@ccueil Colles

Coefficients binomiaux, puissance n-ième et inverse


Soit $n\geqslant1$ un entier naturel.
  1. Soit $p\geqslant1$ un entier. Montrer que $\dsp\sum_{i=1}^p\binom{p}{i}n^{i-1}=\dfrac{(n+1)^p-1}n$.
  2. Soit $A$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\R)$ dont tous les coefficients valent 1. Calculer $A^p$ pour tout $p\geqslant1$.
  3. Soit $B=\left( B_{i,j}\rp$ la matrice carrée de taille $n$ définie par
    \[b_{i,j}=\la\begin{array}{rcl}2&\text{ si } &i=j\\1&\text{ si } &i\not=j\enar\right.\]

    Calculer $B^p$ pour $p\geqslant1$.
  4. Montrer que $B$ est inversible et calculer son inverse.

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Tag:Matrices

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