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Application linéaire ? Noyau et image ?

L'application $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto x^2+y^2$ ; est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Correction

n'est clairement pas linéaire, à cause des carrés: par exemple,

et $f(2,0)=4\not=2f(1,0)$ .

Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.

$(x,y)\in\text{Ker}(f)\iff f(x,y)=x^2+y^2=0\iff x=\pm y$ .
Ainsi, le noyau de

est réduit au vecteur nul. $\text{Ker}(f)=\bigl\{(0,0)\bigr\}$ .

Pour l'injectivité, comme

n'est pas linéaire, il faut revenir à la définition. Ici

n'est clairement pas injective car, par exemple,

.

n'est pas non plus surective car, pour tout $(x,y)\in\R^2$ , $f(x,y)\geqslant0$ . Plus précisément, $\text{Im}(f)=\R_+$ car pour tout $z\geqslant0$ on a $z=ff\lp\sqrt{z},0\rp$ .

Donc

n'est pas injective ni surjective, et donc pas non plus bijective.

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Tag:Applications linéaires

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