Calcul d'un déterminant avec paramètres

Montrer que $\left|\begin{array}{ccc}1+a&a&a\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|=1+a+b+c$

Correction
On soustrait la 2ème colonne à la 1ère,

$\left|\begin{array}{ccc}1+a&a&a\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right| =\left|\begin{array}{ccc}1&a&a\\-1&1+b&b\\0&c&1+c\enar\right|$

puis on ajoute la 1ère ligne à la 2ème,

$\left|\begin{array}{ccc}1&a&a\\0&1+a+b&a+b\\0&c&1+c\enar\right| =\left|\begin{array}{cc}1+a+b&a+b\\c&1+c\enar\right|$

$\left|\begin{array}{cc}1+a+b&a+b\\c&1+c\enar\right| =\left|\begin{array}{cc}1&a+b\\-1&1+c\enar\right| =1+c-(-(a+b))=1+a+b+c$

ou alors, on ajoute les 3 lignes sur la 1ère,

$\left|\begin{array}{ccc}1+a&a&a\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right| =\left|\begin{array}{ccc}1+a+b+c&1+a+b+c&1+a+b+c\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right| =(1+a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|$

puis, à la 2ème colonne on soustrait la 1ère, et de même à la 3ème colonne on soustrait la 1ère,

$\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right| =\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\b&1&0\\c&0&1\enar\right|=1$

d'où le résultat.

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Tag:Déterminants

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