Application linéaire ? Noyau et image ?
L'application
;
est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Correction
ne peut pas être linéaire car
(si elle l'était on devrait en effet avoir
pour tous
et
, en particulier donc pour
…).
Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.
Le noyau de
est vide: pour tout
,
et donc
.
Attention, même si on avait trouvé un noyau réduit au vecteur nul, cela n'aurait pas permis de conclure à l'injectivité de
car elle n'est pas linéaire. Il faut revenir à la définition.
Soit deux couples de
,
et
tels que
alors
![\[\la\begin{array}{ll}
x+y=x'+y' \\
x-2y=x'-2y'\\
1=1\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/16.png)
soit, en soustrayant les deux premières équations,
et donc la première équation donne
.
L'application
est donc injective.
Étudions maintenant l'image: soit
,
alors il existe
tel que
,
![\[\la\begin{array}{ll}
\alpha=x+y\\
\beta=x-2y\\
\gamma=1\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{ll}
x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\\
y=\dfrac{\alpha-\beta}{3}\\
\gamma=1\enar\right.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/23.png)
Ainsi, tout
et donc
(qui n'est pas un espace vectoriel).
n'est donc pas surjective, et pas non plus bijective.
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Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.
Le noyau de




Attention, même si on avait trouvé un noyau réduit au vecteur nul, cela n'aurait pas permis de conclure à l'injectivité de





![\[\la\begin{array}{ll}
x+y=x'+y' \\
x-2y=x'-2y'\\
1=1\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/16.png)
soit, en soustrayant les deux premières équations,


L'application

Étudions maintenant l'image: soit



![\[\la\begin{array}{ll}
\alpha=x+y\\
\beta=x-2y\\
\gamma=1\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{ll}
x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\\
y=\dfrac{\alpha-\beta}{3}\\
\gamma=1\enar\right.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/23.png)
Ainsi, tout



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Tag:Applications linéaires
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