@ccueil Colles

Caractériation complexe de l'égalité triangulaire


Soit $(z;z')\in\C^2$. Montrer que $|z|+|z'|=|z+z'|$ si et seulement si $\overline{z}z'\in\R_+$.

Correction
L'inégalité triangulaire $|z|+|z'|\geqslant |z+z'|$ est une égalité si et seulement si $z'=\alpha z$, $\alpha\in\R_+$. Dans ce cas on a alors $\overline{z}z'=\alpha|z|^2\in\R_+$.
Cette condition est aussi suffisante: soit $z=\alpha e^{i\theta}$ et $z'=\alpha' e^{i\theta'}$, avec $\alpha\geqslant0$ et $\alpha'\geqslant0$.
On a alors $\overline{z}z'=\alpha\alpha'e^{i(\theta'-\theta)}$, et donc $\overline{z}z'\in\R_+\iff \theta\equiv\theta'\,[2\pi]$ d'où $z=\alpha e^{i\theta}$ et $z'=\alpha' e^{i\theta'}=\alpha' e^{i\theta}=\lambda z$ avec $\lambda=\dfrac{\alpha'}{\alpha}\in\R_+$.

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