Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de math�matiques: �quations diff�rentielles},
pdftitle={Devoir de math�matiques},
pdfkeywords={�quation diff�rentielles, �quation diff�renteille du 1er ordre et du 2�me ordre, Math�matiques, BTS}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{Devoir de math�matiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit la fonction $f$ d�finie par $f(x)=xe^{-6x}$.
\bgen[a)]
\item Calculer la d�riv�e $f'$ de $f$. \\
Montrer alors que $f$ est solution de l'�quation diff�rentielle
$(E): y'+6y=e^{-6x}$.
\item \`A l'aide de la d�riv�e de $f$, donner le sens de variation de $f$
sur $[0;+\infty[$.
Tracer alors l'allure de la courbe de $f$.
\enen
\enex
\bgex
On consid�re l'�quation diff�rentielle
\[(E):\quad y'+2y=-5e^{-2x}
\]
o� $y$ est une fonction inconnue de la variable $x$, d�finie et
d�rivable sur $\R$, et $y'$ la fonction d�riv�e de~$y$.
\bgen
\item D�terminer les solutions de l'�quation diff�rentielle
$(E_0): y'+2y=0$.
\item Soit $g$ la fonction d�finie sur $\R$ par
$g(x)=-5xe^{-2x}$.
D�montrer que $g$ est une solution de $(E)$.
\item En d�duire les solutions de l'�quation diff�rentielle $(E)$.
\item D�terminer la solution $f$ de l'�quation diff�rentielle $(E)$
v�rifiant la condition initiale $f(0)=1$.
\enen
\enex
\bgex
On consid�re l'�quation diff�rentielle
\[
(E):\quad y''-4y'+13y=-39
\]
o� $y$ est une fonction inconnue de la variable $x$, d�finie et deux
fois d�rivable sur $\R$, $y'$ la fonction d�riv�e de $y$ et $y''$ sa
fonction d�riv�e seconde.
\bgen
\item D�terminer une fonction constante $g$, solution de l'�quation
$(E)$.
\item Ecrire l'�quation sans second membre $(E_0)$ associ�e � $(E)$,
et son �quation caract�ristique.
R�soudre cette �quation et en d�duire les solutions $y_0$ de
$(E_0)$.
\item En d�duire les solutions de l'�quation diff�rentielle $(E)$.
\enen
\enex
\bgex
On consid�re l'�quation $(E): y''+6y'+9y=5\cos(2x)-12\sin(2x)$.
\bgen
\item V�rifier que la fonction d�finie par $g(x)=cos(2x)$
est une solution de $(E)$.
\item D�terminer les solutions de l'�quation sans second membre associ�e � $(E)$.
\item En d�duire les solutions de $(E)$.
\item Trouver alors la solution $f$ de $(E)$ qui v�rifie de plus
$y(0)=1$ et $y'(0)=0$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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