Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: Fonctions},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, devoir corrigé, BTS, MS, MI, SMS, maintenance industrielle,
groupe B, fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
$F(x)=x^3+3x^2-x$ est une primitive de
$f(x)=3x^2+6x-1$, \\
et donc,
$\dsp I=\int_0^1 \lp 3x^2+6x-1\rp\,dx
\Bigl[\, F(x) \,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)=3-0=3$.
\enex
\bgex
Calculer $\dsp I=\int_0^2 \dfrac{2}{\lp 3x+2\rp^2}\,dx$
$F(x)=-\dfrac23\tm\dfrac{1}{3x+2}$ est une primitive de
$f(x)=\dfrac{2}{\lp 3x+2\rp^2}$, \\
et donc
$I=\Bigl[\,F(x)\Bigr]_0^2=F(2)-F(0)
=-\dfrac23\tm\dfrac{1}{8}+\dfrac23\tm\dfrac{1}{2}
=-\dfrac{1}{12}+\dfrac13
=\dfrac14$
\enex
\bgex
La valeur moyenne est
$\mu\dsp=\dfrac1{\pi-0}\int_0^\pi f(x)\,dx$. \\
$F(x)=x^2-\cos(x)$ est une primitive de $f$,
et donc
$\mu=\dfrac1\pi\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^\pi
=\dfrac1\pi\lp F(\pi)-F(0)\rp$.
De plus $F(\pi)=\pi^2-\cos(\pi)=\pi^2+1$
et $F(0)=0^2-\cos(0)=-1$, \\
et donc, $F(\pi)-F(0)=\pi^2+1-(-1)=\pi^2+2$. \\
On trouve alors la valeur moyenne,
$\mu=\dfrac{\pi^2+2}{\pi}$.
\enex
\bgex
\bgen
\item $F(x)=-\dfrac16x^3+2x^2-\dfrac52x$ et
$G(x)=\dfrac12x^2$ sont des primitives de $f$ et $g$.
On a alors,
$I=\dsp\int_1^5f(x)dx=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_1^5
=F(5)-F(1)$.
On a $F(5)=-\dfrac{5^3}{6}+2\tm5^2-\dfrac52\tm5
=\dfrac{-125+300-75}{6}=\dfrac{100}{6}=\dfrac{50}{3}$
et
$F(1)=-\dfrac16+2-\dfrac52=\dfrac{-1+12-15}{6}
=\dfrac{-4}{6}=-\dfrac23$.
Ainsi, $I=\dfrac{52}{3}$.
\medskip
De m\^eme, $G(5)=\dfrac12\tm5^2=\dfrac{25}{2}$
et $G(1)=\dfrac12$,
d'où
$J=G(5)-G(1)=\dfrac{24}{2}=12$.
\item L'aire $A$ recherchée est alors
$A=I-J=\dfrac{52}{3}-12=\dfrac{16}{3}$
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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