@ccueil Seconde Colles

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Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, BTS: ajustement affine, fonctions.
Niveaux
BTS, post-Bac
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, BTS, régression linéaire, ajustement affine, méthode des moindres carrés, limites, asymptote, suites, étude de fonctions
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}

\vspace*{-1cm}

\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

{\ct{\bf BTS Informatique de gestion, 10 mai 2011}}

%\bigskip

\textbf{Partie A}\quad
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Prix unitaire (en euro) $x_{i}$&15 &20 &25 &30 &35 &40\\ \hline 
%Quantité demandée (en milliers) $y_{i}$& 44,4 &27,0 &16,3 &10,0 &6,2 &3,5\\ \hline 
%\end{tabularx}

\vspace{-0.3cm}
 
\begin{enumerate}
\item \ 

\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(6,-3)(42,42)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(25,45)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5](0,0)(25,45)
%\uput[u](37.5,0){$x$ (en euro)}\uput[r](0,45){$y$ (en milliers)}

\psline[linewidth=1.4pt]{->}(15,0)(15,47)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(15,0)(42,0)
\multido{\i=15+5}{6}{\psline(\i,1)(\i,-1)\rput(\i,-2.5){$\i$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,46)
}
\multido{\i=0+5}{10}{\psline(14.8,\i)(15.1,\i)\rput(14.2,\i){$\i$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](15,\i)(40.5,\i)
}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{15}{40}{200
%  2.71828 -0.1 x mul exp mul}
\rput(45,-1.4){$x$ (euros)}
\rput(10,44){$y$ (miliers)}

\rput(15,44.4){\blue\bf\large x}
\rput(20,27){\blue\bf\large x}
\rput(25,16.3){\blue\bf\large x}
\rput(30,10){\blue\bf\large x}
\rput(35,6.2){\blue\bf\large x}
\rput(40,3.5){\blue\bf\large x}
\end{pspicture}


Graphiquement, il ne semble pas pertinent d'envisager un ajustement
affine car les points ne semble pas alignés. 
Plus précisément, le coefficient de corrélation est assez faible: 
$r\simeq-0,94$. 

\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item
    \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
      $x_{i}$& 15 &20 &25 &30 &35 &40\\ \hline 
      $z_{i} = \ln y_{i}$& 3,79& 3,30&2,79&2,30&1,84&1,25 \\ \hline
    \end{tabularx}
    
    \medskip 
    
  \item Le coefficient de corrélation linéaire de la série est 
    $r\simeq -0,9997$, et est très proche de 1.

    Ce coefficient montre qu'il est pertinent cette fois, et bien plus
    qu'à la question 1. où le coefficient de corrélation était bien
    plus faible, d'utiliser un ajustement affine. 

  \item On trouve l'équation $z=-0,1x+5,3$. 

  \item On a donc 
    $z=\ln(y)=-0,1x+5,3
    \iff y=e^{-0,1x+5,3}=e^{5,3}\,e^{-0,1x}=ke^{-Ax}$, 
    ce qui est bien de la forme recherchée avec $k=e^{5,3}\simeq 200$
    et $A=0,1$. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip
 
\textbf{Partie B}\quad
\begin{enumerate}
\item Graphiquement, si l'entreprise propose l'appareil à 23~euros,  
  il y aura environ 20\,000 demandes. 
\item La quantité demandée est supérieure ou égale
  à 9\,000~unités lorsque 
  $f(x)=200e^{-0,1x}\geqslant 9$ %($f(x)$ est en milliers) 

  soit, $e^{-0,1x}\geqslant \dfrac{9}{200}=0,045
  \iff -0,1x\geqslant \ln(0,045)
  \iff x\leqslant \dfrac{\ln(0,045)}{-0,1}\simeq 31$.

\item $f(x)$ est de la forme $f(x)=ke^{u(x)}$ avec $k=200$ et
  $u(x)=-0,1x$. 

  Ainsi, $f'(x)=ku'(x)e^{u(x)}=200\tm(-0,1)\,e^{-0,1x}=-20e^{-0,1x}$. 

  Comme pour tout réel $x$, $e^{-0,1x}>0$, on a $f'(x)<0$ et la
  fonction $f$ est donc strictement décroissante. 

\item Voir sur le graphique
\item
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Graphiquement le prix d'équilibre est d'environ 22~euros. 
  \item Graphiquement l'entreprise peut compter vendre environ 24\,000
    appareils au prix d'équilibre. 
  \item A l'équilibre, chaque appareil est vendu 22~euros alors qu'il
    coûte 10~euros à la fabricartion. 
    Le bénéfice par appareil est donc de 12~euros, et donc, au total, 
    le bénéfice réalisé est de: 
    $24\,000\tm12=288\,000$ euros. 

  \end{enumerate} 
\end{enumerate}

%\newpage


\bigskip
\begin{center}
%\textbf{FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.13cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(15,0)(42,46)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(25,45)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5](0,0)(25,45)
%\uput[u](37.5,0){$x$ (en euro)}\uput[r](0,45){$y$ (en milliers)}

\psline[linewidth=1.4pt]{->}(15,0)(15,50)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(15,0)(42,0)
\multido{\i=15+5}{6}{\psline(\i,1)(\i,-1)\rput(\i,-2.5){$\i$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,46)
}
\multido{\i=0+5}{10}{\psline(14.8,\i)(15.1,\i)\rput(14.2,\i){$\i$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](15,\i)(40.5,\i)
}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{15}{40}{200
  2.71828 -0.1 x mul exp mul}
\rput(45,-1.4){$x$ (euros)}
\rput(10,46){$y$ (miliers)}
% fonction offre
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{15}{27}{4 x mul 60 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.2cm}
%\begin{pspicture}(25,50)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(25,45)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5](0,0)(25,45)
%\uput[u](37.5,0){$x$ (en euro)}\uput[r](0,45){$y$ (en milliers)}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{200 2.71828 0.1% x 15 add mul exp div}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
%\end{pspicture}




\label{LastPage}
\end{document}

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