Source Latex
sujet du devoir
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\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: Fonctions},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, BTS, MS, MI, SMS, maintenance industrielle,
groupe B, fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line)
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\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Calculer $\dsp I=\int_0^1 \lp 3x^2+6x-1\rp\,dx$
\enex
\bgex
Calculer $\dsp I=\int_0^2 \dfrac{2}{\lp 3x+2\rp^2}\,dx$
\enex
\bgex
Déterminer la valeur moyenne de la fonction
$f(x)=2x+\sin(x)$ sur l'intervalle $[0;\pi]$.
\enex
\noindent
\bgmp{11cm}
\bgex
On cherche à calculer l'aire du domaine grisé sur le graphique ci-contre.
Le domaine est compris entre une portion de parabole
et un segment de droite.
La parabole représente la fonction
$f$ dont l'expression est
$f(x)=-\dfrac12x^2+4x-\dfrac52$.
La droite est la représentation de la fonction affine
$g(x)=x$.
\bgen
\item Calculer les intégrales $\dsp\int_1^5f(x)\,dx$ et
$\dsp\int_1^5g(x)\,dx$.
\item En déduire l'aire recherchée.
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8,6.8)
\nwc\f[1]{#1 #1 mul -0.5 mul 4 #1 mul add -2.5 add}
\renewcommand{\g}[1]{#1}
%
\pscustom{
\psplot[plotpoints=100]{1}{5}{\f{x}}\gsave
\psplot{1}{5}{\g{x}}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]
\grestore}
%
\multido{\i=1+1}{6}{
\psline[linewidth=.2pt,linestyle=dashed](-.2,\i)(7.2,\i)
}
\multido{\i=1+1}{7}{
\psline[linewidth=.2pt,linestyle=dashed](\i,-.2)(\i,6.3)
}
%
\psplot[linewidth=2pt,plotpoints=100]{.5}{7.5}{\f{x}}
\psplot[linewidth=2pt]{0}{6.6}{\g{x}}
\psline{->}(-.3,0)(8,0)
\psline{->}(0,-1)(0,6.5)
\psline(0,1)(1,1)(1,0)
\rput(-0.2,-0.2){$O$}
\rput(1,-0.35){$1$}\rput(-0.2,1){$1$}
\rput(5,-0.35){$5$}
\end{pspicture}
\enmp
\label{LastPage}
\end{document}
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