Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de math�matiques: �quations diff�rentielles},
pdftitle={Corrig� du devoir de math�matiques},
pdfkeywords={�quation diff�rentielles, �quation diff�renteille du 1er ordre et du 2�me ordre, Math�matiques, devoir corrig�, BTS}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{Corrig� du devoir de math�matiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig� du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen
\item Les solutions de l'�quation sans second membre $(E_0)$ sont
$y_0(x)=Ae^{-2x}$.
\item $g(x)=-5xe^{-2x}$, soit $g=u\,v$,
avec
$\la\bgar{ll} u(x)=-5x\\v(x)=e^{-2x}=e^{w(x)}\enar\right.$
donc,
$\la\bgar{ll}u'(x)=-5\\v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-2e^{-2x}\enar\right.$
\vspd
Ainsi, $g'=u'v+uv'$,
soit
$g'(x)
=-5e^{-2x}+(-5x)\lp-2e^{-2x}\rp
=-5e^{-2x}+10xe^{-2x}$.
On a alors,
\[g'(x)+2g(x)
=-5e^{2x}+10xe^{-2x}+2\lp-5xe^{-2x}\rp
=-5e^{2x}+10xe^{-2x}-10xe^{-2x}
=-5e^{2x}
\]
ce qui montre que $g$ est bien une solution de $(E)$.
\item On d�duit des deux questions pr�c�dentes que les solutions de
$(E)$ sont
\[y(x)=y_0(x)+g(x)=Ae^{-2x}-5xe^{-2x}\]
\item $f$ est une solution de $(E)$,
donc $f$ est de la forme
$f(x)=Ae^{-2x}-5xe^{-2x}$.
On a de plus, $f(0)=Ae^{0}-5\tm0\tm e^0=A=1$.
Ainsi,
$f(x)=e^{-2x}-5xe^{-2x}=(1-5x)e^{-2x}$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Soit $g(x)=k \in\R$,
alors $g'(x)=g''(x)=0$, et donc on doit avoir, pour que $g$ soit
solution de $(E)$,
$13g=13k=-39$. Ainsi $k=-3$,
et $g(x)=-3$ est une fonction constante solution de $(E)$.
\item L'�quation sans second membre associ�e est $(E_0):y"-4y'+13y=0$,
dont l'�quation caract�ristique est
$r^2-4r+13=0$.
Cette �quation du second degr� a pour discriminant
$\Delta=(-4)^2-4\tm13=-36<0$, et a donc deux solutions complexes
\[
r_1=\dfrac{4-i\sqrt{36}}{2}=\dfrac{4-6i}{2}=2-3i
\quad\text{ et } r_2=2+3i
\]
Les solutions $y_0$ de $(E_0)$ sont alors
$y_0(x)=e^{2x}\Bigl( A\cos(3x)+B\sin(3x)\Bigr)$.
\item Les solutions de $(E)$ sont alors
$y(x)=g(x)+y_0(x)
=-3+e^{2x}\Bigl( A\cos(3x)+B\sin(3x)\Bigr)$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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