Source Latex: Devoir corrigés de mathématiques en BTS


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Type: Devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, BTS: devoir sur les fonctions, dérivée, étude, limites, courbe représentative
Niveau
BTS
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, BTS, sens de variation, variation, courbe, étude de fonctions
Voir aussi:

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Source Latex sujet du devoir

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Math�matiques - BTS 2013},
    pdftitle={Math�matiques - BTS 2013},
    pdfkeywords={Math�matiques, BTS, 
      groupement A, 
      Fourier, s�rie de Fourier, 
      �quations diff�rentielles, 
      Transform�e de Laplace, Laplace, 
      }
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\ct}{\centerline}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\newcounter{ntheo}
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  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}

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  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
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\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
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\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
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\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{BTS de math�matiques - session 2013}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\lfoot{Y. Morel\ - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\cfoot{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien sup�rieur \\ session 2013 \\ Groupement A}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Sp�cialit�s :}
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Contr�le industriel et r�gulation automatique
\item Informatique et r�seaux pour l'industrie et les services techniques
\item Syst�mes �lectroniques
\item �lectrotechnique
\item G�nie optique
\item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1 \hrulefill\ 10 points}

\medskip

Cet exercice comporte 2 parties ind�pendantes. Il traite de
l'�quilibre de syst�mes triphas�s.  

Aucune connaissance sur ces syst�mes n'est n�cessaire pour traiter
l'int�gralit� de cet exercice. 

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\vspd
 
Un onduleur � commande asynchrone d�livre une tension p�riodique
$f(t)$ de p�riode $2\pi$ selon la repr�sentation graphique suivante : 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6.5,-1.1)(6.5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-6.5,-1.1)(6.5,1.1)
\multido{\n=-6.2832+0.5236}{27}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,1)}
\multido{\n=-1.0+0.5}{5}{\psline[linestyle=dotted](-6.2832,\n)(6.2832,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-6.5,1)(-4.712,1)(-4.712,-1)(-2.0944,-1)(-2.0944,1)(2.0944,1)(2.0944,-1)(4.712,-1)(4.712,1)(6.5,1)
\uput[dl](-6.282,0){$- 2\pi$}\uput[dl](-3.141,0){$-\pi$}
\uput[dl](-1.0472,0){$\frac{-\pi}{3}$}\uput[dl](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$}
\uput[dl](3.141,0){$\pi$}\uput[dl](6.282,0){$2\pi$}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe \no 1, on a repr�sent� graphiquement sur
  $[-2\pi~;~2\pi]$ la tension $f(t)$ et la tension 
  $f\left(t + \dfrac{2\pi}{3}\right)$. 

  Sur le document r�ponse, compl�ter le tableau de valeurs et construire
  la repr�sentation graphique de la tension 
  $f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$ sur $[-2\pi~;~2\pi]$.  
\item \emph{En r�gime triphas�, l'onduleur soumet la phase 1 � la
  tension $f(t)$, la phase 2 � la tension 
  $f\left(t + \dfrac{2\pi}{3}\right)$ et la phase 3 � 
  $f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$. 
  Le neutre, quant � lui, est soumis � la
  somme $S(t)$ des tensions des phases, d�finie par} 
 
  \[S(t) 
  = f(t) + f\lp t + \dfrac{2\pi}{3}\rp + f\lp t + \dfrac{4\pi}{3}\rp.
  \]

  \emph{Si cette somme est nulle pour tout nombre r�el $t$, le syst�me
    triphas� est �quilibr�. Sinon le syst�me est d�s�quilibr�.}  

  \vspd
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $S(0)$. 
    \vspd
  \item Le syst�me triphas� �tudi� dans cette partie est-il �quilibr� ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour garantir l'�quilibrage d'un syst�me triphas�, on peut utiliser un
onduleur � commande d�cal�e. Ainsi, nous consid�rons dans cette partie
que la tension d�livr�e est un signal $g$ de p�riode $2\pi$, dont la
repr�sentation graphique sur $[-2\pi~;~2\pi]$ figure ci-apr�s :  

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6.5,-1.1)(6.5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-6.5,-1.1)(6.5,1.1)
\multido{\n=-6.2832+0.5236}{27}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,1)}
\multido{\n=-1.0+0.5}{5}{\psline[linestyle=dotted](-6.2832,\n)(6.2832,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-6.282,1)(-5.236,1)(-5.236,0)(-4.189,0)(-4.189,-1)(-2.0944,-1)(-2.0944,0)(-1.0472,0)(-1.0472,1)(1.0472,1)(1.0472,0)(2.0944,0)(2.0944,-1)(4.189,-1)(4.189,0)(5.236,0)(5.236,1)(6.282,1)
\uput[dl](-6.282,0){$- 2\pi$}\uput[dl](-3.141,0){$-\pi$}
\uput[dl](-1.0472,0){$\frac{-\pi}{3}$}\uput[dl](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$}
\uput[dl](3.141,0){$\pi$}\uput[dl](6.282,0){$2\pi$}
\end{pspicture}
\end{center} 

On s'int�resse au d�veloppement en s�rie de Fourier du signal $g$.
 
Dans la suite de l'exercice, $a_{0} , a_{n}$ et $b_{n}$ d�signent les
coefficients du d�veloppement en s�rie de Fourier de ce signal $g$,
avec les notations du formulaire.  

\medskip

\begin{enumerate}
\item D�terminer $a_{0}$. 
  \vspd
\item Pr�ciser la valeur des coefficients $b_{n}$ pour tout entier
  naturel $n$ non nul. 
  \vspd
\item
  \begin{enumerate}
  \item Donner la valeur de $g(t)$ sur chacun des intervalles  
    $\left]0~;~\dfrac{\pi}{3}\right[, \ 
      \left]\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{2\pi}{3}\right[$ 
      et $\left]\dfrac{2\pi}{3}~;~\pi \right[$. 
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    
    \[
    a_n 
    = \dfrac{2}{\pi} \tm 
    \dfrac{\sin \lp\dfrac{n\pi}{3} \rp + \sin \lp\dfrac{2n\pi}{3} \rp}{n}\]
 
  \end{enumerate}

  \vspd
\item
  \begin{enumerate}
  \item V�rifier que $a_{3k} = 0$, pour tout nombre entier naturel $k$
    non nul.  
    \vspd
  \item On d�montre que ce qui emp�che un signal d'�tre nul dans le
    neutre est la pr�sence d'harmoniques non nulles de rangs multiples
    de 3 dans le d�veloppement en s�rie de Fourier du signal $g$. 
		 
    Peut-on consid�rer que le syst�me triphas� est �quilibr�, c'est � dire
    que la tension sur le neutre est nulle ? 
  \end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspq
\emph{Remarque : Dans les h�pitaux, les banques, les lyc�es, etc.,
  l'�nergie �lectrique est fournie par des transformateurs ou par les
  onduleurs qui alimentent une multitude de r�cepteurs (ordinateurs,
  lampes basse-consommation ...) qui g�n�rent des courants
  harmoniques. Sans une installation adapt�e et sans une utilisation
  de r�cepteurs optimis�s, l'accumulation d'harmoniques de rangs
  multiples de 3 conduit au d�s�quilibre du syst�me triphas�. Ceci
  peut engendrer de graves probl�mes .' surchauffe du fil portant le
  neutre, ph�nom�nes d'interf�rence, augmentation des pertes
  d'�nergie, ouverture des fusibles ou interrupteurs automatiques ...}  


\clearpage
\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\vspd

Les parties A, B et C de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re
ind�pendante. 

On notera $U$ la fonction �chelon unit� d�finie pour tout nombre r�el
$t$ par :  

\[ \la\bgar{lclcl}
U(t) &=& 0 &\text{si}& t < 0\\
U(t) &=& 1 &\text{si}& t \geqslant 0
\enar\right.\]
 
Une fonction d�finie sur l'ensemble des nombres r�els est dite causale
lorsque cette fonction est nulle sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$. 
On consid�re un syst�me entr�e-sortie o� les signaux d'entr�e et
sortie sont mod�lis�s par des fonctions causales not�es
respectivement $e$ et $s$. Ce syst�me est du second ordre, c'est
� dire que les fonctions $e$ et $s$ sont li�es sur l'intervalle
$[0~;~+ \infty[$ par une �quation diff�rentielle du type  

\[s''(t) + bs'(t) + cs(t) = ce(t),\]
 
o� $b$ et $c$ d�signent des constantes r�elles.

On suppose de plus dans tout l'exercice que $s(0) = 0$ et $s'(0) = 0$.

\vspd
 
\textbf{Partie A : r�solution d'une �quation diff�rentielle du second ordre}

\vspd
 
Dans cette partie, on suppose que $b = 1$ et $c = 0,25$. De plus, le
signal d'entr�e, constant est d�fini pour tout nombre r�el $t$ de
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $e(t) = 10$. 
 
La fonction causale $s$ est donc solution sur l'intervalle 
$[0~;~+ \infty[$ de l'�quation diff�rentielle  

\[(E) \::\quad  y'' + y' + 0,25y = 2,5.\]
 

\begin{enumerate}
\item D�terminer une fonction constante sur $[0~;~+ \infty[$ solution
    particuli�re de l'�quation diff�rentielle~$(E)$. 
 
\item R�soudre l'�quation diff�rentielle 
    $\lp E_0\rp\: :\quad y'' + y' + 0,25y = 0$. 

\item En d�duire la forme g�n�rale des solutions de l'�quation
  diff�rentielle (E).  

\item Parmi les quatre expressions ci-dessous, laquelle est celle de
  s(t) sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ ? 
 
  Recopier la r�ponse choisie sur la copie.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{X X}
$\bullet~~5t\text{e}^{-0,5t}$
&$\bullet~~ 10 - (5t + 10)\text{e}^{-0,5t}$
\\[0.2cm]
$\bullet~~10 - (2,5t + 10)\text{e}^{-0,25t}$*
&$\bullet~~10 - (10t + 10)\text{e}^{-0,5t}$
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{enumerate}

\vspq
 
\textbf{Partie B : utilisation de la transformation de Laplace}

\medskip
 
Dans cette partie, on suppose que $b = 0$ et $c = 9$. De plus, le
signal d'entr�e, sinuso�dal est d�fini pour tout nombre r�el $t$ par 
\[e(t) = \sin(2t) U(t).\]

\vspd 
La fonction causale $s$ est donc solution de l'�quation diff�rentielle  

\[\lp E'\rp\: :\quad s''(t) + 9s(t) = 9\sin (2t)U(t).\]
 
On note $S$ la transform�e de Laplace de la fonction $s$.
 
\begin{enumerate}
\item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de
  l'�quation diff�rentielle $\left(E'\right)$, montrer que  
  \[S(p) = \dfrac{18}{\left(p^2 + 4\right)\left(p^2+ 9\right)}.\]
 
\item D�terminer les nombres r�els $a$ et $b$ tels que, pour tout
  nombre r�el $p$, on ait  
  \[S(p) = \dfrac{a}{p^2 + 4} +  \dfrac{b}{p^2 + 9}.\]
 
\item En d�duire l'expression de $s(t)$ pour tout nombre r�el $t$
  positif ou nul. 
\end{enumerate}
 
\vspq
 
\textbf{Partie C : d�termination de l'amplitude du signal de sortie}

\medskip
 
On note $f$ la fonction causale d�finie sur l'ensemble des nombres r�els par : 

\[f(t) = (1,8\sin (2t) - 1,2\sin (3t)) U(t).\]
 
Cette fonction est p�riodique de p�riode $2\pi$ sur l'intervalle
$[0~;~+\infty[$. 
 
Sur l'annexe 2 sont trac�es deux repr�sentations graphiques de la
fonction $f$. 
 
Les points $M_1, M_2, M_3, M_4$ indiqu�s sur le graphique
correspondent aux extremums locaux de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$[0~;~ 2\pi]$.  
 
Le but de cette partie est de d�terminer la valeur maximale $A$
atteinte par $f(t)$ quand $t$ varie dans l'intervalle
$[0~;~+\infty[$. 
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la figure 1 de l'annexe 2, d�terminer une valeur
  approch�e de $A$ � $0,1$ pr�s. 

\vspd
\item Pour tout nombre r�el $t$ positif ou nul, calculer une
  expression de $f'(t)$.  

\vspd
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout nombre r�el positif ou nul $t, f'(t)$
    peut se mettre sous la forme  
    \[f'(t) 
    = \alpha \sin \lp\dfrac{5t}{2}\rp \sin \lp\dfrac{t}{2}\rp .\]		
    o� $\alpha$ est un nombre r�el strictement positif.
 
    En d�duire la valeur de $f'\left(\dfrac{2k\pi}{5}\right)$ pour
    tout nombre entier naturel $k$.  

    \vspd
  \item D�terminer les valeurs exactes des abscisses des points
    $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$.  
		
    En d�duire une valeur approch�e de $A$ � $10^{-3}$ pr�s.
  \end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1}
\vspace{2cm}
 
Repr�sentation graphique de la tension $f(t)$

\vspace{0,5cm} 

\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6.5,-1.1)(6.5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-6.5,-1.1)(6.5,1.1)
\multido{\n=-6.2832+0.5236}{27}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,1)}
\multido{\n=-1.0+0.5}{5}{\psline[linestyle=dotted](-6.2832,\n)(6.2832,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-6.5,1)(-4.712,1)(-4.712,-1)(-1.5708,-1)(-1.5708,1)(1.5708,1)(1.5708,-1)(4.712,-1)(4.712,1)(6.5,1)
\uput[dl](-6.282,0){$- 2\pi$}\uput[dl](-3.141,0){$-\pi$}\uput[d](-6.282,0){$2\pi$}
\uput[dl](-1.0472,0){$\frac{-\pi}{3}$}\uput[dl](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$}
\uput[dl](3.141,0){$\pi$}\uput[dl](6.282,0){$2\pi$}
\end{pspicture}
\vspace{2cm}

Repr�sentation graphique de la tension $f\left(t + \dfrac{2\pi}{3}\right)$

\vspace{0,5cm} 

\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6.5,-1.1)(6.5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-6.5,-1.1)(6.5,1.1)
\multido{\n=-6.2832+0.5236}{27}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,1)}
\multido{\n=-1.0+0.5}{5}{\psline[linestyle=dotted](-6.2832,\n)(6.2832,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-6.283,-1)(-3.665,-1)(-3.665,1)(-0.5236,1)(-0.5236,-1)(2.618,-1)(2.618,1)(5.7596,1)(5.7596,-1)(6.283,-1)
\uput[dl](-6.282,0){$- 2\pi$}\uput[dl](-3.141,0){$-\pi$}\uput[d](-6.282,0){$2\pi$}
\uput[dl](-1.0472,0){$\frac{-\pi}{3}$}\uput[dl](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$}
\uput[dl](3.141,0){$\pi$}\uput[dl](6.282,0){$2\pi$}
\end{pspicture}

\end{center}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Document r�ponse\\ 
(� rendre avec la copie)}


\vspace{3cm}
 
Tableau des valeurs prises par $f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$ pour certaines valeurs de $t$

\vspace{0,5cm}

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$&$- \dfrac{4\pi}{3}$&$- \pi$&$- \dfrac{\pi}{2}$&$0$&$\dfrac{\pi}{3}$&$\pi$&$ \dfrac{4\pi}{3}$&$ \dfrac{5\pi}{3}$\\ \hline
$f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$&&1&&&&&&$- 1$\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{3cm}

Rep�re pour repr�senter $f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=2.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6.5,-1.1)(6.5,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-6.5,-1.1)(6.5,1.2)
\multido{\n=-6.2832+0.5236}{25}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,1)}
\multido{\n=-1.0+0.5}{5}{\psline[linestyle=dotted](-6.2832,\n)(6.2832,\n)}
\uput[dl](-6.282,0){$- 2\pi$}\uput[dl](-3.141,0){$-\pi$}\uput[d](-6.282,0){$2\pi$}
\uput[dl](-1.0472,0){$\frac{-\pi}{3}$}\uput[dl](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$}
\uput[dl](3.141,0){$\pi$}\uput[dl](6.282,0){$2\pi$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 2}

\vspace{1cm}
 
Figure 1

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.5\pstRadUnit,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3.5)(20,3.5)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-0.5,-3.5)(20,3.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{ x 2 mul RadtoDeg  sin 1.8 mul  x  3 mul RadtoDeg sin 1.2 mul sub}
\psdots(1.25,1.8)(2.5,-2.82)(3.8,2.82)(5,-1.8)
\uput[u](1.25,1.8){$M_{1}$}\uput[d](2.5,-2.82){$M_{2}$}
\uput[u](3.8,2.82){$M_{3}$}\uput[d](5,-1.8){$M_{4}$}

\end{pspicture} 

\vspace{2cm}

\psset{xunit=\pstRadUnit,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-3.5)(6.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-0.25,-3.5)(6.25,3.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.5}{ x 2 mul RadtoDeg  sin 1.8 mul  x  3 mul RadtoDeg sin 1.2 mul sub}
\psdots(1.25,1.8)(2.5,-2.82)(3.8,2.82)(5,-1.8)
\uput[u](1.25,1.8){$M_{1}$}\uput[d](2.5,-2.82){$M_{2}$}
\uput[u](3.8,2.82){$M_{3}$}\uput[d](5,-1.8){$M_{4}$}
\end{pspicture} 

\end{center}
\end{document}

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