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Continuité et dérivabilité d'une composée


Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par $f(x)=e^{-1/x^2}$ si $x\neq0$ et $f(0)=0$.
  1. Montrer que pour tout $ k\in\N$, $f^{(k)}(0)=0$.
  2. Soit $g$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par $g(x)=f(x)$ si $x>0$ et $g(x)=0$ si $ x\leqslant 0$.
    Montrer que $g$ est de classe ${\cal C}^\infty$ sur $\R$.
  3. Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$, et soit $h$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par:
    \[h(x)=\la\begin{array}{ccl} f(x-a)&\mbox{si}&x< a\\ 0&{si}&x\in[a,b]\\ f(x-b)&\mbox{si}& x> b\;. \enar\right.\]


    Montrer que $ h$ est de classe $ {\cal C}^\infty$ sur $ \mathbb{R}$. Représenter graphiquement $ h$ pour $ a=1$ et $ b=2$.

Correction


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