Source Latex: Devoir de mathématiques en BTS: équations différentielles


Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Devoir corrigé de mathématiques en BTS: équations différentielles du 1er et 2ème ordre
Niveau
BTS
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, équations différentielles, maths, BTS
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
lien vers la documentation Latex
Source LaTex icone

Source Latex de la correction du devoir

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage[french]{babel}
%\selectlanguage{francais}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de math�matiques: �quations diff�rentielles},
    pdftitle={Corrig� du devoir de math�matiques},
    pdfkeywords={�quation diff�rentielles, �quation diff�renteille du 1er ordre et du 2�me ordre, Math�matiques, devoir corrig�, BTS}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = black,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    pagecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=26.8cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{Corrig� du devoir de math�matiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig� du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Soit la fonction $f$ d�finie par $f(x)=xe^{-6x}$. 

\bgen[a)] 
\item En d�rivant le produit, 
  $f'(x)=e^{-6x}+x\tm\lp -6e^{-6x}\rp=e^{-6x}-6x^{-6x}$. \\

  On calcule alors: $f'+6f=e^{-6x}-6x^{-6x}+6xe^{-6x}=e^{-6x}$, 
  ce qui montre que $f$ est une solution de 
  $(E): y'+6y=e^{-6x}$. 

\item Comme $f'(x)=e^{-6x}\lp1-6x\rp$, on peut dresser le tableau de variations de $f$: 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & 0 && $1/6$ && $+\infty$ \\\hline
  $e^{-6x}$ && $+$ & $|$ &$+$ & \\\hline
  $1-6x$ && $+$ & \zb &$-$ & \\\hline
  $f'(x)$ && $+$ & \zb &$-$ & \\\hline
  &&&$\frac{1}{6}e^{-1}$&&\\
  $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
  &0&&&&0\\\hline
  \end{tabular}\]


  \[\psset{xunit=4cm,yunit=50cm,arrowsize=7pt}
  \begin{pspicture}(0,-.008)(2,.085)
    \psline{->}(0,0)(2,0)
    \psline{->}(0,-.01)(0,0.08)
    \psplot{0}{2}{x 2.718 -6 x mul exp mul}
    \psline(0.188,-.003)(.188,.003)
    \rput(0.19,-.01){$1/6$}
    \psline(-.03,0.06)(.03,.06)
    \rput[r](-.06,.06){$\frac16e^{-1}\simeq0,06$}
  \end{pspicture}\]
\enen
\enex


\bgex
\bgen
\item Les solutions de l'�quation sans second membre $(E_0)$ sont 
  $y_0(x)=Ae^{-2x}$. 
\item $g(x)=-5xe^{-2x}$, soit $g=u\,v$, 
  avec 
  $\la\bgar{ll} u(x)=-5x\\v(x)=e^{-2x}=e^{w(x)}\enar\right.$ 
  donc, 
  $\la\bgar{ll}u'(x)=-5\\v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-2e^{-2x}\enar\right.$

  \vspd
  Ainsi, $g'=u'v+uv'$, 
  soit 
  $g'(x)
  =-5e^{-2x}+(-5x)\lp-2e^{-2x}\rp
  =-5e^{-2x}+10xe^{-2x}$. 

  On a alors, 
  \[g'(x)+2g(x)
  =-5e^{2x}+10xe^{-2x}+2\lp-5xe^{-2x}\rp
  =-5e^{2x}+10xe^{-2x}-10xe^{-2x}
  =-5e^{2x}
  \]
  ce qui montre que $g$ est bien une solution de $(E)$. 

\item On d�duit des deux questions pr�c�dentes que les solutions de
  $(E)$ sont 
  \[y(x)=y_0(x)+g(x)=Ae^{-2x}-5xe^{-2x}\]

\item $f$ est une solution de $(E)$, 
  donc $f$ est de la forme 
  $f(x)=Ae^{-2x}-5xe^{-2x}$. 

  On a de plus, $f(0)=Ae^{0}-5\tm0\tm e^0=A=1$. 

  Ainsi, 
  $f(x)=e^{-2x}-5xe^{-2x}=(1-5x)e^{-2x}$. 
\enen
\enex

\bgex
\bgen
\item Soit $g(x)=k \in\R$, 
  alors $g'(x)=g''(x)=0$, et donc on doit avoir, pour que $g$ soit
  solution de $(E)$, 
  $13g=13k=-39$. Ainsi $k=-3$, 
  et $g(x)=-3$ est une fonction constante solution de $(E)$. 

\item L'�quation sans second membre associ�e est $(E_0):y"-4y'+13y=0$, 
  dont l'�quation caract�ristique est 
  $r^2-4r+13=0$. 

  Cette �quation du second degr� a pour discriminant 
  $\Delta=(-4)^2-4\tm13=-36<0$, et a donc deux solutions complexes 
  \[
  r_1=\dfrac{4-i\sqrt{36}}{2}=\dfrac{4-6i}{2}=2-3i
  \quad\text{ et } r_2=2+3i
  \]
  Les solutions $y_0$ de $(E_0)$ sont alors 
  $y_0(x)=e^{2x}\Bigl( A\cos(3x)+B\sin(3x)\Bigr)$. 

\item Les solutions de $(E)$ sont alors 
  $y(x)=g(x)+y_0(x)
  =-3+e^{2x}\Bigl( A\cos(3x)+B\sin(3x)\Bigr)$. 
\enen
\enex

\bgex
On consid�re l'�quation $(E): y''+6y'+9y=5\cos(2x)-12\sin(2x)$. 
\bgen
\item On a $g(x)=cos(2x)$, 
  donc $g'(x)=-2\sin(2x)$ et $g''(x)=-4\cos(2x)$. 

  Ainsi, 
  \[g''+6g'+9g=-4\cos(2x)+6\lp-2\sin(2x)\rp+9\cos(2x)
  =5\cos(2x)-12\sin(2x)\]
  ce qui montre que $g$ est effectivement une solution particuli�re de $(E)$. 

\item L'�quation sans second membre associ�e � $(E)$ 
  est $(E_0): y''+6y'+9y=0$. 
  
  L'�quation caract�ristique associ�e est 
  $r^2+6r+9=0$ dont le discriminant est nul et qui a pour unique solution 
  $r=-3$. 

  Les solutions de $(E_0)$ sont donc 
  $y_0(x)=\lp Ax+B\rp e^{-3x}$. 

\item On en d�duit les solutions de $(E)$ 
  qui sont les fonctions qui s'�crivent sous la forme 
  $y(x)=y_0(x)+g(x)$, 
  soit 
  $y(x)=\lp Ax+B\rp e^{-3x}+\cos(2x)$. 

\item La fonction $f$  est une solution de $(E)$, 
  donc $f$ s'�crit $f(x)=\lp Ax+B\rp e^{-3x}+\cos(2x)$. 

  \medskip
  On sait de plus que $f(0)=1$, 
  or 
  $f(0)=\lp A\tm0+B\rp e^{0}+\cos(0)=B+1$. 
  et donc, on en d�duit que $B+1=1$, soit $B=0$. 

  Ainsi, on a $f(x)=Axe^{-3x}+\cos(2x)$. 
  \medskip
  $f$ v�rifie de plus $y'(0)=0$. 

  On a, en d�rivant, $f'(x)=Ae^{-3x}-3xAe^{-3x}-2\sin(2x)$ \\
  et donc $f'(0)=Ae^0-3\tm0e^0-2\sin(0)=A-3$. 

  On en d�duit donc que $A-3=0$, soit $A=3$. 

  \medskip
  La fonction recherch�e a donc pour expression 
  $f(x)=3xe^{-3x}+\cos(2x)$. 
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

Télécharger le fichier source Latex