@ccueil Colles

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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques en BTS: équations différentielles du 1er et 2ème ordre
Niveau
BTS
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, équations différentielles, maths, BTS
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathmatiques: quations diffrentielles},
    pdftitle={Corrig du devoir de mathmatiques},
    pdfkeywords={quation diffrentielles, quation diffrenteille du 1er ordre et du 2me ordre, Mathmatiques, devoir corrig, BTS}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/BTS/}}
\rfoot{Corrig du devoir de mathmatiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Soit la fonction $f$ dfinie par $f(x)=xe^{-6x}$. 

\bgen[a)] 
\item En drivant le produit, 
  $f'(x)=e^{-6x}+x\tm\lp -6e^{-6x}\rp=e^{-6x}-6x^{-6x}$. \\

  On calcule alors: $f'+6f=e^{-6x}-6x^{-6x}+6xe^{-6x}=e^{-6x}$, 
  ce qui montre que $f$ est une solution de 
  $(E): y'+6y=e^{-6x}$. 

\item Comme $f'(x)=e^{-6x}\lp1-6x\rp$, on peut dresser le tableau de variations de $f$: 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & 0 && $1/6$ && $+\infty$ \\\hline
  $e^{-6x}$ && $+$ & $|$ &$+$ & \\\hline
  $1-6x$ && $+$ & \zb &$-$ & \\\hline
  $f'(x)$ && $+$ & \zb &$-$ & \\\hline
  &&&$\frac{1}{6}e^{-1}$&&\\
  $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
  &0&&&&0\\\hline
  \end{tabular}\]


  \[\psset{xunit=4cm,yunit=50cm,arrowsize=7pt}
  \begin{pspicture}(0,-.008)(2,.085)
    \psline{->}(0,0)(2,0)
    \psline{->}(0,-.01)(0,0.08)
    \psplot{0}{2}{x 2.718 -6 x mul exp mul}
    \psline(0.188,-.003)(.188,.003)
    \rput(0.19,-.01){$1/6$}
    \psline(-.03,0.06)(.03,.06)
    \rput[r](-.06,.06){$\frac16e^{-1}\simeq0,06$}
  \end{pspicture}\]
\enen
\enex


\bgex
\bgen
\item Les solutions de l'quation sans second membre $(E_0)$ sont 
  $y_0(x)=Ae^{-2x}$. 
\item $g(x)=-5xe^{-2x}$, soit $g=u\,v$, 
  avec 
  $\la\bgar{ll} u(x)=-5x\\v(x)=e^{-2x}=e^{w(x)}\enar\right.$ 
  donc, 
  $\la\bgar{ll}u'(x)=-5\\v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-2e^{-2x}\enar\right.$

  \vspd
  Ainsi, $g'=u'v+uv'$, 
  soit 
  $g'(x)
  =-5e^{-2x}+(-5x)\lp-2e^{-2x}\rp
  =-5e^{-2x}+10xe^{-2x}$. 

  On a alors, 
  \[g'(x)+2g(x)
  =-5e^{2x}+10xe^{-2x}+2\lp-5xe^{-2x}\rp
  =-5e^{2x}+10xe^{-2x}-10xe^{-2x}
  =-5e^{2x}
  \]
  ce qui montre que $g$ est bien une solution de $(E)$. 

\item On dduit des deux questions prcdentes que les solutions de
  $(E)$ sont 
  \[y(x)=y_0(x)+g(x)=Ae^{-2x}-5xe^{-2x}\]

\item $f$ est une solution de $(E)$, 
  donc $f$ est de la forme 
  $f(x)=Ae^{-2x}-5xe^{-2x}$. 

  On a de plus, $f(0)=Ae^{0}-5\tm0\tm e^0=A=1$. 

  Ainsi, 
  $f(x)=e^{-2x}-5xe^{-2x}=(1-5x)e^{-2x}$. 
\enen
\enex

\bgex
\bgen
\item Soit $g(x)=k \in\R$, 
  alors $g'(x)=g''(x)=0$, et donc on doit avoir, pour que $g$ soit
  solution de $(E)$, 
  $13g=13k=-39$. Ainsi $k=-3$, 
  et $g(x)=-3$ est une fonction constante solution de $(E)$. 

\item L'quation sans second membre associe est $(E_0):y"-4y'+13y=0$, 
  dont l'quation caractristique est 
  $r^2-4r+13=0$. 

  Cette quation du second degr a pour discriminant 
  $\Delta=(-4)^2-4\tm13=-36<0$, et a donc deux solutions complexes 
  \[
  r_1=\dfrac{4-i\sqrt{36}}{2}=\dfrac{4-6i}{2}=2-3i
  \quad\text{ et } r_2=2+3i
  \]
  Les solutions $y_0$ de $(E_0)$ sont alors 
  $y_0(x)=e^{2x}\Bigl( A\cos(3x)+B\sin(3x)\Bigr)$. 

\item Les solutions de $(E)$ sont alors 
  $y(x)=g(x)+y_0(x)
  =-3+e^{2x}\Bigl( A\cos(3x)+B\sin(3x)\Bigr)$. 
\enen
\enex

\bgex
On considre l'quation $(E): y''+6y'+9y=5\cos(2x)-12\sin(2x)$. 
\bgen
\item On a $g(x)=cos(2x)$, 
  donc $g'(x)=-2\sin(2x)$ et $g''(x)=-4\cos(2x)$. 

  Ainsi, 
  \[g''+6g'+9g=-4\cos(2x)+6\lp-2\sin(2x)\rp+9\cos(2x)
  =5\cos(2x)-12\sin(2x)\]
  ce qui montre que $g$ est effectivement une solution particulire de $(E)$. 

\item L'quation sans second membre associe  $(E)$ 
  est $(E_0): y''+6y'+9y=0$. 
  
  L'quation caractristique associe est 
  $r^2+6r+9=0$ dont le discriminant est nul et qui a pour unique solution 
  $r=-3$. 

  Les solutions de $(E_0)$ sont donc 
  $y_0(x)=\lp Ax+B\rp e^{-3x}$. 

\item On en dduit les solutions de $(E)$ 
  qui sont les fonctions qui s'crivent sous la forme 
  $y(x)=y_0(x)+g(x)$, 
  soit 
  $y(x)=\lp Ax+B\rp e^{-3x}+\cos(2x)$. 

\item La fonction $f$  est une solution de $(E)$, 
  donc $f$ s'crit $f(x)=\lp Ax+B\rp e^{-3x}+\cos(2x)$. 

  \medskip
  On sait de plus que $f(0)=1$, 
  or 
  $f(0)=\lp A\tm0+B\rp e^{0}+\cos(0)=B+1$. 
  et donc, on en dduit que $B+1=1$, soit $B=0$. 

  Ainsi, on a $f(x)=Axe^{-3x}+\cos(2x)$. 
  \medskip
  $f$ vrifie de plus $y'(0)=0$. 

  On a, en drivant, $f'(x)=Ae^{-3x}-3xAe^{-3x}-2\sin(2x)$ \\
  et donc $f'(0)=Ae^0-3\tm0e^0-2\sin(0)=A-3$. 

  On en dduit donc que $A-3=0$, soit $A=3$. 

  \medskip
  La fonction recherche a donc pour expression 
  $f(x)=3xe^{-3x}+\cos(2x)$. 
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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