@ccueil Colles

Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis


Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction exponentielle pour démontrer que:
\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1\]


Correction
Soit $f(x)=\exp(x)$ définie et dérivable sur $\R$, avec $f'(x)=f(x)=\exp(x)$
Pour tout $x$ réel, d'après le théorème des accroissements finis sur $I=]0;x[$, ou sur $I=]x;0[$ suivant le signe de $x$, il existe $c\in I$ tel que $f(x)-f(0)=f'(c)(x-0)=xf'(c)$.
Ainsi, pour tout $x\not=0$,
\[\dfrac{f(x)-f(0)}{x}-1=e^c-1\]

et alors
\[\left|\dfrac{f(x)-f(0)}{x}-1\right|=\left|f'(c)-1\right|
=\left|e^c-1\right|\]

or $c\in]x;0[$ ou $x\in]0;x[$, soit $|c|<x$, et donc
\[\lim_{x\to0}e^c-1=0\]

d'où
\[\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\]



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