@ccueil Colles

Application linéaire ? Noyau et image ?


L'application $f(x,y):\R^2\to\R^3,=(x+y,x-y,x+y)$. est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Correction
Soit $u=(x,y)$ et $v=(x',y')$ et $\lambda\in\R$, alors
\[\begin{array}{ll}f\lp\lambda u+v\rp&=f\lp(\lambda x+x',\lambda y+y')\rp\\
&=\Bigl( (\lambda x+x')+(\lambda y+y'),(\lambda x+x')-(\lambda y+y'),(\lambda x+x')+(\lambda y+y')\Bigr)\\
&=\Bigl( \lambda(x+y)+(x'+y'),\lambda(x-y)+(x'-y'),\lambda(x+y)+(x'+y')\Bigr)\\
&=\lambda\bigl(x+y,x-y,x+y\bigr)+\bigl(x'+y',x'-y',x'+y'\bigr)\\
&=\lambda f(u)+f(v)\enar\]

Ainsi, $f$ est une application linéaire.

Étudions le noyau de $f$:
\[\begin{array}{ll}(x,y)\in\text{Ker}(f)&\iff f(x,y)=(0,0) \\
&\iff\la\begin{array}{rcl}x+y&=&0\\x-y&=&0\\x+y&=&0\\\enar\right.\\
&\iff\la\begin{array}{rcl}x+y&=&0\\2x&=&0\\\enar\right.\]

On en déduit que $\text{Ker}(f)=\bigl\{(0,0)\bigr\}$, et, en d'autres termes, $f$ est injective.

Étudions maintenant son image:
\[\begin{array}{ll}
(u,v,w)\in\text{Im}(f)
&\iff\exists (x,y)\in\R^2,\ (u,v,w)=f(x,y) \\[.8em]
&\iff\exists (x,y)\in\R^2,\ 
\la\begin{array}{rcl}u&=&x+y\\v&=&x-y\\w&=&x+y\enar\right. \\[1.6em]
&\iff\exists (x,y)\in\R^2,\ \la\begin{array}{rcl}u&=&x+y\\u+v&=&2x\\u&=&w\enar\right. \\[2em]
&\iff\exists (x,y)\in\R^2,\ \la\begin{array}{rcl}x&=&\dfrac{u+v}2\\y&=&\dfrac{u-v}2\\u&=&w\enar\right. 
\enar\]

On en déduit que $\text{Im}(f)=\bigl\{(u,v,w)\in\R^3;\ u-w=0\bigr\}=\text{Vect}\left( (1,0,1)\rp.$
En particulier, $e_1=(1,0,0)$ n'est pas dans $\textrm{Im}(f)$, et donc $f$ n'est pas surjective, et n'est pas bijective non plus.

Cacher la correction


Tag:Applications linéaires

Autres sujets au hasard: Lancer de dés