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Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, BTS: ajustement affine, fonctions.
Niveaux
BTS, post-Bac
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, BTS, régression linéaire, ajustement affine, méthode des moindres carrés, limites, asymptote, suites, étude de fonctions
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
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\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}

\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bigskip
%\emph{La feuille annexe sera rendue avec la copie. Les parties A et B sont indépendantes.}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}\quad
%\medskip
%\emph{Dans cette partie, sauf indication contraire, les résultats
%  seront arrondis au centième.} 
%
%\medskip
 Une entreprise fabrique un nouveau modèle d'appareils avec port
USB. Le coût de fabrication de chaque appareil est de
10~euros. L'entreprise envisage de vendre chaque appareil entre
15~euros et 40~euros l'unité. 
 
Avant la commercialisation l'entreprise effectue une étude de marché
afin de déterminer la quantité demandée en fonction du prix de
vente. L'étude a donné les résultats qui sont récapitulés dans le
tableau suivant. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Prix unitaire (en euro) $x_{i}$&15 &20 &25 &30 &35 &40\\ \hline 
Quantité demandée (en milliers) $y_{i}$& 44,4 &27,0 &16,3 &10,0 &6,2 &3,5\\ \hline 

\end{tabularx}

\medskip
 
On lit par exemple : pour un prix unitaire de 25~euros, la demande
serait de 16\,300~unités. 
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$
  dans un repère orthogonal. Les unités sont : 1 cm pour 2~euros en
  abscisse, et 1~cm pour 2~milliers en ordonnée. Le point
  d'intersection des axes de coordonnées sera le point de coordonnées
  $(15~;~0)$. 

  Semble-t'il pertinent d'envisager un ajustement affine pour
  modéliser les variations de la quantité demandée en fonction du
  prix. 

\item %Le graphique précédent nous conduit à envisager un ajustement
  %qui n'est pas affine. %Pour cela, 
  On effectue un changement de
  variable en posant : $z_{i} = \ln y_{i}$.  
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Reproduire et compléter le tableau suivant:
	
    \medskip
    \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
      $x_{i}$& 15 &20 &25 &30 &35 &40\\ \hline 
      $z_{i} = \ln y_{i}$& 3,79& 3,30&&&& \\ \hline
    \end{tabularx}
    
    \medskip 
    
  \item  A l'aide de la calculatrice, donner le coefficient de
    corrélation linéaire de la série $\lp x_{i}~;~z_{i}\rp$.  

    Interpréter, notamment par rapport à la question 1. 

  \item  Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$.  
    %sous la forme $z = ax + b$, où 
    Les coefficients %$a$ et $b$ 
    seront
    arrondis au dixième.  
  \item  En déduire une estimation de la quantité demandée $y$ en
    fonction du prix unitaire $x$ sous la forme $y = k\text{e}^{-Ax}$,
    où $A$ et $k$ sont des constantes que l'on déterminera. (Arrondir
    $k$ à l'unité et $A$ au dixième.) 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}\quad
%\medskip
Dans cette partie, on suppose que, si chaque appareil est vendu au
prix unitaire $x$ (en euro), la quantité d'appareils demandés $f(x)$,
en milliers d'unités, s'exprime par: 
\[f(x) = 200\text{e}^{-0,1x}.\]
La fonction $f$ (fonction de demande) est définie sur l'intervalle
$[15~; ~40]$. La représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction
$f$ est donnée en annexe. 
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le montant de la demande si
  l'entreprise propose l'appareil à 23~euros.  
\item Par le calcul, déterminer dans quel intervalle doit se situer le
  prix unitaire pour que la quantité demandée soit supérieure ou égale
  à 9\,000~unités.  
\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la
  fonction $f$. En déduire le sens de variation de la fonction $f$.  
\item  On appelle fonction d'offre la fonction $g$, définie sur
  l'intervalle $[15~; ~40]$, par :  

  \[g(x) = 4x - 60.\]

Le nombre $g(x)$ est le nombre de milliers d'appareils que l'entreprise est capable de produire et de vendre au prix de $x$ euros l'appareil.
 
Tracer sur la feuille annexe la représentation graphique de la fonction $g$. 
\item On appelle prix d'équilibre le prix unitaire $x$ d'un appareil pour lequel l'offre est égale à la demande.
  \begin{enumerate}[a)]
		\item Déterminer graphiquement le prix d'équilibre. 
		\item Déterminer graphiquement combien l'entreprise peut compter vendre d'appareils, au prix d'équilibre. 
		\item Estimer alors le bénéfice réalisé.
		 
\emph{On rappelle que le coût de fabrication d'un appareil est de $10$ ~euros.} 
	\end{enumerate} 
%\item  Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{15}^{21}f(x)\:\text{d}x$. 
\end{enumerate}

%\newpage


\bigskip
\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)}

%\vspace{1cm}
%Le dessin à compléter pour l'exercice 3.

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.55cm,yunit=0.25cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(15,0)(42,50)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(25,45)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5](0,0)(25,45)
%\uput[u](37.5,0){$x$ (en euro)}\uput[r](0,45){$y$ (en milliers)}

\psline[linewidth=1.4pt]{->}(15,0)(15,50)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(15,0)(42,0)
\multido{\i=15+5}{6}{\psline(\i,1)(\i,-1)\rput(\i,-2.5){$\i$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,46)
}
\multido{\i=0+5}{10}{\psline(14.8,\i)(15.1,\i)\rput(14.2,\i){$\i$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](15,\i)(40.5,\i)
}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{15}{40}{200
  2.71828 -0.1 x mul exp mul}
\rput(43,-1.4){$x$ (euros)}
\rput(15,51){$y$ (miliers)}
\end{pspicture}
\end{center}

%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.2cm}
%\begin{pspicture}(25,50)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(25,45)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5](0,0)(25,45)
%\uput[u](37.5,0){$x$ (en euro)}\uput[r](0,45){$y$ (en milliers)}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{200 2.71828 0.1% x 15 add mul exp div}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
%\end{pspicture}




\label{LastPage}
\end{document}

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