Application linéaire ? Noyau et image ?
Montrer que
est une application linéaire.
Déterminer son noyau et son image.
Déterminer son noyau et son image.
Correction
Soit et . Alors
Ainsi, est bien une application linéaire.
On s'intéresse au noyau de , donc .
Soit . Alors on a:
On en déduit que et que, pour tout entier , .
Ainsi, pour , et étant quelconque.
On en déduit que .
D'autre part, soit , avec . Alors, il existe tel que soit, d'après le calcul précédent,
On en déduit et donc .
Réciproquement, soit un élément de , c'est-à-dire un polynôme sans terme en . Alors, si on pose , , et , le calcul précédent montre que et donc .
Ainsi, .
L'image et le noyau de sont de plus ici supplémentaires.
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Soit et . Alors
Ainsi, est bien une application linéaire.
On s'intéresse au noyau de , donc .
Soit . Alors on a:
On en déduit que et que, pour tout entier , .
Ainsi, pour , et étant quelconque.
On en déduit que .
D'autre part, soit , avec . Alors, il existe tel que soit, d'après le calcul précédent,
On en déduit et donc .
Réciproquement, soit un élément de , c'est-à-dire un polynôme sans terme en . Alors, si on pose , , et , le calcul précédent montre que et donc .
Ainsi, .
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Tags:Applications linéairesPolynôme
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