Comparaison de 2 variables géométriques


Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$.
  1. Donner, pour $k\in\N$, l'expression de $P\left( X=k\rp$ et $P\left( X>k\rp$.
  2. Calculer $P(Y>X)$.

Correction
  1. $X$ suit une loi géométrique donc $P\left( X=k\rp=p(1-p)^{k-1}$ et (c'est du cours aussi, mais il est bon de savoir le (re)démonter):
    \[\begin{array}{ll} P\left( X>k\rp&=\dsp\sum_{n>k}P\left( X=n\rp \\[1.4em] &=\dsp\sum_{n=k+1}^{+\infty}p(1-p)^{n-1}\\ &=p(1-p)^k\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}(1-p)^n\\ &=p(1-p)^k\dfrac{1}{1-\lp1-p\right)}\\[1em] &=(1-p)^k\enar\]

  2. L'événement $Y>X$ est la réunion des événements disjoints $X=k$ et $Y>k$, pour $k\in\N^*$. On a alors, par indépendance des variables aléatoires $X$ et $Y$, et avec les formules de la question précédente,
    \[\begin{array}{ll}P(Y>X) &=\dsp\sum_{k=1}^{+\infty}P\bigl(\left( X=k\rp\cap\left( Y>k\rp\bigr)\\[1.4em] &=\dsp\sum_{k=1}^{+\infty}P\left( X=k\rp\,P\left( Y>k\rp\\[1.4em] &=\dsp\sum_{k=1}^{+\infty}p(1-p)^{k-1}(1-q)^k\\[1.4em] &=\dsp\sum_{k=1}^{+\infty}p(1-q)\Bigl((1-p)(1-q)\Bigr)^{k-1}\\[1em] &=p(1-q)\dsp\sum_{k=1}^{+\infty}\Bigl((1-p)(1-q)\Bigr)^{k-1}\\ &=p(1-q)\dfrac1{1-(1-p)(1-q)}\\ &=\dfrac{p-pq}{p+q-pq} \enar\]



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Tag:Variables aléatoires discrètes

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