
L'algorithme affiche les valeurs, successivement, $1$, $2$, $3$, $5$, $8$, $13$, puis la valeur finale: le quotient $\dfrac{13}{8}$

\textsl{Remarque: Il s'agit de la suite de Fibonacci, 
  introduite au 13e siècle, et que l'on trouve dans de nombreuses situations, 
  de manière plus ou moins surprenante et inattendue. 
  Le quotient final calculé et affiché et le quotient de deux termes 
  consécutifs; 
  on peut démontrer que ce nombre tend vers le nombre d'or 
  lorsque $N$ tend vers l'infini. }
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

Haut de la page Haut de la page