@ccueil Colles

Source LaTeX icone DS-Integrales-c



Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Devoir de mathématiques en BTS: calcul intégral, primitive, calcul d'ire
Niveau
BTS
Mots clé
intégrale, intégration, calcul d'aire, devoir corrigé de mathématiques, maths, BTS
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
Source LaTex icone
Télécharger le fichier source pdficon

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: Fonctions},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, devoir corrigé, BTS, MS, MI, SMS, maintenance industrielle, 
      groupe B, fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = black,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    pagecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm


% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=25cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/BTS/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}



\bgex
$F(x)=x^3+3x^2-x$ est une primitive de 
$f(x)=3x^2+6x-1$, \\
et donc, 
$\dsp I=\int_0^1 \lp 3x^2+6x-1\rp\,dx
\Bigl[\, F(x) \,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)=3-0=3$. 
\enex


\bgex
Calculer $\dsp I=\int_0^2 \dfrac{2}{\lp 3x+2\rp^2}\,dx$

$F(x)=-\dfrac23\tm\dfrac{1}{3x+2}$ est une primitive de 
$f(x)=\dfrac{2}{\lp 3x+2\rp^2}$, \\
et donc 
$I=\Bigl[\,F(x)\Bigr]_0^2=F(2)-F(0)
=-\dfrac23\tm\dfrac{1}{8}+\dfrac23\tm\dfrac{1}{2}
=-\dfrac{1}{12}+\dfrac13
=\dfrac14$
\enex


\bgex
La valeur moyenne est 
$\mu\dsp=\dfrac1{\pi-0}\int_0^\pi f(x)\,dx$. \\
$F(x)=x^2-\cos(x)$ est une primitive de $f$, 
et donc 
$\mu=\dfrac1\pi\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^\pi
=\dfrac1\pi\lp F(\pi)-F(0)\rp$. 

De plus $F(\pi)=\pi^2-\cos(\pi)=\pi^2+1$ 
et $F(0)=0^2-\cos(0)=-1$, \\
et donc, $F(\pi)-F(0)=\pi^2+1-(-1)=\pi^2+2$. \\
On trouve alors la valeur moyenne, 
$\mu=\dfrac{\pi^2+2}{\pi}$.
\enex

\bgex
\bgen
\item $F(x)=-\dfrac16x^3+2x^2-\dfrac52x$ et 
  $G(x)=\dfrac12x^2$ sont des primitives de $f$ et $g$. 

  On a alors, 
  $I=\dsp\int_1^5f(x)dx=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_1^5
  =F(5)-F(1)$. 

  On a $F(5)=-\dfrac{5^3}{6}+2\tm5^2-\dfrac52\tm5
  =\dfrac{-125+300-75}{6}=\dfrac{100}{6}=\dfrac{50}{3}$ 

  et 
  $F(1)=-\dfrac16+2-\dfrac52=\dfrac{-1+12-15}{6}
  =\dfrac{-4}{6}=-\dfrac23$. 

  Ainsi, $I=\dfrac{52}{3}$. 

  \medskip
  De m\^eme, $G(5)=\dfrac12\tm5^2=\dfrac{25}{2}$ 
  et $G(1)=\dfrac12$, 
  d'où 
  $J=G(5)-G(1)=\dfrac{24}{2}=12$. 

\item L'aire $A$ recherchée est alors 
  $A=I-J=\dfrac{52}{3}-12=\dfrac{16}{3}$

\enen
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

Haut de la page Haut de la page