Application linéaire ? Noyau et image ?

L'application $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,1)$ ; est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Correction

ne peut pas être linéaire car $f(0,0)\not=(0,0,0)$ (si elle l'était on devrait en effet avoir $f(\lambda u)=\lambda f(u)$ pour tous $\lambda$ et

, en particulier donc pour $\lambda=0$ …).

Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.

Le noyau de

est vide: pour tout $(x,y)\in\R^2$ , $f(x,y)\not=(0,0,0)$ et donc $\text{Ker}(f)=\emptyset$ .
Attention, même si on avait trouvé un noyau réduit au vecteur nul, cela n'aurait pas permis de conclure à l'injectivité de

car elle n'est pas linéaire. Il faut revenir à la définition. Soit deux couples de $\R^2$ ,

tels que

alors

$\la\begin{array}{ll} x+y=x'+y' \\ x-2y=x'-2y'\\ 1=1\enar\right.$

soit, en soustrayant les deux premières équations, $3y=3y'\iff y=y'$ et donc la première équation donne

.
L'application

est donc injective.

Étudions maintenant l'image: soit $v\lp\alpha,\beta,\gamma\rp\in\text{Im}(f)$ , alors il existe

tel que

$\la\begin{array}{ll} \alpha=x+y\\ \beta=x-2y\\ \gamma=1\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\\ y=\dfrac{\alpha-\beta}{3}\\ \gamma=1\enar\right. \enar$

Ainsi, tout $v\lp\alpha,\beta,1\rp\in\text{Im}(f)$ et donc $\text{Im}(f)=\bigl\{ (\alpha,\beta,1)\,;\,\alpha\in\R,\beta\in\R\bigr\}$ (qui n'est pas un espace vectoriel).

n'est donc pas surjective, et pas non plus bijective.

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Tag:Applications linéaires

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