@ccueil Colles

Convergence de la "demi somme harmonique" - Inégalité des accroissements finis


  1. Démontrer que pour tout $x\geqslant0$, on a
    \[\frac1{x+1}\leqslant\ln(x+1)-\ln x\leqslant\frac 1x\]

  2. On pose
    $$v_n=\frac 1{n+1}+\dots+\frac 1{2n}.$$

    Démontrer que
    \[\ln(2n+1)-\ln(n+1)\leqslant v_n\leqslant\ln(2n)-\ln n\]

    En déduire que $(v_n)$ converge et déterminer sa limite.

Correction
  1. Applique le théorème des accroissements finis à la fonction $t\mapsto \ln t$ sur l'intervalle $[x,x+1]$: il existe $\theta\in ]x,x+1[$ tel que
    \[\ln(x+1)-\ln x=\frac{x+1-x}\theta=\frac 1\theta\]

    On conclut car
    \[0\leqslant x\leqslant\theta\leqslant x+1
  \implies \frac1{x+1}\leqslant\frac 1\theta\leqslant\frac 1x\]

  2. On applique l'inégalité précédente pour $x=n$, $x=n+1$, $x=n+2$ jusque $x=2n-1$. On somme ces inégalités et on obtient, en ne gardant que l'inégalité de gauche:
    \[v_n\leqslant\ln(2n)-\ln n\]

    On applique ensuite l'inégalité précédente pour $x=n+1$, $x=n+2$ jusque $x=2n$ et on ne garde cette fois que l'inégalité de droite et on obtient
    \[\ln(2n+1)-\ln (n+1)\leqslant v_n\]

    Ceci se réécrit encore en
    \[\ln\lp\frac{2n+1}{n+1}\rp\leqslant v_n\leqslant\ln\lp\frac{2n}n\rp=\ln 2\]

    Par le théorème des gendarmes, on en déduit que $(v_n)$ converge vers $\ln 2$.


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