@ccueil Colles

Application linéaire ? Noyau et image ?


L'application $f:\R[X]\to \R,\ P\mapsto \big(P(1),P'(1)\big)$ est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Correction
Soit $P,Q\in\R[X]$ et $\lambda\in\R$, alors d'après les propriétés de linéarité de la dérivation (justement !) $(P+Q)'(1)=P'(1)+Q'(1)$ et $(\lambda P)'(1)=\lambda P'(1)$ on déduit directement que $f(P+Q)=f(P)+f(Q)$ et que $f(\lambda P)=\lambda f(P)$, c'est-à-dire que $f$ est une application linéaire.

Soit $P\in\R[X]$ tel que $f(P)=0\iff P(1)=P'(1)=0$. Ainsi 1 est une racine double de $P$ qui peut donc se factorise par $(X-1)^2$ et $\text{Ker}(f)=\Bigl\{ (X-1)^2Q(X)\,;\,Q\in\R[X]\Bigr\}$.
En pariculier, $f$ n'est pas injective, et donc pas bijective.

Pour étudier l'image, soit $(\alpha,\beta)\in\R^2$, et on cherche $P\in\R[X]$ tel que $\alpha=P(1)$ et $\beta=P'(1)$. Il suffit de prendre par exemple $P(X)=\beta(X-1)+\alpha$.
Ainsi, $f$ est surjective.

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Tags:Applications linéairesPolynôme

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