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Fichier
Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques en BTS: étude de fonction, dérivée, sens de variation et limites
Niveau
BTS
Mots clé
dérivée, sens de variation, fonction, limites, devoir corrigé de mathématiques, maths, BTS
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: Fonctions},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, BTS, MS, MI, SMS, maintenance industrielle, 
      groupe B, fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/BTS/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Soit, pour $x\not=2$, $f(x)=\dfrac{x+5}{x^2-4}$. 

\bgen
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. 
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression 
$f(x)=x^3-2x^2+x+5$. 

Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ puis dresser le tableau de variation
de $f$. 

Préciser les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
\enex


\bgex
On considère la fonction $f$ définie par 
$f(x)=\lp x^2-1\rp e^{x}$, 
dont la courbe représentative est notée $C$.

\bgen
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$. 

  Montrer que $f'$ peut s'écrire sous la forme 
  $f'(x)=e^{x}\lp x^2+2x-1\rp$. 

\item On rappelle qu'une équation de la tangente à la courbe $C$
  au point d'abscisse $a$ est donnée par: 
  $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. 

  Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point
  d'abscisse $0$. 

\item Soit $F$ la fonction définie par l'expression 
  $F(x)=\lp x-1\rp^2\,e^{x}$. 

  Montrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ 
  (i.e. que $f$ est la fonction dérivée de $F$). 

\item Déterminer la limite de $f$ lorsque $x\to+\infty$ et lorsque
  $x\to-\infty$. 

  Préciser les éventuelles asymptotes. 

\item Tracer dans un repère ces éventuelles asymptotes, la tengente
  $T$, et l'allure de la courbe $C$. 
\enen
\enex






\label{LastPage}
\end{document}

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