@ccueil Colles

Calcul matriciel - Sous espace vectoriel de matrices


On consdière les matrices $A\lp\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\3&1&1\enar\rp$, $B\lp\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&0\\1&0&0\enar\rp$, $C\lp\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&2&1\\0&-1&-1\enar\rp$.
  1. Calculer $AB$ et $AC$. $A$ peut-elle être inversible ?
  2. Déterminer l'ensemble $\mathcal E$ des matrices $F$ vérifiant $AF=0$.
    Montrer que $\mathcal E$ est un sous espace vectoriel et préciser sa dimension.

Correction
On calcule $AB=\lp\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&0\\4&4&3\enar\rp$, et de même $AC=\lp\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&0\\4&4&3\enar\rp$.
On a donc $AB=AC$, ou encore $A\left( B-C\rp=0$. Ceci montre en particulier que $A$ ne peut pas être inversible.

On peut aussi interpréter en considérant l'application linéaire $f$ dont la matrice (dans la base canonique par exemple) est $A$. Alors $AB=AC$ montre directement que $f$ n'est pas injective et donc ne peut bijective: sa matrice n'est pas inversible.


L'ensemble $\mathcal E$ est clairement un sous espace vectoriel: c'est le noyau de l'application linéaire "produit à droite": $M\mapsto AM$.

Soit $M=\lp\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\enar\rp$ une matrice quelconque, alors
\[\begin{array}{ll}AM=0&\iff\la\begin{array}{l}a=b=c=0\\d+g=e+h=f+i=0\\3a+d+g=3b+e+h=3c+f+i=0\enar\right.\\[2em]
&\iff\la\begin{array}{l}a=b=c=0\\d+g=e+h=f+i=0\enar\right.\enar\]

Ce qui montre que $\mathcal{E}$ est généré par les trosi matrices, $\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\d&0&0\\-d&0&0\enar\rp$, $\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&e&0\\0&-e&0\enar\rp$, et $\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&f\\0&0&-f\enar\rp$, ou encore que
\[\mathcal E=\text{Vect}\left\{ 
M_1=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\-1&0&0\enar\rp, 
M_2=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&-1&0\enar\rp, 
M_3=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&-1\enar\rp\right\}\]


On a alors aussi trouvé que $\dim\lp\mathcal E\rp=3$.

Cacher la correction


Tags:MatricesEspace vectoriel

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