Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage[french]{babel}
%\selectlanguage{francais}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de math�matiques: �quations diff�rentielles},
pdftitle={Corrig� du devoir de math�matiques},
pdfkeywords={�quation diff�rentielles, �quation diff�renteille du 1er ordre et du 2�me ordre, Math�matiques, devoir corrig�, BTS}
}
\hypersetup{
colorlinks = true,
linkcolor = black,
anchorcolor = red,
citecolor = blue,
filecolor = red,
pagecolor = red,
urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=26.8cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm
\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{Corrig� du devoir de math�matiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig� du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit la fonction $f$ d�finie par $f(x)=xe^{-6x}$.
\bgen[a)]
\item En d�rivant le produit,
$f'(x)=e^{-6x}+x\tm\lp -6e^{-6x}\rp=e^{-6x}-6x^{-6x}$. \\
On calcule alors: $f'+6f=e^{-6x}-6x^{-6x}+6xe^{-6x}=e^{-6x}$,
ce qui montre que $f$ est une solution de
$(E): y'+6y=e^{-6x}$.
\item Comme $f'(x)=e^{-6x}\lp1-6x\rp$, on peut dresser le tableau de variations de $f$:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & 0 && $1/6$ && $+\infty$ \\\hline
$e^{-6x}$ && $+$ & $|$ &$+$ & \\\hline
$1-6x$ && $+$ & \zb &$-$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \zb &$-$ & \\\hline
&&&$\frac{1}{6}e^{-1}$&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&0&&&&0\\\hline
\end{tabular}\]
\[\psset{xunit=4cm,yunit=50cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(0,-.008)(2,.085)
\psline{->}(0,0)(2,0)
\psline{->}(0,-.01)(0,0.08)
\psplot{0}{2}{x 2.718 -6 x mul exp mul}
\psline(0.188,-.003)(.188,.003)
\rput(0.19,-.01){$1/6$}
\psline(-.03,0.06)(.03,.06)
\rput[r](-.06,.06){$\frac16e^{-1}\simeq0,06$}
\end{pspicture}\]
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Les solutions de l'�quation sans second membre $(E_0)$ sont
$y_0(x)=Ae^{-2x}$.
\item $g(x)=-5xe^{-2x}$, soit $g=u\,v$,
avec
$\la\bgar{ll} u(x)=-5x\\v(x)=e^{-2x}=e^{w(x)}\enar\right.$
donc,
$\la\bgar{ll}u'(x)=-5\\v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-2e^{-2x}\enar\right.$
\vspd
Ainsi, $g'=u'v+uv'$,
soit
$g'(x)
=-5e^{-2x}+(-5x)\lp-2e^{-2x}\rp
=-5e^{-2x}+10xe^{-2x}$.
On a alors,
\[g'(x)+2g(x)
=-5e^{2x}+10xe^{-2x}+2\lp-5xe^{-2x}\rp
=-5e^{2x}+10xe^{-2x}-10xe^{-2x}
=-5e^{2x}
\]
ce qui montre que $g$ est bien une solution de $(E)$.
\item On d�duit des deux questions pr�c�dentes que les solutions de
$(E)$ sont
\[y(x)=y_0(x)+g(x)=Ae^{-2x}-5xe^{-2x}\]
\item $f$ est une solution de $(E)$,
donc $f$ est de la forme
$f(x)=Ae^{-2x}-5xe^{-2x}$.
On a de plus, $f(0)=Ae^{0}-5\tm0\tm e^0=A=1$.
Ainsi,
$f(x)=e^{-2x}-5xe^{-2x}=(1-5x)e^{-2x}$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Soit $g(x)=k \in\R$,
alors $g'(x)=g''(x)=0$, et donc on doit avoir, pour que $g$ soit
solution de $(E)$,
$13g=13k=-39$. Ainsi $k=-3$,
et $g(x)=-3$ est une fonction constante solution de $(E)$.
\item L'�quation sans second membre associ�e est $(E_0):y"-4y'+13y=0$,
dont l'�quation caract�ristique est
$r^2-4r+13=0$.
Cette �quation du second degr� a pour discriminant
$\Delta=(-4)^2-4\tm13=-36<0$, et a donc deux solutions complexes
\[
r_1=\dfrac{4-i\sqrt{36}}{2}=\dfrac{4-6i}{2}=2-3i
\quad\text{ et } r_2=2+3i
\]
Les solutions $y_0$ de $(E_0)$ sont alors
$y_0(x)=e^{2x}\Bigl( A\cos(3x)+B\sin(3x)\Bigr)$.
\item Les solutions de $(E)$ sont alors
$y(x)=g(x)+y_0(x)
=-3+e^{2x}\Bigl( A\cos(3x)+B\sin(3x)\Bigr)$.
\enen
\enex
\bgex
On consid�re l'�quation $(E): y''+6y'+9y=5\cos(2x)-12\sin(2x)$.
\bgen
\item On a $g(x)=cos(2x)$,
donc $g'(x)=-2\sin(2x)$ et $g''(x)=-4\cos(2x)$.
Ainsi,
\[g''+6g'+9g=-4\cos(2x)+6\lp-2\sin(2x)\rp+9\cos(2x)
=5\cos(2x)-12\sin(2x)\]
ce qui montre que $g$ est effectivement une solution particuli�re de $(E)$.
\item L'�quation sans second membre associ�e � $(E)$
est $(E_0): y''+6y'+9y=0$.
L'�quation caract�ristique associ�e est
$r^2+6r+9=0$ dont le discriminant est nul et qui a pour unique solution
$r=-3$.
Les solutions de $(E_0)$ sont donc
$y_0(x)=\lp Ax+B\rp e^{-3x}$.
\item On en d�duit les solutions de $(E)$
qui sont les fonctions qui s'�crivent sous la forme
$y(x)=y_0(x)+g(x)$,
soit
$y(x)=\lp Ax+B\rp e^{-3x}+\cos(2x)$.
\item La fonction $f$ est une solution de $(E)$,
donc $f$ s'�crit $f(x)=\lp Ax+B\rp e^{-3x}+\cos(2x)$.
\medskip
On sait de plus que $f(0)=1$,
or
$f(0)=\lp A\tm0+B\rp e^{0}+\cos(0)=B+1$.
et donc, on en d�duit que $B+1=1$, soit $B=0$.
Ainsi, on a $f(x)=Axe^{-3x}+\cos(2x)$.
\medskip
$f$ v�rifie de plus $y'(0)=0$.
On a, en d�rivant, $f'(x)=Ae^{-3x}-3xAe^{-3x}-2\sin(2x)$ \\
et donc $f'(0)=Ae^0-3\tm0e^0-2\sin(0)=A-3$.
On en d�duit donc que $A-3=0$, soit $A=3$.
\medskip
La fonction recherch�e a donc pour expression
$f(x)=3xe^{-3x}+\cos(2x)$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
Télécharger le fichier source