Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Math�matiques - Correction BTS 2013},
pdftitle={Math�matiques - Correction BTS 2013},
pdfkeywords={Math�matiques, BTS, 2013,
groupement A,
Fourier, s�rie de Fourier,
�quations diff�rentielles,
Transform�e de Laplace, Laplace,
}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
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\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
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\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Correction du BTS de math�matiques - session 2013}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\lfoot{Y. Morel\ - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{center} {\Large \textbf{Correction \\ Brevet de technicien sup�rieur \\ session 2013 - groupement A}}
\end{center}
\vspq
\textbf{Exercice 1 \hrulefill\ 10 points}
\vspd
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item
Tableau des valeurs prises par
$f\lp t+\dfrac{4\pi}{3}\rp$ pour certaines
valeurs de $t$
\[
\begin{tabular}{|l|*{8}{p{1cm}|}}
\hline
$t$&$-\frac{4\pi}{3}$&$- \pi$ &$- \frac{\pi}{2}$&0&$\frac{\pi}{3}$&$\pi$& $\frac{4\pi}{3}$& $\frac{5\pi}{3}$\\
\hline
$f\lp t + \frac{4\pi}{3}\rp$ &1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\
\hline
\end{tabular}
\]
\vspd
\ct{Repr�sentation graphique de $t\mapsto f\lp t+\dfrac{4\pi}{4}\rp$}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6.5,-1.1)(6.5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-6.5,-1.1)(6.5,1.1)
\multido{\n=-6.2832+0.5236}{27}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,1)}
\multido{\n=-1.0+0.5}{5}{\psline[linestyle=dotted](-6.2832,\n)(6.2832,\n)}
\uput[dl](-6.282,0){$- 2\pi$}\uput[dl](-3.141,0){$-\pi$}
\uput[dl](-1.0472,0){$\frac{-\pi}{3}$}\uput[dl](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$}
\uput[dl](3.141,0){$\pi$}\uput[dl](6.282,0){$2\pi$}
\psline[
linewidth=1.25pt,
linecolor=red
]
(-6.5,-1)
(-5.5,-1)
(-5.5,1)
(-2.5,1)
(-2.5,-1)
(0.5,-1)
(0.5,1)
(3.5,1)
(3.5,-1)
(6.5,-1)
(6.5,-.3)
\end{pspicture}
\end{center}
\item
\begin{enumerate}
\item On a $S(0)=f(0)+f\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp+f\lp\dfrac{4\pi}{3}\rp$
et donc, $S(0)=-1$.
\item A $t=0$, $S(0)\neq 0$ et donc on n'a pas pour tout $t$,
$S(t)=0$,
et le syst�me triphas� n'est pas �quilibr�.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\vspd
\begin{enumerate}
\item $f$ est paire, et donc,
$\dsp a_0=\dfrac{2}{T} \int_0^{T/2} f(t)\,dt$, avec $T=2\pi$,
d'o�
$\dsp a_0=\dfrac{2}{2\pi} \int_0^{\pi} f(t)\,dt$.
On peut calculer l'int�grale graphiquement: c'est l'aire alg�brique
comprise entre l'axe des abscisses et la courbe de $f$:
$\dsp
a_0
=\dfrac{2}{2\pi} \Bigl( 1\tm\dfrac{\pi}{3}+(-1)\tm\dfrac{\pi}{3}\Bigr)
=0
$.
\item Comme $f$ est paire, on a,
pour tout entier $n$ non nul $b_n=0$.
\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[\textbullet]
\item Sur $\Bigl]\,0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\Bigr[$, $g(t)=1$
\item Sur $\Bigl]\,\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{2\pi}{3}\Bigr[$, $g(t)=0$
\item Sur $\Bigl]\,\dfrac{2\pi}{3}\,;\,\pi\Bigr[$, $g(t)=-1$
\end{enumerate}
\vspd
\item On a
\vspace{-1.2cm}
\[\bgar{ll}
a_n
&\dsp=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi g(t)\cos(nt) \,dt\\[0.4cm]
&\dsp=\frac{4}{2\pi}\int_0^\pi g(t)\cos(nt) \,dt\\[0.4cm]
&\dsp=\frac{2}{\pi}\lp
\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos(nt) \,dt
+\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} 0 \,dt
+\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} (-\cos(nt))\,dt\rp\\[0.4cm]
&\dsp=\frac{2}{\pi}\lp\lb\dfrac{\sin(nt)}{n}\rb_0^{\frac{\pi}{3}}+0+
\lb-\frac{\sin(nt)}{n}\rb_{\frac{2\pi}{3}}^\pi\rp\\[0.4cm]
&\dsp=\frac{2}{n\pi}\lp\sin\lp\frac{n\pi}{3}\rp
+\sin\lp\frac{2n\pi}{3}\rp\rp
\enar\]
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour $n=3k$,
on a
$a_{3k}
=\dfrac{2}{3k\pi}\lp\sin\lp\dfrac{3k\pi}{3}\rp+\sin\lp\dfrac{2\tm3k\pi}{3}\rp\rp
=\dfrac{2}{3k\pi}\Bigl(\sin(k\pi)+\sin(2k\pi)\Bigr)$
et, comme pour tout entier $k$, $sin(k\pi)=\sin(2k\pi)$,
on a donc $a_{3k}=0$
\vspd
\item L'amplitude des harmoniques de rang multiple de $3$ est $a_{3k}$
et est donc nulle d'apr�s le calcul pr�c�dent.
Ainsi, le syst�me triphas� est �quilibr�.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspq
\textbf{Exercice 2 \hrulefill\ 10 points}
\textbf{Partie A}
\vspd
\begin{enumerate}
\item On recherche une solution $y$ constante,
soit $y(t) = K$ et donc, $y'(t) = 0=y''(t)=0$.
En rempla�ant dans l'�quation $(E)$, on obtient \quad
$
0,25K=2,5 \iff K=10
$.
Une solution constante de $(E)$ est donc,
$y(t)=10$.
\vspd
\item L'�quation caract�ristique associ�e � $(E_0)$
s'�crit $r^2+r+0,25=0$,
c'est-�-dire $(r+0,5)^2=0$. Elle admet donc une racine double
$r=-0,5$.
Les solutions de $(E_0)$ s'�crivent alors
$y(t)
=(\lambda t + \mu) e^{-0,5 t}$,
avec $\lbd$ et $\mu$ r�els.
\vspd
\item La solution g�n�rale de l'�quation $(E)$ s'obtient en ajoutant
la solution g�n�rale de l'�quation homog�ne associ�e $(E_0 )$
trouv�e pr�c�demment et une
solution particuli�re de $(E)$, par exemple la solution constante
trouv�e � la question 1.
\[
y(t)
=10+(\lambda t + \mu) e^{-0,5 t}
\quad \text{ avec } \lambda \text{ et } \mu\text{ r�els}
\]
\item Les deux premi�res propositions ne sont pas de la forme g�n�rale
trouv�es pr�c�demment, et ne peuvent donc pas convenir.
Pour les deux derni�res, il reste � v�rifier que $s(0)=s'(0)=0$.
Si $s(t)=10-(5t+10)e^{-0,5 t}$,
alors, $s(0)=10-(10)\tm1=0$, et
$s'(t)=0-\Bigl( (5)e^{-0,5t}-0,5(5t+10)e^{-0,5t}\Bigr)$,
d'o� $s'(0)=-\Bigl(5-0,5\tm10\Bigr)=0$.
Cette fonction convient donc bien (et comme on sait de plus que la
solution d'une telle �quation diff�rentielle avec ces conditions
initiales est unique, c'est bien la seule solution possible).
La bonne r�ponse est donc: \quad
$s(t)=10-(5t+10)e^{-0,5 t}$
\end{enumerate}
\vspd
\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
\item On a:
$\mathcal{L}\Bigl(s''(t)\Bigr)=p^2 S(p)-ps(0)-s'(0)
=p^2 S(p) \text{ car } s(0)= s'(0)=0
$
et d'autre part
\[
\mathcal{L}\Bigl(sin(2t)U(t)\Bigr)=\dfrac{2}{p^2+4}
\]
d'o\`u,
en prenant la transform�e de Laplace de l'�quation diff�rentielle,
\[
p^2S(p)+9S(p)=\tm \frac{2}{p^2+4}
\iff
(p^2+9)S(p)=\frac{18}{p^2+4}
\]
soit
$
S(p)=\dfrac{18}{(p^2+4)(p^2+9)}
$.
\item On a, en r�duisant au m�me d�nominateur :
\[
\dfrac{a}{p^2+4}+\frac{b}{p^2+9}
=\dfrac{a(p^2+9)+b(p^2+4)}{(p^2+4)(p^2+9)}
=\dfrac{(a+b)p^2+9a+4b}{(p^2+4)(p^2+9)}
\]
Par identification avec la relation demand�e, on obtient alors le syst�me
$
\la\bgar{lclcl}
a &+& b &=&0 \\
9a &+& 4b &=&18\enar\right.
$,
d'o\`u $a=-b=\dfrac{18}{5}$, et donc,
$
S(p)
=\dfrac{18}{(p^2+4)(p^2+9)}
=\dfrac{18}{5}\lp\dfrac{1}{p^2+4}-\dfrac{1}{p^2+9}\rp
$.
\item A l'aide des formules de transform�es de Laplace, on a:
\[
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\dfrac{1}{p^2+4}\Bigr)=\dfrac12\sin(2t)U(t)
\quad \text{ et }\quad
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\dfrac{1}{p^2+9}\Bigr)=\dfrac13\sin(3t)U(t)
\]
et donc,
$
s(t)
=\dfrac{18}{5}\lp\dfrac12\sin(2t)-\dfrac13\sin(3t)\rp U(t)
=\lp\dfrac95\sin(2t)-\dfrac65\sin(3t)\rp U(t)
$,
soit aussi, \quad
$
s(t)=\lp 1,8\sin(2t)-1,2\sin(3t)\rp U(t)
$.
\end{enumerate}
\vspd
\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
\item On lit graphiquement
$A\simeq 2,9$.
\item Pour tout r�el $t\geqslant 0$,
$f'(t)=3,6\lp\cos(2t)-\cos(3t)\rp$.
\item
\begin{enumerate}
\item A l'aide des formules trigonom�triques du formulaire:
\[\bgar{ll}
\cos(2t)-\cos(3t)
&=-2\sin\lp\dfrac{2t+3t}{2}\rp\sin\lp\dfrac{2t-3t}{2}\rp\\
&=-2\sin\lp\dfrac{5t}{2}\rp\sin\lp\dfrac{-t}{2}\rp\\
&=2\sin\lp\dfrac{5t}{2}\rp\sin\lp\dfrac{t}{2}\rp
\enar\]
d'o\`u
$
f'(t)=7,2\sin\lp\dfrac{5t}{2}\rp\sin\lp\dfrac{t}{2}\rp
$.
On a alors, pour tout entier $k$,
$
f'\lp\dfrac{2k\pi}{5}\rp
=7,2\underbrace{\sin\lp k\pi\rp}_{=0}\,\sin\lp\dfrac{k\pi}{5}\rp
=0
$.
\item Les extrema locaux sont donc atteints pour
$t=\dfrac{2k\pi}{5}$ et correspondent donc aux
points $M_1$,$M_2$, $M_3$ et $M_4$.
\begin{enumerate}[\textbullet]
\item L'abscisse de $M_1$ est $\dfrac{2\pi}{5}$ \quad ($k=1$)
\item L'abscisse de $M_2$ est $\dfrac{4\pi}{5}$ \quad ($k=2$)
\item L'abscisse de $M_3$ est $\dfrac{6\pi}{5}$ \quad ($k=3$)
\item L'abscisse de $M_4$ est $\dfrac{8\pi}{5}$ \quad ($k=4$)
\end{enumerate}
\item C'est le point $M_3$ qui correspond � l'amplitude maximale, donc
\[
A
=f\lp\frac{6\pi}{5}\rp
=1,8\sin(2,4\pi)-1,2\sin(3,6\pi)
A\simeq 2,853
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
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