@ccueil Colles

Application linéaire ? Noyau et image ?


L'application $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,1)$; est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Correction
$f$ ne peut pas être linéaire car $f(0,0)\not=(0,0,0)$ (si elle l'était on devrait en effet avoir $f(\lambda u)=\lambda f(u)$ pour tous $\lambda$ et $u$, en particulier donc pour $\lambda=0$ …).

Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.

Le noyau de $f$ est vide: pour tout $(x,y)\in\R^2$, $f(x,y)\not=(0,0,0)$ et donc $\text{Ker}(f)=\emptyset$.
Attention, même si on avait trouvé un noyau réduit au vecteur nul, cela n'aurait pas permis de conclure à l'injectivité de $f$ car elle n'est pas linéaire. Il faut revenir à la définition. Soit deux couples de $\R^2$, $(x,y)$ et $(x',y')$ tels que $f(x,y)=f(x',y')$ alors
\[\la\begin{array}{ll}
x+y=x'+y' \\
x-2y=x'-2y'\\
1=1\enar\right.\]

soit, en soustrayant les deux premières équations, $3y=3y'\iff y=y'$ et donc la première équation donne $x=x'$.
L'application $f$ est donc injective.


Étudions maintenant l'image: soit $v\lp\alpha,\beta,\gamma\rp\in\text{Im}(f)$, alors il existe $u(x,y)$ tel que $f(u)=v$,
\[\la\begin{array}{ll}
\alpha=x+y\\
\beta=x-2y\\
\gamma=1\enar\right.
\iff 
\la\begin{array}{ll}
x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\\
y=\dfrac{\alpha-\beta}{3}\\
\gamma=1\enar\right.
\enar\]

Ainsi, tout $v\lp\alpha,\beta,1\rp\in\text{Im}(f)$ et donc $\text{Im}(f)=\bigl\{ (\alpha,\beta,1)\,;\,\alpha\in\R,\beta\in\R\bigr\}$ (qui n'est pas un espace vectoriel).

$f$ n'est donc pas surjective, et pas non plus bijective.

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Tag:Applications linéaires

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