@ccueil Colles

Calculer l'intégrale trigonométrique avec changement de variable


Calculer $\dsp\int_{\frac\pi2}^\pi\dfrac1{2+\sin t}dt$ à l'aide du changement de variables $x=\tan\lp\dfrac{t}2\rp$

Correction
Soit donc $x=\tan\lp\dfrac{t}2\rp$ alors d'une part, $dx=\dfrac12\lp1+\tan^2\lp\dfrac{t}2\rp\rp\,dt=\dfrac12\lp1+x^2\rp\,dt$
et, d'autre part il faut exprimer $\sin t$ en fonction de $x$. Il faut clairement faire appel à l'angle moitié:
\[\begin{array}{ll}\sin t&=2\sin\dfrac{t}{2}\cos\dfrac{t}{2} \\[.8em]
&=2\tan\dfrac{t}{2}\cos^2\dfrac{t}{2}\\[.8em]
&=2x\cos^2\dfrac{t}{2}
\enar\]

Enfin, pour exprimer ce $\cos^2$, on a aussi $1+\tan^2=\dfrac1{\cos^2}$, soit ici
\[\begin{array}{ll}\sin t&=2x\dfrac1{1+\tan^2\dfrac{t}{2}}\\[.8em]
&=\dfrac{2x}{1+x^2}\enar\]



On a alors, en n'oubliant pas les bornes de l'intégrale,
\[\begin{array}{ll}I&=\dsp\int_{\frac\pi2}^\pi\dfrac1{2+\sin t}dt\\[.8em]
&=\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{2dx}{\lp1+x^2\rp\lp2+\dfrac{2x}{1+x^2}\rp}\\[.8em]
&=\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2+x+1}\enar\]


Il reste maintenant à calculer l'intégrale de cette fonction rationnelle: forme canonique et arctangente:
\[\begin{array}{ll}I&=\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{\left( x+\frac12\rp^2+\frac34}\\[1em]
&=\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{\dfrac34\Bigl[\left( \frac{2}{\sqrt3}\left( x+\frac12\rp\rp^2+1\Bigr]}
\enar\]

puis, en posant $u=\dfrac{2}{\sqrt3}\left( x+\frac12\rp$ donc $du=\dfrac2{\sqrt3}dx$,
\[\begin{array}{ll}I&=\dsp\dfrac43\int_{\sqrt3}^{+\infty}\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}du}{u^2+1}\\[1em]
&=\dfrac2{\sqrt3}\Bigl[\,\arctan u\,\Bigr]_{\sqrt3}^{+\infty} \\[1em]
&=\dfrac2{\sqrt3}\Bigl[\dfrac\pi2-\dfrac\pi3\Bigr]\\[1em]
&=\dfrac\pi{3\sqrt3}\enar\]



Cacher la correction


Tag:Intégrale

Autres sujets au hasard: Lancer de dés